第8讲 电阻电路的分析-特勒根定理、互易定理
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特勒根定理和互易定理
特勒根定理和互易定理————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：特勒根定理和互易定理1、特勒根定理1特勒根定理1内容为：对于一个具有n个结点和b条支路的电路，假设各支路电流和支路电压取关联参考方向，并令、分别为b条支路的电流和电压，则对任何时刻t，有此定理对任何具有线性、非线性、时不变、时变元件的集总电路都适用，它实质上是电路功率守恒的数学表达式。
2、特勒根定理2特勒根定理2内容为：如果两个具有n个结点和b条支路的电路，它们具有相同的图，但由不同的支路构成。
假设各支路电流和支路电压取关联参考方向，并分别用、和、表示两电路中b条支路的电流和电压，则对任何时刻t，有此定理同样对任何具有线性、非线性、时不变、时变元件的集总电路都适用，但它不再是电路功率守恒的数学表达式。
有时称它为“拟功率定理”。
它仅仅是对两个具有相同拓扑的电路中，一个电路的支路电压和另一个电路的支路电流之间所遵循的数学关系。
<?xml:namespace prefix = o />3、互易定理的使用条件1）电路只含有一个独立电源；2）电路中没有受控源；3）电路中的所有无源元件全部为线性电阻。
4、互易定理1互易定理1内容为：对于一个线性无源网络NS，外加激励电压与网络响应电流互换位置时，响应电流相同，如图1所示，即=，则有。
图1互易定理15、互易定理2互易定理2内容为：对于一个线性无源网络N，外加激励电流与网络响应电压互换位置时，响应电压相同，如图2所示，即=，则有。
图2互易定理26、互易定理3互易定理3内容为：对于一个线性无源网络N，若激励在数值上相等，即=，则有，如图3所示。
图3互易定理3。
第8讲 电阻电路的分析-特勒根定理、互易定理
支路 1
(a) 2 3 1 2 2 3 4 2 2 5 1 4 -1 6 1 5 6 -2 1 -1 -3 7 2 8 -4
∑u i
k =1 6
6
(b)
k k
= −15 + 3 + 4 − 4 − 2 + 14 = 0
ˆi ∑u
k =1 6
k =1 6
k k
= −21 + 2 + 10 − 6 − 1 + 16 = 0
uS1
1 2 1' 2'
1.定理陈述 1.定理陈述
N
N
i22'
22 '
11'
S1
S2
^ i 11'
1
1'
N
2 ^S2 u 2'
S1
S2
22 '
11'
§2-12 互易定理
§2-12 互易定理
2.证明互易定理 2.证明互易定理
ˆ u22 ' u = 11' ˆS 2 iS1 i
⑵
1 1'
1
iS1
1'
N N
k k k =1
b
k k
=0
3 3 6 0
^ ^ 1 ' 2 ^ 1 ^ 5
^ ^ 4 2' ^ ^ 3 3' ^ 6 ^' 0
∑u i
k =1
k k
=0
证明： 证明： 设两个电路如图1 设两个电路如图1、图2
k =1
) ∑ uk ik = 0
b
(5)
1
图1 图2 对图1 对图1电路， 电路，应用KVL 应用KVL写出节点电压表示的各支路电压表示式 KVL写出节点电压表示的各支路电压表示式 对图2 对图2电路， 电路，应用KCL 应用KCL写出各节点电流代数和表示式 KCL写出各节点电流代数和表示式
电路(特勒根互易定理)
(b)
则两个支路中电压电流有如下关系: 则两个支路中电压电流有如下关系:
u2 u1 = iS1 iS 2
当
或 u1 i S 1 = u2 i S 2
时,u2 = u1
返 回 上 页 下 页
iS1 = iS2
情况3 情况3
激励
图a 图b
电流源 电压源 响应 线性 电阻 网络 NR
图a 图b
电流 电压
a iS1 b
线性 电阻 网络 NR
c i2 d
a + u1 – b
c + – d uS2
(a)
(b)
则两个支路中电压电流在数值上有如下关系: 则两个支路中电压电流在数值上有如下关系:
i2 u1 = i S 1 uS 2
当
或 u1 i S 1 = uS 2 i2
时,i2 = u1
返 回 上 页 下 页
1. 互易定理
对于一个仅含线性电阻且只有一个激励的电路, 对于一个仅含线性电阻且只有一个激励的电路,在保持 电路将独立源置零后电路拓扑结构不变的条件下, 电路将独立源置零后电路拓扑结构不变的条件下,当激励与 响应互换位置后,响应与激励的比值保持不变. 响应互换位置后,响应与激励的比值保持不变.
返 回
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情况1 情况1 a uS1 + – b
激励 线性 电阻 网络 NR
电压源
响应 线性 电阻 网络 NR
电流
c i2 d i1
a
c + – d uS2
(a)
b
(b)
则两个支路中电压电流有如下关系: 则两个支路中电压电流有如下关系:
当
uS1 = uS2
时,i2 = i1
特勒根与互易定理.ppt
0
以④节点作为电位参考点，则 ①、②、③节点的电位分别为 v1、v2、v3
i1 i4 i6 0 i2 i4 i5 0 i3 i5 i6 0
u1 v1, u2 v2 , u3 v3 ,
u4
v1
v2 , u5
v2
v3 , u6
v3
v1
对于任一具有nt = n+1个节点、b条支路的电路，其 支路电流、支路电压分别为( i1，i2 ，···，ib )、 ( u1，u2 ，···， ub )，且各支路电压与电流参考方 向相关联，则在任意时刻t，均有
b
ukik 0
k 1
该定理表明，在任意电路中，在任何瞬时t，各支路 吸收功率的代数和恒等于零。也就是说，电路中各独 立源供给功率的总和，等于其余各支路吸收功率的总 和，满足功率守恒。
注意：
（1）该定理要求u(或 uˆ )和i(或 iˆ)应分别满足KVL和KCL。
特勒根定理适用于任何（线性或非线性、有源或 无源、时变或非时变）集中参数网络。 特勒根定理只与考虑电路的联接形式，与元件特性 无关。
（2）每一个支路的电流、电压均取一致的参考方向。
（3）特勒根定理既可用于两个具有相同有向图的不同 网络，k Rkikiˆk
k 1
k 1
b
b
Rkiˆkik uˆkik
k 1
k 1
u11iˆ11 u22iˆ22 uˆ11i11 uˆ22i22
互易定理的第一种形式
因为 则 故
u11 us , u22 0 uˆ22 us , uˆ11 0
I2
2-8互易定理解析
➢互易定理的第一种形式
因为 则 故
u11iˆ11 u22iˆ22 uˆ11i11 uˆ22i22
u11 us , u22 0 uˆ22 us , uˆ11 0
usiˆ11 usi22
iˆ11 i22
➢互易定理的第二种形式
因为 则 故
u11iˆ11 u22iˆ22 uˆ11i11 uˆ22i22
i11 is，i22 0 iˆ22 is，iˆ11 0 u22is uˆ11is
u22 uˆ11
➢互易定理的第三种形式
因为
则 又因 故
u11iˆ11 u22iˆ22 uˆ11i11 uˆ22i22
i11 is，u22 0 uˆ22 us，iˆ11 0
0 uˆ11is usi22
b
u11iˆ11 u22iˆ22 uk iˆk 0 k 1 b
uˆ11i11 uˆ 22i22 uˆ k ik 0 k 1
对于网络N的内部，有
b
b
b
b
uk iˆk Rk ik iˆk Rk iˆk ik uˆk ik
k 1
k 1
k 1
k 1
u11iˆ11 u22iˆ22 uˆ11i11 uˆ22i22
(a)
(b)
解： 由于图（a）、（b）中的网络N相同，故
U1Iˆ1 U 2 Iˆ2 Uˆ 1I1 Uˆ 2 I2
代入数据得
10
Uˆ 1 4
0
Iˆ2
Uˆ 1
(5)
51
(5 7.5
V 2 3
V
(b) 若将图（b）的5 V电压源换为15 V电压源，则根据线性电路
的齐次性，可得此时的电压
Uˆ 1
(3 2) 3
2-7、2-8、2-9 特勒根定理 、互易定理、节点分析法
4 1 1 4 2 2 4 3 3
6
ˆ ˆ ˆ (v1 -v 2 )i4 + (v 2 -v 3 )i5 + (v 3 -v1 )i6
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ = v1 ( − i1 + i4 − i6 ) + v 2 ( i2 − i4 + i5 ) + ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ν 3 ( − i3 − i5 + i6 ) + v 4 ( i1 + i2 + i3 )
1. 互易定理
对一个仅含电阻的二端口电路N， 对一个仅含电阻的二端口电路 ，其中一 仅含电阻的二端口电路 个端口加激励源，一个端口作响应端口， 个端口加激励源，一个端口作响应端口，在 只有一个激励源的情况下，当激励与响应互 只有一个激励源的情况下， 的情况下 换位置时，同一激励所产生的响应相同。 换位置时，同一激励所产生的响应相同。
b
∑u i
k =1
k k
=0
特勒根功率定理： 特勒根功率定理： 在任意电路中，任何时刻，各支路吸收功率的 在任意电路中，任何时刻，各支路吸收功率的 吸收 代数和恒为零。 代数和恒为零。
每一个支路的电流、电压均取一致的参考方向。 每一个支路的电流、电压均取一致的参考方向。
2-7-2. 特勒根似功率定理
= v1 ( − i1 + i4 − i6 ) + v 2 ( − i2 − i4 + i5 ) + v 3 ( − i3 − i5 + i6 + v 4 ( i1 + i2 + i3 ) =0 ）
将这一结论推广到任一具有n n+1个节点 个节点、 将这一结论推广到任一具有nt = n+1个节点、b条支路的 电路， 电路，则有 :
6
ˆ ˆ ˆ (v1 -v 2 )i4 + (v 2 -v 3 )i5 + (v 3 -v1 )i6
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ = v1 ( − i1 + i4 − i6 ) + v 2 ( i2 − i4 + i5 ) + ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ν 3 ( − i3 − i5 + i6 ) + v 4 ( i1 + i2 + i3 )
1. 互易定理
对一个仅含电阻的二端口电路N， 对一个仅含电阻的二端口电路 ，其中一 仅含电阻的二端口电路 个端口加激励源，一个端口作响应端口， 个端口加激励源，一个端口作响应端口，在 只有一个激励源的情况下，当激励与响应互 只有一个激励源的情况下， 的情况下 换位置时，同一激励所产生的响应相同。 换位置时，同一激励所产生的响应相同。
b
∑u i
k =1
k k
=0
特勒根功率定理： 特勒根功率定理： 在任意电路中，任何时刻，各支路吸收功率的 在任意电路中，任何时刻，各支路吸收功率的 吸收 代数和恒为零。 代数和恒为零。
每一个支路的电流、电压均取一致的参考方向。 每一个支路的电流、电压均取一致的参考方向。
2-7-2. 特勒根似功率定理
= v1 ( − i1 + i4 − i6 ) + v 2 ( − i2 − i4 + i5 ) + v 3 ( − i3 − i5 + i6 + v 4 ( i1 + i2 + i3 ) =0 ）
将这一结论推广到任一具有n n+1个节点 个节点、 将这一结论推广到任一具有nt = n+1个节点、b条支路的 电路， 电路，则有 :
特勒根定理ppt课件
uˆ1i1 uˆ 2i2 uˆ k ik 0
uk iˆk Rk ik iˆk ( Rk iˆk )ik uˆ k ik 5
k3
证明： 设共有b条支路， u1 uS , u2 0;uˆ1 0, uˆ 2 uˆ S
b
u1iˆ1 u2iˆ2 uk iˆk 0
uk Rkik uˆ k Rk iˆk
( un3 un1 )i4 un2i5 un3i6
un1( i1 i2 i4 ) un2 ( i2 i3 i5 ) un3 ( i3 i4 i6 )
0
KCL：
能量守恒是特勒根定理1的特例
i1 i2 i4 0
二、特勒根定理2：
i2 i3 i5 0 i3 i4 i6 0
2.6 特勒根定理
一、特勒根定理1：
对于一个n个结点，b条支路的网络，令向量i=(i1，i2…..，ib) 和u=(u1，u2…..，ub)分别表示支路电流和支路电压，并规定
支路电压和支路电流为关联参考方向，有：
证明： 4
b
ukik 0
k 1
KCL：
①
②
③
2
3
15
6
0
i1 i2 i4 0 i2 i3 i5 0 i3 i4 i6 0
u ( u1 ,u2 ,...........,ub )
iˆ ( iˆ1 ,iˆ2 ,...........,iˆb ) uˆ ( uˆ1 ,uˆ 2 ,...........,uˆ b ) 来表示
并规定所有支路电压和支路电流为关联参考方向, 则有：
b
ukiˆk 0
k 1
b
uˆ kik 0
即
uS i2
uˆ S iˆ1
特殊 uS uˆ S , 则 i2 iˆ1
uk iˆk Rk ik iˆk ( Rk iˆk )ik uˆ k ik 5
k3
证明： 设共有b条支路， u1 uS , u2 0;uˆ1 0, uˆ 2 uˆ S
b
u1iˆ1 u2iˆ2 uk iˆk 0
uk Rkik uˆ k Rk iˆk
( un3 un1 )i4 un2i5 un3i6
un1( i1 i2 i4 ) un2 ( i2 i3 i5 ) un3 ( i3 i4 i6 )
0
KCL：
能量守恒是特勒根定理1的特例
i1 i2 i4 0
二、特勒根定理2：
i2 i3 i5 0 i3 i4 i6 0
2.6 特勒根定理
一、特勒根定理1：
对于一个n个结点，b条支路的网络，令向量i=(i1，i2…..，ib) 和u=(u1，u2…..，ub)分别表示支路电流和支路电压，并规定
支路电压和支路电流为关联参考方向，有：
证明： 4
b
ukik 0
k 1
KCL：
①
②
③
2
3
15
6
0
i1 i2 i4 0 i2 i3 i5 0 i3 i4 i6 0
u ( u1 ,u2 ,...........,ub )
iˆ ( iˆ1 ,iˆ2 ,...........,iˆb ) uˆ ( uˆ1 ,uˆ 2 ,...........,uˆ b ) 来表示
并规定所有支路电压和支路电流为关联参考方向, 则有：
b
ukiˆk 0
k 1
b
uˆ kik 0
即
uS i2
uˆ S iˆ1
特殊 uS uˆ S , 则 i2 iˆ1
特勒根定理和互易定理
2.8 特勒根定理和互易定理
2.8.1 特勒根定理推广应用
在使用定理的过程中，一定要注意对应支路的电压、电流的参 考方向要关联 例3、图中N由纯电阻组成，根据已知，求图（c）中的 I1和I2 。 3A 4 20V
+
(a)
1A
5
4
-
N
(a) I1 20V
+
(a)
2A
-
20V
N
(b)
4
+
(a)
又根据KCL，得： 6
k 1
u i
k k
0
un1 i1 u1 is1 i2
i4
R1 u4 i5 u5 is2 i 3 un3 u3
推广到任何具有n个结点 和b条支路的电路，有：
R2 un2 u2 R3
u i
k 1
b
k k
0
R4
i6 u6
2.8 特勒根定理和互易定理
2.8.1 特勒根定理
i1= -3A u2 = 5V i'1=？ u'2 = 0
i2=1A i'2=2A
利用例2结
论计算： i'1=-3.5A
i''2=I2 i''1=-I1 u''2=20+5i''2 联立(a)、(c) ： -8I1+5I2 =-3·(20-4I1) +(20+5I2)
联立(b)、(c) ： -6I1+0 =-3.5·(20-4I1) + 2·(20+5I2) i''2 I2 5 I1 4 i''1 (a) + I1= 2A I2= -1A + + + u''1 N u''2 20V 20V (c)
15-4互易定理
例 求图示两端口的Y 参数。
解
I1
+ U1
3 3
6
I2
+ 15 U 2
为互易对 称两端口
1 I Y11 1 U
I Y21 2 U 1
2 0 U
1 0.2S 3 // 6 3
1 I1 3 0.0667 S U 1
0 U 2
u
k 1
b
k
ˆk ik 0 i k 0 和 u
k 1
b
u
k 1
b
k
i k u1 i 1 u2 i 2 uk i k
k 3
b
u1 i 1 u2 i 2 Rk ik i k 0
b
u
k 1
b
k k
i u1 i1 u 2 i2 u k ik
§2-2 互易定理 特勒根定理
1. 特勒根定理1
任何时刻，一个具有n个结点和b条支路的集总 电路，在支路电流和电压取关联参考方向下，满足:
u i
k 1
b
k k
0
功率守恒
表明 任何一个电路的全部支路吸收的功率之
和恒等于零。
定理证明： 1 2 3
b
应用KCL:
2
i1 i2 i4 0 i4 i5 i6 0 i2 i3 i6 0
激励 线性 电阻 网络 NR (a) c i2 d
电压源 a i1 b
响应 线性 电阻 网络 NR (b) c
电流 + uS2 – d
2.8 特勒根定理和互易定理
− 1'
u2 = 0
u s1
−
u1
+
NR
(a )
u2
− 2'
2 +
根据特勒根定理证明： 根据特勒根定理证明：
i2
互易后
ˆ u1 = 0
ˆ i2 i1 = us1 us 2
iˆ2
+
iˆ1
1 +
− 1'
ˆ u1
NR
(b )
ˆ u2
− 2'
2 +
−
us 2
若us1 = us2 ,则i2 = i1．
^
XIDIAN UNIVERSITY 2011年 AM 日星期五12 2011年10月14日星期五12时 GaoJN 西安电子科技大学电路信号与系统实验中心 10/14/2011 12:56:55 10月14日星期五12时 Gao Jianning
第10-5页 10-
■
二、互易定理
对于一个仅含线性电阻的二端 口电路N 口电路 R，在只有一个激励源的情 况下，当激励与响应互换位置时， 况下，当激励与响应互换位置时， 同一激励所产生的响应相同。 同一激励所产生的响应相同。
互易定理有三种形式。详见课本第 页 互易定理有三种形式。详见课本第78页。
4 Ω 3
+
4ˆ ˆ ˆ I × 2 + ∑ uN I N + u × 0 = 0 3 ˆ ∵ ∑ uN IˆN = ∑ uN I N
解得： 解得：
ˆ I = −3 A
NR
U = 2V
−
−
应用齐次性和叠加性， 应用齐次性和叠加性，令：
I = k1 × 10 + k2 × 10
u2 = 0
u s1
−
u1
+
NR
(a )
u2
− 2'
2 +
根据特勒根定理证明： 根据特勒根定理证明：
i2
互易后
ˆ u1 = 0
ˆ i2 i1 = us1 us 2
iˆ2
+
iˆ1
1 +
− 1'
ˆ u1
NR
(b )
ˆ u2
− 2'
2 +
−
us 2
若us1 = us2 ,则i2 = i1．
^
XIDIAN UNIVERSITY 2011年 AM 日星期五12 2011年10月14日星期五12时 GaoJN 西安电子科技大学电路信号与系统实验中心 10/14/2011 12:56:55 10月14日星期五12时 Gao Jianning
第10-5页 10-
■
二、互易定理
对于一个仅含线性电阻的二端 口电路N 口电路 R，在只有一个激励源的情 况下，当激励与响应互换位置时， 况下，当激励与响应互换位置时， 同一激励所产生的响应相同。 同一激励所产生的响应相同。
互易定理有三种形式。详见课本第 页 互易定理有三种形式。详见课本第78页。
4 Ω 3
+
4ˆ ˆ ˆ I × 2 + ∑ uN I N + u × 0 = 0 3 ˆ ∵ ∑ uN IˆN = ∑ uN I N
解得： 解得：
ˆ I = −3 A
NR
U = 2V
−
−
应用齐次性和叠加性， 应用齐次性和叠加性，令：
I = k1 × 10 + k2 × 10
08 诺顿、特勒根和互易定理
T T T T n T n
ˆ 同理可证：i Tu 0, u Ti 0, i Tu 0 ˆ ˆ
电路
南京理工大学自动化学院
4.4 特勒根定理
例: 已知图中N0为线性电阻无源网络，由图a中测得us1=20V，
ˆ i1=10A, i2=2A, 当图b中 i1=4A时，试用特勒根定理求 us2 ˆ
T T T u i 0 (i u 0) u i 0 (i u 0)
T
即拟功率守恒：
电路
uk ik 0 或
k 1
b
uk ik 0
b k 1
南京理工大学自动化学院
4.4 特勒根定理
特勒根定理
定理 2 证明：
u i ( A un ) i u A i u ( A i ) 0
同理可证：T u 0 i
电路
南京理工大学自动化学院
4.4 特勒根定理
ˆ 定理二、有网络N和网络 N ，若它们具有相同的 关联矩阵，并设支路电压向量与支路电流向量 分别为： uT u1 , u2 , , ub i T i1 , i2 , , ib T T u u1 , u2 , , ub i i1 , i2 , , ib 且各支路电压电流为关联参考方向，则：
这个电路结构所服从的KCL和KVL方程时，一个元件电路
就可以抽象成一个线图
电路
南京理工大学自动化学院
4.4 特勒根定理
图论基础 1、图(Graph)：用线段代替电路中的支路，并 保留原电路中的节点，如此所构成的点线图， 称为原电路对应的图，用G表示。
R6
①.
②
.
+ Us1 _
ˆ 同理可证：i Tu 0, u Ti 0, i Tu 0 ˆ ˆ
电路
南京理工大学自动化学院
4.4 特勒根定理
例: 已知图中N0为线性电阻无源网络，由图a中测得us1=20V，
ˆ i1=10A, i2=2A, 当图b中 i1=4A时，试用特勒根定理求 us2 ˆ
T T T u i 0 (i u 0) u i 0 (i u 0)
T
即拟功率守恒：
电路
uk ik 0 或
k 1
b
uk ik 0
b k 1
南京理工大学自动化学院
4.4 特勒根定理
特勒根定理
定理 2 证明：
u i ( A un ) i u A i u ( A i ) 0
同理可证：T u 0 i
电路
南京理工大学自动化学院
4.4 特勒根定理
ˆ 定理二、有网络N和网络 N ，若它们具有相同的 关联矩阵，并设支路电压向量与支路电流向量 分别为： uT u1 , u2 , , ub i T i1 , i2 , , ib T T u u1 , u2 , , ub i i1 , i2 , , ib 且各支路电压电流为关联参考方向，则：
这个电路结构所服从的KCL和KVL方程时，一个元件电路
就可以抽象成一个线图
电路
南京理工大学自动化学院
4.4 特勒根定理
图论基础 1、图(Graph)：用线段代替电路中的支路，并 保留原电路中的节点，如此所构成的点线图， 称为原电路对应的图，用G表示。
R6
①.
②
.
+ Us1 _
互易定理补充
U 1 (− I 1 ) + U 2 I 2 = U 1 (− I 1 ) + U 2 I 2 ( 负号是因为 U 1 , I 1的方向不同 )
∧ ∧ ∧ ∧
∧
∧
∧
− 4 × 3 + 2 × 1.25 U 2 = −4.8 × 2 + U 2 × 1 →
∧
∧
U 2 = 2.4 / 1.5 = 1.6V
Ω 时 U2 (2) R1=1.4 Ω, R2=0.8Ω, Us'=9V时, I1'=3A, – 求U2'。
解：利用特勒根定理
∧ ∧
由(1)得：U1=4V, I1=2A, U2=2V, I2=U2/R2=1A 得
由(2)得 : U 1 = 4.8V, I 1 = 3 A, I 2 = U 2 /R2 = (5/4) U 2
代入
u i +u i = u i +u i
' 1 1 ' 22
可得： 可得： i1’=i2 结论： 当激励电压源与短路端口互换位置时， 结论： 当激励电压源与短路端口互换位置时，短路端口的 电流响应不变。 电流响应不变。 返回
使用时注意方向： 使用时注意方向： a uS + – b c i2 d i1’ b a c – uS’ + d
A
A
由已知有： 由已知有 10V 20V + -
Ri + Uo
10 − U 0 =2 Ri 20 − U 0 =6 Ri
U 0 = 5V Ri = 2.5Ω
由此可求IR’
IR’
2.5Ω Ω
I2
IR’
2.5Ω Ω
A
2.5Ω Ω + 5V
∧ ∧ ∧ ∧
∧
∧
∧
− 4 × 3 + 2 × 1.25 U 2 = −4.8 × 2 + U 2 × 1 →
∧
∧
U 2 = 2.4 / 1.5 = 1.6V
Ω 时 U2 (2) R1=1.4 Ω, R2=0.8Ω, Us'=9V时, I1'=3A, – 求U2'。
解：利用特勒根定理
∧ ∧
由(1)得：U1=4V, I1=2A, U2=2V, I2=U2/R2=1A 得
由(2)得 : U 1 = 4.8V, I 1 = 3 A, I 2 = U 2 /R2 = (5/4) U 2
代入
u i +u i = u i +u i
' 1 1 ' 22
可得： 可得： i1’=i2 结论： 当激励电压源与短路端口互换位置时， 结论： 当激励电压源与短路端口互换位置时，短路端口的 电流响应不变。 电流响应不变。 返回
使用时注意方向： 使用时注意方向： a uS + – b c i2 d i1’ b a c – uS’ + d
A
A
由已知有： 由已知有 10V 20V + -
Ri + Uo
10 − U 0 =2 Ri 20 − U 0 =6 Ri
U 0 = 5V Ri = 2.5Ω
由此可求IR’
IR’
2.5Ω Ω
I2
IR’
2.5Ω Ω
A
2.5Ω Ω + 5V
电路定理
I
I
3
4V 10A
2 3
5A
5
20V 5
4V
2
20V
(a)
(b)
【解】 (1) 电压源单独作用时，电路如图（b）所示
(2) 10A电流源单独作用，电路如图(c)所示
I
3 10A
2
5
(c)
(3) 5A电流源单独作用，电路如图(d)所示
I 3
2 5A 5
(d)
由叠加定理得
4.1.2 齐性定理
定理内容：在线性电阻电路中，当所有激励都 增大或缩小k倍时，响应也同样增大或缩小k倍。
11 / /1
1 0.5
由KCL和VAR得
(2) 求
,电路如图（c）所示。
1
1
I0
1
U 1
U0
0.5U
(c)
(3) 求电流 ,电路如图（d）所示。
I
15
2
3
2 3
(d)
由分流公式
4.2.3 最大功率传递定理
一个线性含源单口电路，当所接负载不同时， 一端口电路传输给负载的功率就不同。
讨论：负载为何值时，能从电路获取最大功率， 及最大功率的值是多少。
u1iˆ1 u2iˆ2 uˆ1i1 uˆ2i2
u2is uˆ1is
iˆ1 0
+
uˆ1 NR
-
iˆ2
+
is
uˆ 2
-
iˆ1 0 iˆ2 is
可得： uˆ1 u2
形式3
i1
+
i2
iˆ1 0
iˆ2
+
+
+
is
特勒根定理
在稳态情况下，线性电容及电感为互易元件
~ ~ ~ ~ V1I1 V1I1 ZI1I1 ZI1I1 0
不是所有元件都是互易元件， 如晶体管，回转器，独立电源等等
2015-1-15 第6章 特勒根定理 9
互易定理：由互易元件组成的P端口网络一定是互易的
I1
Ip
V1
~ I1
Vp
~ Ip
由特勒根定理得：
b
~ V I k k 0
k 1
b
所有支路（变化前） 所有支路（变化后）
k 1 b
~ (Vk Vk ) I k 0
~ V I k k 0
k 1
~ Vk ( I k I k ) 0
b
k 1
nb
b ~ ~ V I V I k k k k 0 k 1
由基尔霍夫电流定律 Ka I b 0
故必有
T Vb I b
0
K b：回路－支路关联矩阵
功率守恒
T 由网络的关联性可知 Ib Kb Im
T VbT Ib VbT ( Kb Im ) ( KbVb ) Im
T
由基尔霍夫电压定律 故必有
2015-1-15
KbVb 0
VbT I b 0
T T ( I b Zb T T ~ I b Zb ) I b
Vb ZbI b Zb I b
~T Vb I b ~T T T~ T~ I b Z b I b ( I b Vb Vb I b ) T T~ I b Zb I b
T~ ( I b Vb
则称
2015-1-15
N
~ 互为伴随网络 N
电路分析之互易定理
9
§2－10互易定理
例4、图中网络N仅由线性电阻组成。根据图(a)和图(b) 的已知条件，求图(c)中电流i1和i2。
3A 4Ω
1A
20V N 5Ω
4Ω
2A
20V N
(a)
(b)
i1 4Ω
5Ω i2
20V N
20V
(c)
2009-10-13
10
§2－10互易定理
例：（续）
§2－10互易定理
解：用叠加、互易、戴维南定理
⑴
N u1S1i11’
1'
2
u22’ i22’
2'
N 1
^i11'
^u11’
1'
^i22’u^2S2
2'
有 i22' = iˆ11' uS1 uˆ S 2
若uˆ S 2 = uS1 则iˆ11' = i22'
使用式： u11'iˆ11' + u22'iˆ22' = uˆ11'i11' + uˆ 22'i22'
需使用互易定理基本关系式有：
(uS - R1 i1) (-i1’) + u2i2’ = (uS’ - R1’ i1’) (-i1)+ u2’i2
并且：i2’ ＝ u2’/R2’ 得：u2’ ＝ 1.6 V
8
例3：电路如图所示，求电流 I
§2－10互易定理
4Ω
2Ω
a
b
2Ω
应用
c
1Ω 8V 2Ω
I 互易定理
§2－10互易定理
§2－10互易定理
特勒根定理
b2
uˆabiabuˆcdicd uˆkik 0 k3
a
c
+a
c
+
4A
N
b
3A uˆ ab
d
-b
N
-8v
d
b2
uabiˆabucdiˆcd ukiˆk 0
ukiˆk ikRkiˆk ikuˆk
k3
b2
uˆabiabuˆcdicd uˆkik 0 k3
b2
b2
即 uˆkik ukiˆk
k3
两个电路中，支路数和节点数
4
都相同，对应支路与节点的联
1
接关系也相同。
2
2 5
64 3
对应支路的联合参考方向相同
3
1
率定理有
§27 特勒根定理
（2）特勒根似功率定理
2 特勒根似功率定理 一、运用范围： 任意集中参数电路。
又叫线形图(linear graph) §2 7 特勒根定理
§2 §2
7 7
特特(勒勒2根根)定定理理内容：教材P60（第9~17行）
二、用途： （1）用于系统的稳定性分析 （2）用来证明其它网络定理
§27 特勒根定理
三、电路的图(graph——拓朴图) +
与电路图(circuit diagram)不同
-
1、电路模型：既包含了元件性质。 又包含了其几何结构。
2、电路的图：去掉其元件性质，由电路的联接关系 得到的点和线的集合。
又叫线形图(linear graph)
b
有 uk ik 0 k 1
0
k 1
令v4=0
支路电压用节 点电压表示
u1= - v1
6
uˆabiabuˆcdicd uˆkik 0 k3
a
c
+a
c
+
4A
N
b
3A uˆ ab
d
-b
N
-8v
d
b2
uabiˆabucdiˆcd ukiˆk 0
ukiˆk ikRkiˆk ikuˆk
k3
b2
uˆabiabuˆcdicd uˆkik 0 k3
b2
b2
即 uˆkik ukiˆk
k3
两个电路中，支路数和节点数
4
都相同，对应支路与节点的联
1
接关系也相同。
2
2 5
64 3
对应支路的联合参考方向相同
3
1
率定理有
§27 特勒根定理
（2）特勒根似功率定理
2 特勒根似功率定理 一、运用范围： 任意集中参数电路。
又叫线形图(linear graph) §2 7 特勒根定理
§2 §2
7 7
特特(勒勒2根根)定定理理内容：教材P60（第9~17行）
二、用途： （1）用于系统的稳定性分析 （2）用来证明其它网络定理
§27 特勒根定理
三、电路的图(graph——拓朴图) +
与电路图(circuit diagram)不同
-
1、电路模型：既包含了元件性质。 又包含了其几何结构。
2、电路的图：去掉其元件性质，由电路的联接关系 得到的点和线的集合。
又叫线形图(linear graph)
b
有 uk ik 0 k 1
0
k 1
令v4=0
支路电压用节 点电压表示
u1= - v1
6
特勒根定理(Tellegen’s Theorem)
表示两个电路中b条支路的电流和电压，则在任何时 间t，都有：
b
uk i k 0
k 1
或
b
uˆk i k 0
k 1
6
证明：设两个电路的图如下图所示，取结点4为参考结点。
对电路1，可列写KVL方程,有:
u1＝－un1 ； u2＝un1－un3 ；
电路1 u3＝un3 ； u4＝un1－un2 ；
中有唯一电压源uj，其在支路k中产生的电流为ikj(图a)；若支 路k中有唯一电压源uk，其在支路j中产生的电流为ijk(图b)。
a
uj + – b
线性 电阻 网络 N0
(a)
c ikj
d
a ijk
b
c
线性 电阻 网络
+ uk
N0
–
d
(b)
12
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则两个支路中电压电流有如下关系：
i4
+
Λ
i5
+
Λ
i6
+
un3
-
Λ
i2+
Λ
i3
-
Λ
i6
把电路2的KCL方程代入上式，可知：
6
uk
iˆk
0
k 1
此上述证明可推广至任何具有n个 结点和b条支路的电路，即有：
b
uk
iˆk
0
k 1
同理可证明定理的第二部分，即有：
b
uˆk ik 0 8
k 1
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4.功率守恒定理：
ukj ujk i j ik
或
ukjik ujk i j
当 ik = jj 时，ukj = ujk 。
b
uk i k 0
k 1
或
b
uˆk i k 0
k 1
6
证明：设两个电路的图如下图所示，取结点4为参考结点。
对电路1，可列写KVL方程,有:
u1＝－un1 ； u2＝un1－un3 ；
电路1 u3＝un3 ； u4＝un1－un2 ；
中有唯一电压源uj，其在支路k中产生的电流为ikj(图a)；若支 路k中有唯一电压源uk，其在支路j中产生的电流为ijk(图b)。
a
uj + – b
线性 电阻 网络 N0
(a)
c ikj
d
a ijk
b
c
线性 电阻 网络
+ uk
N0
–
d
(b)
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则两个支路中电压电流有如下关系：
i4
+
Λ
i5
+
Λ
i6
+
un3
-
Λ
i2+
Λ
i3
-
Λ
i6
把电路2的KCL方程代入上式，可知：
6
uk
iˆk
0
k 1
此上述证明可推广至任何具有n个 结点和b条支路的电路，即有：
b
uk
iˆk
0
k 1
同理可证明定理的第二部分，即有：
b
uˆk ik 0 8
k 1
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4.功率守恒定理：
ukj ujk i j ik
或
ukjik ujk i j
当 ik = jj 时，ukj = ujk 。
线性电阻电路的分析方法和电路定理
基本思想: 以假想的回路电流为未知量列写回路的KVL方 程。若回路电流已求得，则各支路电流可用回路电流线性 组合表 示。 a 选图示的两个独立回路， I1 I2 I3 设回路电流分别为i 、 i 。 l1 l2 R1 R2 il1 R3 + il2 + 支路电流可由回路电流表出 US1 US2 – – i1= il1 i2= il2- il1 i3= il2 b
–R3 i3 + R4 i4 – R5 i5 = 0 R1 i1 + R5 i5 + R6 i6 –uS = 0
R5
KVL
R6
联立求解，求出各支路电流， 进一步求出各支路电压。
清华大学电路原理教学组
规
律
KCL: （n – 1）个独立方程。 KVL: （b - n ＋ 1）个独立方程。
独立节点：与独立方程对应的节点，有n-1个。 独立回路：与独立方程对应的回路。
将支路电流表达式代入（1）式
i2
R2 0
un1 un1 un1 - un2 un1 - un2 iS1 - iS2 iS3 R1 R2 R3 R4
un1 - un2 un1 - un2 un2 - iS3 R3 R4 R5
清华大学电路原理教学组
整理，得
1 1 1 1 1 1 ( ) un1 - ( )un2 i S1 - i S2 i S3 R1 R2 R3 R4 R3 R4
10k UB 40k I3 I5
+ 120V -
I4
I2 40k
20k
240V +
1 1 1 1 120 解 ( )U A - U B 20 40 10 10 20 1 1 1 1 240 - UA ( )U B 10 10 20 40 40
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矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。