第8讲 电阻电路的分析-特勒根定理、互易定理

S1 22 ' S2 11'
2.证明互易定理 2.证明互易定理（ 证明互易定理（续）
而 故
∴
k =1
uk = Rk ik
b b k k
ˆk ˆk = Rk i u
b k k k
ˆi ∑ u iˆ = ∑ R i iˆ = ∑ R iˆ i = ∑ u
k =1 k =1 k =1 k =1
根据式(1)，应有
ˆ11' + u22'i ˆ22' = u ˆ11'i11' + u ˆ22'i22' u11'i
可得 若u = uˆ 则iˆ = i 即激励电压源与短路端口互换， 口互换，短路端口的响应电流不变， 应电流不变， 即证明了互易定理的第一种形式。 一种形式。
ˆ11' = u ˆ S 2 i22 ' uS 1i
11'
N
N
uS2
1
n1
4 3 3

2
( 2)
1 1
2 5
6
0
图1
∑u i
k =1
b
k k
=0
(1)
证明（ 证明（续） ：
∑u i
k =1
6
§2-11 特勒根定理
2 1 1 2 5
4 3 3
6
k k
= u n1i1 + (un1 − u n 2 )i2 + (u n 2 − u n 3 )i3 + (−u n1 + u n 3 )i4 + un 2i5 + u n 3i6
^11' i
若iˆ 则iˆ
S2
11'
（数值） 数值） = u （数值） 数值）
= u S1
22 '
1'
(a) (b) 设：N是b个线性电阻元件组成的无源网络。 个线性电阻元件组成的无源网络。 图(a)中激励端口 (a)中激励端口、 中激励端口、响应端口的电压和电流分别为 u ，u i ,i 。N内部各支路的电压和电流分别为 u u …u , i i …i 。 图(b)中激励端口 、响应端口的电压和电流分别为 (b)中激励端口、 中激励端口 ˆ ,i ˆ ，N内部各支路的电压和电流分为 ˆ ,u ˆ ,i u ˆ ,i ˆ ,⋅ ⋅ ⋅⋅, i ˆ ，并设u,i为关联参考方向。 ˆ ,u ˆ ,⋅ ⋅ ⋅⋅, u ˆ , i u 为关联参考方向。
6
∑u i
k =1
k k
= u n1 (i1 + i2 − i4 ) + un 2 − i2 + i3 + i5 ) + u n3 (−i3 + i4 + i6 )
6
（
0
⑵ 特勒根似功率定理： 特勒根似功率定理：如果有两个具有n 如果有两个具有n 个节点和 b条支 路的电路， 路的电路，它们由不同的二端元件组成， 它们由不同的二端元件组成，但它们的拓扑 图完全相同。 图完全相同。假设各支路的电压和电流取关联参考方 向，并分别用(i ),i) ,…,i ),(u ,u ,…,u )和 ) ) ) )
1 2 b 1 2 b
1.定理陈述 1.定理陈述
对节点① 对节点①、②、③，应用KCL 应用KCL， KCL，得 将（2）式代入（ 式代入（1）式中， 式中，得
i1 + i2 − i4 = 0 − i2 + i3 + i5 = 0 − i3 + i4 + i6 = 0
(3)
u 2 = u n1 − u n 2 u3 = u n 2 − u n 3 u 4 = u n3 − u n1 u5 = u n 2 u6 = u n 3
证明（ 证明（续） ：我们得到（ 我们得到（6）式和（ 式和（7）式
利用式(6) 利用式(6)和式 (6)和式(7) 和式(7)可以得出 (7)可以得出
∑ u iˆ
k =1 6 k k
§2-11 特勒根定理
u1 = u n1 u 2 = u n1 − u n 2 u3 = u n 2 − u n3 u 4 = u n 3 − u n1 u5 = u n 2 u6 = un3
uS1
1 2 1' 2'
1.定理陈述 1.定理陈述
N
N
i22'
22 '
11'
S1
S2
^ i 11'
1
1'
N
2 ^S2 u 2'
S1
S2
22 '
11'
§2-12 互易定理
§2-12 互易定理
2.证明互易定理 2.证明互易定理
ˆ u22 ' u = 11' ˆS 2 iS1 i
⑵
1 1'
1
iS1
1'
N N
k k k =1
b
k k
=0
3 3 6 0
^ ^ 1 ' 2 ^ 1 ^ 5
^ ^ 4 2' ^ ^ 3 3' ^ 6 ^' 0
∑u i
k =1
k k
=0
证明： 证明： 设两个电路如图1 设两个电路如图1、图2
k =1
) ∑ uk ik = 0
b
(5)
1
图1 图2 对图1 对图1电路， 电路，应用KVL 应用KVL写出节点电压表示的各支路电压表示式 KVL写出节点电压表示的各支路电压表示式 对图2 对图2电路， 电路，应用KCL 应用KCL写出各节点电流代数和表示式 KCL写出各节点电流代数和表示式
11' S1 S2 22 '
u11' = u S1 ˆ 22' = u ˆS 2 u
u 22' = 0 ˆ11' = 0 u
ˆ ˆ ˆ11'i11' +u ˆ22'i22' u11'i 11 ' + u22'i22' = u
(2)
(2)
2
§2-12 互易定理
2.证明互易定理 2.证明互易定理（ 证明互易定理（续）
11’ 22’ 1， 2， b 1， 2， b
11'
22 '
11'
22 '
1
2
b
1
2
b
§2-12 互易定理
2.证明互易定理 2.证明互易定理（ 证明互易定理（续）
b k =1 b
应用特勒根似功率定理
(1a )
(1b)
k = 1,2,⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅, b
b k k k k k
§2-12 互易定理
ˆ11' + u 22'i ˆ22' + ∑ u k i ˆk = 0 u11'i
ˆ11'i11' + u ˆ 22'i22' + ∑ u ˆ k ik = 0 u
若将u 接入11'端， 端短路， 将22' 端短路 ，则短路线中的 电流为i ,然后 将uˆ 接入 22' 端， 将11' 端短路， 端短路，则短路电流为 iˆ , 在(2)式中， 式中，令
∑ uk iˆk = 10 + 6 + 2 + 4 + 6 − 28 = 0
ˆ ˆi ∑u
k =1 k k
= 14 + 4 + 5 + 6 + 3 − 32 = 0
对由线性电阻元件所组成的不含独立源和受控源的二端口 网络N 网络N，互易定理具有下列三种形式 ⑴ ˆ 若 u = uˆ N i i = 图1 u ˆ u 则 i = iˆ
=0
上式中的每一项， 上式中的每一项，是具有相同拓扑结构的两个电路 中，一个电路的支路电压与另一个电路的支路电流所必 须遵循的数学关系。 须遵循的数学关系。它们具有功率之和的形式， 它们具有功率之和的形式，所以称 为“似功率定理”。 说明：（ 说明：（1 ：（1）特勒根定理在任何时刻t 特勒根定理在任何时刻t均满足 （2）电路中电压电流取关联参考方向 （3）特勒根定理只决定于电路的图， 特勒根定理只决定于电路的图，与元件无关 （4）普适定理， 普适定理，适用于线性和非线性电路
1
例： 图示两个不同的电路， 图示两个不同的电路，元件性质可以完全不同。 元件性质可以完全不同。表中为 两个电路在某一瞬间的支路电流和电压值。 两个电路在某一瞬间的支路电流和电压值。这些电流和
电压分别满足KCL 电压分别满足KCL和 KCL和KVL,不难验证 KVL,不难验证： 不难验证：
i6 u2 u1 i1 i2 u3 u6 i4 u 4 u5 i3 i5
2
u22'
2'
^11' u
2^ i S2 2'
图2
若 则
1
2
1
2
^ i
11'
ˆS 2 iS 1 = i ˆ11' u 22 ' = u
u
i
1'
11'
11'
N
11’ 22’
i
22'
u
2'
22'
u
^
11'
1'
N
^ i
22'
2'
^ u
22'
⑶
1
1
uS1
1'
N N
2'
2
u22'
2'
2^ i S2
图3
ˆ u22 ' i = 11' ˆS 2 uS 1 i
§2-11 特勒根定理
拓扑图——在电路中， 在电路中，将每个二端元件（ 将每个二端元件（不管是什么性质 的元件） 的元件）用一线段表示， 用一线段表示，称它为支路。 称它为支路。每一线段的端点， 每一线段的端点， 称它为节点， 称它为节点，这样得到的以线、 这样得到的以线、点组成的图形为电路的线 图拓扑图， 图拓扑图，简称为图。 简称为图。 电路图 拓扑图
å
k= 1
(7)
图1
^ ^ 1 ' 2 ^ 1 ^ 5 ^ 6
ˆk = 0 uk i
同理：
n
å
k= 1
ˆk ik = 0 u
ˆ1 + u 2i ˆ2 + u3i ˆ3 + u4 i ˆ4 + u5i ˆ5 + u6i ˆ6 = u1i
ˆ2 + ( u n 2 − u n 3 )iˆ3 = u n1iˆ1 + (u n1 − u n 2 ) i ˆ ˆ6 + ( − u n1 + u n 3 ) i4 + u n 2 iˆ5 + u n 3 i
S1 S2
ˆ ˆ ˆ11'i11' +u ˆ22'i22' u11'i 11 ' + u22'i22' = u
22 '
(2)
注意： 注意：互易前后， 互易前后，支路电流、 支路电流、电压的方向。 电压的方向。
i1
uS1
若将i 接入11' 端，令22'端开路，则开路端电压为u ; 然后将iˆ 接入22' 端，令11' 端开路，则开路端电压为u ; 则在(2)式中，令 i = −i i = 0 iˆ = −iˆ iˆ = 0 可得 − uˆ i = −u iˆ
1 2 b 1 2 b
§2-11 特勒根定理
来表示两者的b 来表示两者的b条支路的电流和电压， 条支路的电流和电压，则对任何时间t, 则对任何时间t, 有
∑u i
k =1 b
(i1 , i2 ,..., ib ), (u1 , u2 ,..., ub )
( 4)
1 2 5 4 2
)
上式括号中的电流分别为节点① 上式括号中的电流分别为节点①、②、③的电流之代数和 故引用(3) 故引用(3)即有 (3)即有 ∑ u i = 0 ∴对任何具有n 对任何具有n 个节点和 b条支路的电路， 条支路的电路，可以证明
证明： 证明：以节点 为参考节点， 为参考节点，令u 、u 、u 分别为① 分别为①、
②、③的节点电压。 的节点电压。由支路电压与节点电压的关 系，则 u = u
n1 n2 n3
§2-11 特勒根定理
0
例如： 例如：
⑴ 特勒根功率定理： 特勒根功率定理： 对于一个具有n 对于一个具有n个节点和b 个节点和b条支路的电路， 条支路的电路，假设各支路电流和电 压取关联参考方向， 压取关联参考方向，并令(i 并令(i ,i ,…, i )，(u ,u ,…,u )分别 为b条支路的电流和电压， 条支路的电流和电压，则对任何时间t 则对任何时间t，有：
ˆ2 + i ˆ3 + iˆ5 ) = u n1 (iˆ1 + iˆ2 − iˆ4 ) + u n 2 − i ˆ4 + i ˆ6 ) = 0 + u n 3 ( − iˆ3 + i
^ ^ '4 2 ^ ^ 3 3'
（
图2
^' 0
∑ u iˆ
k =1
6
k k
=0
同理： 同理：
ˆi ∑u
k =1
6
k k
(6)
4 2 1 1 2 5 3 3 6 0
§2-11 特勒根定理
n
) ) ) − i3 + i 4 + i6 = 0
) ) ) i1 + i2 − i4 = 0 ) ) ) − i2 + i3 + i5 = 0
此证明可以推广到任何具有n 此证明可以推广到任何具有n 个节点和b 个节点和b条支路的 两个电路， ，只要它们具有相同的拓扑图。 两个电路 只要它们具有相同的拓扑图。
§2-12 互易定理
2V 1 Ω 2 Ω 4 Ω 3 Ω I=1/3A 5 Ω 1 Ω 2 Ω I=1/3A 4 Ω 3 Ω 5 Ω 2V
^ i6 i2 ^2 ^ u ^1 u ^3 u ^ i1
^6 u ^ i4 u ^ ^3 i
4
^5 u ^5 i
u,i uk (V ) 5 ik ( A) -3 ˆk (V ) 7 u ˆk ( A) 2 i
支路 1
(a) 2 3 1 2 2 3 4 2 2 5 1 4 -1 6 1 5 6 -2 1 -1 -3 7 2 8 -4
∑u i
k =1 6
6
(b)
k k
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
= −15 + 3 + 4 − 4 − 2 + 14 = 0
ˆi ∑u
k =1 6
k =1 6
k k
= −21 + 2 + 10 − 6 − 1 + 16 = 0