东南大学高数习题

y ex (C1cosx C2sin x)
（其中, 为特征wk.baidu.com程的复根的实部及虚部）。
小结：求二阶常系数线性齐次方程通解的步骤：
（1）由微分方程写出对应的特征方程（代数方程）； （2）求解特征方程的根；
（3）按特征根的情况（单根、重根、共轭复根）
写出微分方程的通解：
特征方程 ar 2 br c 0
y1(x), y2 (x)在I上线性相关 y1(x), y2 (x) 在I 上成比例.
若 y1(x) k （或 y2 (x) k ），
y2 (x)
y1 ( x)
则 y1(x)与 y2 (x) 线性无关。
例1 ．判别下列两函数 是否是线性无关的？
ex ，xex 。
解:（方法一）设 k1ex k2 xex 0 ，
代入③后并约去 ex ，得： aQ(x)(2ab)Q(x)(a2 bc)Q(x) Pm(x) ④
aQ(x) (2a b)Q(x) (a2 b c)Q(x) Pm (x) ④ （1）当 a2 b c 0 ，即不是方程 ①的特征根时，
∵ pm (x)是 一个 m 次多项式 ，要使④式的两端恒等， 则Q(x)必定是 另一个 m 次多项式 Qm (x) ，
故原方程的通解为
y
Y
y*
C1e2
x
C2e2x
1 4
xe2x
。
例 4．求方程 y 2y' y xex 的通解。
解：∵特征方程为r2 2r 1 0 ， r1,2 1 。
若二阶线性微分方程为 ay by cy f (x) ，其中
a, b, c 均为常数，则称该方程为二阶常系数线性微分方程。
（一）二阶常系数线性齐次方程的解法
aybycy 0 ，
①
猜想方程①具有 y erx 形式的解，其中 r 为待定常数 ， 将 y rerx ， y r2erx ，y erx 代入方程①， 得 erx (ar 2 br c) 0 ，但erx 0 ，故有
即 是方程 ①的二重特征根时，④式成为
aQ(x) Pm(x)
Q(x) 应为 m 次多项式, Q(x) 应为 m 2 次多项式 ,
故可设 Q(x) x2Qm(x) ， 并用同样的方法来确定 Qm (x)中的系数 。
综上所述，方程 y py qy Pm (x)ex
具有如下形式的特解：
y* xkQm(x)ex 。
故方程的通解为
y C1 C2x ex (C3cos2x C4sin2x) 。
（三）二阶常系数线性非齐次微分方程的解法 设二阶常系数线性齐次方程为 ay by cy 0 ①
二阶常系数线性非齐次方程为 ay by cy f (x) ② 若 y*是方程 ②的一个特解，Y 是方程 ①的通解，
则 y Y y* 是方程②的通解。 求方程②的通解关键在于求其一个特解。下面介绍
由欧拉公式 ei cosisin 可得
y1 ex (cosx isinx) ，
y2 ex (cosx isinx) ，
y1
1 2
(
y1
y2
)
e
x
c
osx
，
y2
1 2i
(
y1
y2
)
e
x
sinx
，
y1 y2
ex cosx ex sinx
cotx
不是常数,
∵函数 y1 和 y2 都是方程①的解，且它们是线性无关的， ∴ 方程①的通解为 y C1y1 C2 y2 ，即
∴设 Qm(x) Axm A1xm1 Am1x Am 。
把Qm (x) 代入 ④ 式，比较等式两端x 同次幂 的系数，
得到所求特解 y* Qm(x)ex 。
aQ(x) (2a b)Q(x) (a2 b c)Q(x) Pm (x) ④
（2）当a2 b c 0 ，而 2a b 0 时， 即是方程 ①的单特征根时，④式成为
当自由项 f (x) 为两种特殊类型函数时方程②特解的求 法—待定系数法。
1. f (x) Pm(x)ex (其中pm (x)是 x的 m 次多项式)
这时方程②为 aybycy Pm(x)ex
③
可以设 y* Q(x)ex (其中Q(x)是多项式 ) 。 将 y* Q(x)ex ，y* ex[Q(x) Q(x)] ， y* ex[Q(x) 2Q(x) 2Q(x)] ，
给出两项ex (C1cosxC2sinx)
给出2k 项 ex[(C1 C2x Ck xk1)cosx (D1 D2 x Dk xk1)sinx]
例 6．求方程 y(4) 2y5y 0 的通解。 解：特征方程为 r 4 2r3 5r 2 0 ，
即r2(r2 2r 5) 0 ， 特征根为 r1,2 0 （2 重）；r3,4 1 2i 。
ar2 br c 0 ，
②
若 r 是一元 二次方程②的一个根，则y erx 就是 方程①的一个特解。
方程②叫做方程①的特征方程。
按特征方程的两个根 r1, r2 的三种可能情况 ： 1． r1 r2 是两个不相等 的实根；
2． r1 r2 是两个相等 的实根； 3． r1 i ，r2 i 是一对共轭复数。
y1
er
x
，
∴还需找一个 y1 线性无关的特解 y2 ，
设 y2 u(x)erx , u(x)为待定函数 。
将 y2 , y2 erx[u(x) ru(x)] ， y2 erx[u(x) 2ru(x) r2u(x)] 代入方程①得
erx[au(x) (2ar b)u(x) (ar2 br c)u(x)] 0 ，
∵ erx 0 ， 2ar b 0, ar2 br c 0 ， ∴ u(x) 0 ，
取u(x) 0 的一个解u(x) x ，则y2 xerx 。
∴方程①的通解为 y C1erx C2 xerx ，
即 y erx (C1 C2x) 。
3．特征方程的根是一对共轭复数的情形。
∵ y1 e(i)x 、 y2 e(i) x 是方程①的特解，
数线性齐次方程，相应地可得到方程①的 n 个线性无关
的解，把这 n 个线性无关的解分别乘以任意常数后相加， 即得方程①的通解。
特征方程的根 方程①通解中的对应项
单实根 r
给出一项 Ce rx
k 重实根 r 一对单复根
r1,2 i
一对k 重复根 r1,2 i
给出k 项 erx (C1 C2 x Ck xk1)
aQ(x)(2ab)Q(x) Pm(x)
Q(x) 应为 m 次多项式 , Q(x) 应为 m1 次多项式 , 故可设 Q(x) x Qm(x) ，
并用同样的方法来确定Qm (x)中的系数 Ai (i 0,1, , m) 。
aQ(x) (2a b)Q(x) (a2 b c)Q(x) Pm (x) ④ （3）当 a2 b c 0 且2a b 0 时，
即 ex (k1 k2 x) 0 ，
∵ ex 0 ，故k1 k2 x 0 ，则必有k1 k2 0 ，
∴ ex 与 xex 线性无关。
（方法二）∵
e x xex
1 x
常数
，
∴ ex 与 xex 线性无关。
（二）二阶线性微分方程解的结构
设二阶线性齐次方程为 a(x) y a1(x) y a2 (x) y 0 ① 二阶线性非齐次方程为 a(x) y a1(x) y a2 (x) y f (x) ②
§4.3 二阶线性微分方程
二阶线性微分方程的一般形式为 a(x) ya1(x) ya2 (x) y f (x)
（1）当 f (x) 0 时，称为二阶线性齐次方程， （2）当 f (x) 0 时，称为二阶线性非齐次方程。
这类方程的特点是：右边是已知函数或零，左边的 每一项仅含 y 或 y 或 y ，且每项均为 y 或 y 或 y 的 一次项。
求二阶线性非齐次方程通解的一般步骤： （1）求二阶线性齐次方程 a(x) y a1(x) y a2 (x) y 0 的 两个线性无关的特解，得该方程的通解Y C1y1 C2 y2 。
（2）求二阶线性非齐次方程a(x) y a1(x) y a2(x) y f (x) 的一个特解y* ，则二阶线性非齐次方程的通解为y Y y* 。
定理 1 （1）若 y1(x)和y2 (x) 是二阶线性齐次方程①的两个解，
则 y C1y1(x) C2 y2 (x) 仍为方程①的解，其中C1, C2 为两个常数。 （2）若 y1(x)和y2(x) 是二阶线性非齐次方程②的两个解，
则 y y1(x) y2 (x) 为对应的齐次方程①的解。
方程 ay by cy 0 的通解
有两个不相等实根 r1, r2
y C1er1 x C2er2 x
有两个相等实根 r r1 r2
y e rx (C1 C2 x)
有一对共轭复根 r1,2 i y e x (C1 cos x C2 sin x)
例 4．求下列方程的通解 （1） y4y3y 0
1．特征方程的根是两个不相等实数的情形。
∵ er1x , er2x 是方程①的特解，
且 er1 x e(r1r2 ) x 不为常数，它们是线性无关的， er2 x
∴ 方程①的通解为 y C1er1x C2er 2x 。
2．特征方程的根是两个相等实数的情形。
∵ r1
r2
r
b 2a
，只知一个特解
则 y1* y2* 是线性非齐次方程 a(x) y a1(x) y a2 (x) y f1(x) f2 (x) 的特解。
例2.已知某二阶线性非齐次微分方程的三个特解：y1 x e x 1, y2 e x 1, y3 1 x，求该方程的通解。
4.3.2 二阶常系数线性微分方程的解法
例 1．判定下列方程是否是二阶线性微分方程。
（1） y5y 6 y 0 ；
（2） y3yy sin x ；
（3）
2
d2x dt2
3
dx dt
5x
0
；
（4） y cosy 0 。
§4.3.1二阶线性微分方程解的结构
（一）函数的线性相关性
定义 1 设函数 y1(x), y2 (x), , ym (x) 在区间 I 上 有 定义，若存在不全为零的常数k1, k2 , , km ，使当 xI 时 ，有 k1 y1(x)k2 y2 (x) km ym (x) 0 ， 则称函数 y1(x), y2 (x), , ym (x) 在区间 I 上 线性相关。 否则就称 y1(x), y2 (x), , ym (x) 在区间 I 上 线性无关。
其中 Qm (x) 是与 Pm (x) 同次但系数待定的多项式， k 按 不是特征方程的根、是单根或二重根依次 取 0，1 或 2。
例1 写出下列方程的特解形式：
(1) y y 6 y 3e2x , (2) y 3y 2 y 3x2ex ,
例 2．求方程 y5 y 6 y 2x 3 的特解。
（2） 4 y12 y 9 y 0 （3） y 2 y 2 y 0
（二）高阶常系数线性齐次方程的解法
n 阶常系数线性齐次方程为
ay(n) a1y(n1) an1y an y 0 ，
③
其特征方程为 arn a1rn1 an1r an 0 . ④
方程②是一个一元 n 次方程 ，有 n 个根 。类似二阶常系
上面结论也适合于一阶线性非齐次方程，还可推广到二阶 以上的线性非齐次方程。
定理 4（线性方程特解的叠加原理）
若 y1* ( x ) 是线性非齐次方程 a(x) y a1(x) y a2 (x) y f1(x) 的特解，
y2*(x) 是线性非齐次方程 a(x) y a1(x) y a2 (x) y f2 (x) 的特解，
例 3．求方程 y4y e2x 的通解。
解：∵特征方程为r2 4 0 ，r1 2, r2 2 ，
∴对应齐次方程的通解为Y C1e2x C2e2x 。 ∵ f (x) e2x ，属 f (x) Pm(x)ex 型( m 0, 2 )，
而 2 是特征根，
∴设 y* Axe2x ，代入原方程解得A 1 ， 4
定理 2
若 y1(x)和y2 (x) 是二阶线性齐次方程①的两个线性
无关的解，则方程①的通解为 y C1 y1(x) C2 y2 (x) ，
其中 C1, C2 为任意常数。
定理 3 若函数 y* (x) 是 二阶线性非齐次方程②的一个特解，
Y (x) 是 方程②所对应的齐次方程①的通解，则 y(x)Y(x) y*(x) 是方程②的通解。