[自动控制原理][课件][第05讲][信号流图]
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x5
f
x1
a
d
x
2
b
x3
c
x
4
e
前向通路总增益:前向通路上各支路增益的乘积 前向通路总增益: 如:x1→x2→x3→x4总增益abc. 总增益abc. 回 路:通路的起点就是通路的终点,并且与其它节点相交不 通路的起点就是通路的终点, 多于一次的闭合通路叫回路. 多于一次的闭合通路叫回路. 回路增益:回路中,所有支路增益的乘积.图中有两 个回 回路增益:回路中,所有支路增益的乘积. 路,一个是x2→x3→x2,其回路增益为be, 另一个回 一个是x 其回路增益为be, 路是x 路是x2→x2,又叫自回路,其增益为d. 又叫自回路,其增益为d 不接触回路:指相互间没有公共节点的回路.图中无. 不接触回路:指相互间没有公共节点的回路.图中无.
1
E (s)
G (s)
1
1 C (s)
C (s)
H (s)
H (s)
+ +
R1 ( s )
G11(s)
C1(s)
R1 ( s )
G11 (s )
C1(s)
5
G
21
(s)
G12 (s ) R
2
G12 (s ) R2 (s) G
22
(s)
G G
21(s)
C
22
2
(s)
+
(s)
+
C
2
(s)
(s)
P67 例2-23
L3 = G1G2G3G4 H1
L4 = G3G4 H 4
= 1 ( L1 + L2 + L3 + L4 )
C P= = R
∑P
k =1 k
n
k
G1G2G3G4 = 1 + G2G3 H 3 + G1G2G3 H 2 + G3G4 H 4 G1G2G3G4 H1
小结
1. 信号流图 2. 梅逊公式
自动控制原理
杨 晖 yanghui313@126.com
回顾
系统结构图如下, 系统结构图如下,求传递函数
G(.= s) C(s) R(s)
R(s)
G (s) 1
G4 (s)
-
G2 (s)
+
C(s)
G3 (s)
H(s)
[解]:结构图等效变换如下: 解 :结构图等效变换如下:
G4 ( s )
R(s)
G1 ( s )
2 4 = ∑ pk ∑ pi Li U i k =1 i =2
Li是系数行列式△中与第i条前向通路不接触的所有回路 是系数行列式△中与第i 的回路增益项. 的回路增益项.
令 △ i =1-Li 则传递函数分子多项式可进一步化简: 则传递函数分子多项式可进一步化简:
2 4 = ∑ pk k U i k =1
△ k 是与第k条前向通路对应的余因子式,它等于系数行列式△中, 是与第k条前向通路对应的余因子式,它等于系数行列式△ 去掉与第k条前向通路接触的所有回路的回路增益项后的余式项. 去掉与第k条前向通路接触的所有回路的回路增益项后的余式项. K=1, p1=abcd, △1 =1; K=2, p2=e, △2 =1-gc-bf; =1-gcU 0 p11 + p2 2 1 2 = = ∑ pk k Ui k =1
P= 1 ∑ pk k k =1
式中:——信流图的特征式. 信流图的特征式. 式中: ——信流图的特征式 =1- 所有单独回路增益之和)+(所有两个互不接触回路 =1-(所有单独回路增益之和)+(所有两个互不接触回路 增益乘积之和) 回路乘积之和)+…… 增益乘积之和)–(所有三个互不接触 回路乘积之和)+……
ab x3 = x1 1 bc
x1
(d )
a
x2
b
x3
x1
ab x3 bc
x1
ab 1 bc
x3
c
(3) 信 号 流 图 的 绘 制
序号
方块图
信号流程图
1
R (s)
G (s)
C (s)
R (s)
G (s) C (s)
R (s) +
2
E (s) G (s)
C (s)
R (s)
1
E (s)
G (s)
C (s)
_
H (s)
H (s)
N (s)
N (s)
C (s)
1
R (s) +
3
E (s)
_
G1 ( s )
+
+
G2 (s)
R (s)
1 E ( s ) G1 ( s )
G2 (s) C ( s )
H (s)
H (s) N (s)
R (s)
4
+
E (s)
_
G (s)
+
+
N (s)
C (s) R (s)
U0 abcd + e(1 gc bf ) = U i 1 dh gc fb + fbdh
① 传递函数的分母多项式即是系数行列式△,包括三个单独回 传递函数的分母多项式即是系数行列式△ 路增益之和项, fb+gc+ 路增益之和项,即 - ( fb+gc+dh ),以及两个不接触的回路增益之 乘积项, 乘积项,即fbdh = 1 ∑ La + ∑ Lb Lc ② 传递函数的分子多项式即是系数行列式△4,包括两个前向通 传递函数的分子多项式即是系数行列式△ 路增益之和项, abcd+ 以及与前向通路e 路增益之和项,即 abcd+e,以及与前向通路e不接触的两个单独回 路增益与该前向通路总增益之乘积的和项, gce+bfe) 路增益与该前向通路总增益之乘积的和项,即- (gce+bfe)
第五讲 作业
P80 习题:2-14 习题:
�
x1
f
a
x2
b
x3
c
x4
d
e
(1)几个定义 节点:标志系统的变量x 节点:标志系统的变量x1~x5; 支路:联系两个节点并标有信号流向的定向线段称为支路. 支路:联系两个节点并标有信号流向的定向线段称为支路. 输入节点(或源节点):只有输出支路的节点, ):只有输出支路的节点 输入节点(或源节点):只有输出支路的节点,如x1,x5. 输出节点(或阱节点):只有输入支路的节点, ):只有输入支路的节点 输出节点(或阱节点):只有输入支路的节点,如x4. 混合节点:既有输出支路,又有输入支路的节点,如:x2,x3. 混合节点:既有输出支路,又有输入支路的节点, 两个节点之间的增益叫传输. 传 输:两个节点之间的增益叫传输.如:x1→x2之间的增 益为a 则传输也为a 益为a,则传输也为a. 前向通路:信号由输入节点到输出节点传递时, 前向通路:信号由输入节点到输出节点传递时,每个节点只通 过一次的通路称为前向通路. 过一次的通路称为前向通路.如:x1→x2→x3→x4 .
0 0 h 1
aU i 0 0 eU i = abcdU i + eU i (1 gc bf )
= 1 dh gc fb + fbdh
1 f 4 = b 0 0
X 4 = U0 = 4 /
U0 X 4 abcd + e(1 gc bf ) = = U i U i 1 dh gc fb + fbdh
C(s) 1 = G = (p1Δ + p2Δ + p3Δ) 1 2 3 R(s) Δ G1G2G3G4G5 + G1G6G4G3 + G1G2G7 (1+ G4H1) = 1+ G4H1 + G2G7H2 + G6G4G5H2 + G2G3G4G5H2 + G4H1G2G7H2
[例2-15] 利用梅逊公式,求:C(s)/R(s) 利用梅逊公式, /R(
4. 梅森增益公式
可直接求取从源节点到阱节点的传递函数, 可直接求取从源节点到阱节点的传递函数,而不需要简化 信号流图.梅森增益公式的来源是按克莱姆(Gramer) 信号流图.梅森增益公式的来源是按克莱姆(Gramer)规则求 解线性联立方程组时, 解线性联立方程组时,将解的分子及分母多项式与信号流图巧 妙联系的结果. 妙联系的结果.
G7
G6
R( s )
G1
+ -
G2
G3
+
+
G4
-
G5
+
+ C(s)
H1
H2
解:画出该系统的信号流程图
G6
R ( s ) G1
G2 G3
G7 G4 H1 H 2 G5
1 C (s)
该系统的前向通道有三个: 该系统的前向通道有三个: P1= G1G2G3G4G5 1=1 P2= G1G6G4G5 2=1 P3= G1G2G7 3=1-(-G4H1) =1该系统中有四个独立的回路: 该系统中有四个独立的回路: L1 = -G4H1 L2 = -G2G7H2 L3 = -G6G4G5H2 L4 = -G2G3G4G5H2 互不接触的回路有2 所以, 互不接触的回路有2个L1 L2.所以,特征式 =1=1-(L1 + L2 + L3 + L4)+ L1 L2 L4) 因此,系统的闭环系统传递函数C(s) / R(s)为 因此,系统的闭环系统传递函数C(s) R(s)为
X 1 = aU i + fX 2 X 2 = bX 1 + gX 3 X 3 = cX 2 + hX 4 X 4 = dX 3 + eU i U0 = X 4
X 1 fX 2 = aU i bX 1 X 2 + gX 3 = 0 cX 2 X 3 + hX 4 = 0 dX 3 + X 4 = eU i
= 1 ∑ La + ∑ Lb Lc ∑ Ld Le L f + ........
Pk —— 第k条前向通路的增益; 条前向通路的增益; n —— 前向通道的总数; 前向通道的总数; k —— 与第k条前向通道不接触的那部分信流图的; 与第k条前向通道不接触的那部分信流图的
P70
例2-24
[例2-14] 利用梅逊公式,求:C(s)/R(s) 利用梅逊公式, /R(
H 4( s )
R(s )
G1( s )
G 2(s )
G 3( s )
G 4(s )
C( s )
H 3( s )
H 2( s )
H 1( s)
-H4
R( s)
1
G1 -1
G2
G3 G4 -H3 -H2 -H1
1
C ( s)
P = G1G2G3G4 1
L1 = G2G3 H 3
1 = 1
L2 = G1G2G3 H 2
x
5
f
x1
a
d
x
2
b
x
3
c
x
4
e
(2)信流图运算法则: 信流图运算法则:
(a )
x1
a
x2
a
(b )
x1
x2
x1
a+b
Hale Waihona Puke Baidu
x2
b
(c )
x1
a
x2
b x3
x1
ab
x x3 2
ab 1 bc
x1
(d )
a
x2
b
x3
x1
ab x3 bc
x1
x3
c
x1
(e )
x2
a
b
x1 x3
c
x4
x2
ac
x4
bc
对图中的(d)作一简单推导 对图中的(d)作一简单推导: 作一简单推导: 因为 x2=ax1+cx3 x3=bx2 用代入法消去中间变量x 得到: 用代入法消去中间变量x2得到:
C(s)
G3 (s)(G (s)G2 (s) + G4 (s)) 1 ∴G(s) = 1+ G2 (s)G3 (s)H(s)
第五讲
信号流图和梅逊公式
信流图是线性代数方程组结构的一种图形表达. 信流图是线性代数方程组结构的一种图形表达.
设一组线性方程式如下: 设一组线性方程式如下:
x5
信流图的表示形式
U0 abcd + e(1 gc bf ) = U i 1 dh gc fb + fbdh
梅森 (Mason)公式 (Mason)公式 输入与输出两个节点间的总传输(或叫总增益),可用下面 输入与输出两个节点间的总传输(或叫总增益),可用下面 ), 的梅逊公式来求取: 的梅逊公式来求取: n
现用克莱姆规则求上述方程组的解X 即变量U ),并进 现用克莱姆规则求上述方程组的解X4(即变量U0),并进 而求出系统的传递函数U 克莱姆规则, 而求出系统的传递函数U0 / Ui .由克莱姆规则,方程组的系数 行列式为: 行列式为:
1 f = b 0 0 1 c 0
1 c 0
0 g 1 d
0 g 1 d
G2 ( s )
+ -
G3 ( s )
C(s)
①
H ( s )G2 ( s )
G4 ( s )
R(s)
G1 ( s )
G2 ( s )
+ -
G3 ( s )
H ( s )G2 ( s )
C(s)
②
R(s)
G1(s)G2 (s) + G4 (s)
G3 (s) (s 1+ G2 (s)G3 (s)H(s)
f
x1
a
d
x
2
b
x3
c
x
4
e
前向通路总增益:前向通路上各支路增益的乘积 前向通路总增益: 如:x1→x2→x3→x4总增益abc. 总增益abc. 回 路:通路的起点就是通路的终点,并且与其它节点相交不 通路的起点就是通路的终点, 多于一次的闭合通路叫回路. 多于一次的闭合通路叫回路. 回路增益:回路中,所有支路增益的乘积.图中有两 个回 回路增益:回路中,所有支路增益的乘积. 路,一个是x2→x3→x2,其回路增益为be, 另一个回 一个是x 其回路增益为be, 路是x 路是x2→x2,又叫自回路,其增益为d. 又叫自回路,其增益为d 不接触回路:指相互间没有公共节点的回路.图中无. 不接触回路:指相互间没有公共节点的回路.图中无.
1
E (s)
G (s)
1
1 C (s)
C (s)
H (s)
H (s)
+ +
R1 ( s )
G11(s)
C1(s)
R1 ( s )
G11 (s )
C1(s)
5
G
21
(s)
G12 (s ) R
2
G12 (s ) R2 (s) G
22
(s)
G G
21(s)
C
22
2
(s)
+
(s)
+
C
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(s)
(s)
P67 例2-23
L3 = G1G2G3G4 H1
L4 = G3G4 H 4
= 1 ( L1 + L2 + L3 + L4 )
C P= = R
∑P
k =1 k
n
k
G1G2G3G4 = 1 + G2G3 H 3 + G1G2G3 H 2 + G3G4 H 4 G1G2G3G4 H1
小结
1. 信号流图 2. 梅逊公式
自动控制原理
杨 晖 yanghui313@126.com
回顾
系统结构图如下, 系统结构图如下,求传递函数
G(.= s) C(s) R(s)
R(s)
G (s) 1
G4 (s)
-
G2 (s)
+
C(s)
G3 (s)
H(s)
[解]:结构图等效变换如下: 解 :结构图等效变换如下:
G4 ( s )
R(s)
G1 ( s )
2 4 = ∑ pk ∑ pi Li U i k =1 i =2
Li是系数行列式△中与第i条前向通路不接触的所有回路 是系数行列式△中与第i 的回路增益项. 的回路增益项.
令 △ i =1-Li 则传递函数分子多项式可进一步化简: 则传递函数分子多项式可进一步化简:
2 4 = ∑ pk k U i k =1
△ k 是与第k条前向通路对应的余因子式,它等于系数行列式△中, 是与第k条前向通路对应的余因子式,它等于系数行列式△ 去掉与第k条前向通路接触的所有回路的回路增益项后的余式项. 去掉与第k条前向通路接触的所有回路的回路增益项后的余式项. K=1, p1=abcd, △1 =1; K=2, p2=e, △2 =1-gc-bf; =1-gcU 0 p11 + p2 2 1 2 = = ∑ pk k Ui k =1
P= 1 ∑ pk k k =1
式中:——信流图的特征式. 信流图的特征式. 式中: ——信流图的特征式 =1- 所有单独回路增益之和)+(所有两个互不接触回路 =1-(所有单独回路增益之和)+(所有两个互不接触回路 增益乘积之和) 回路乘积之和)+…… 增益乘积之和)–(所有三个互不接触 回路乘积之和)+……
ab x3 = x1 1 bc
x1
(d )
a
x2
b
x3
x1
ab x3 bc
x1
ab 1 bc
x3
c
(3) 信 号 流 图 的 绘 制
序号
方块图
信号流程图
1
R (s)
G (s)
C (s)
R (s)
G (s) C (s)
R (s) +
2
E (s) G (s)
C (s)
R (s)
1
E (s)
G (s)
C (s)
_
H (s)
H (s)
N (s)
N (s)
C (s)
1
R (s) +
3
E (s)
_
G1 ( s )
+
+
G2 (s)
R (s)
1 E ( s ) G1 ( s )
G2 (s) C ( s )
H (s)
H (s) N (s)
R (s)
4
+
E (s)
_
G (s)
+
+
N (s)
C (s) R (s)
U0 abcd + e(1 gc bf ) = U i 1 dh gc fb + fbdh
① 传递函数的分母多项式即是系数行列式△,包括三个单独回 传递函数的分母多项式即是系数行列式△ 路增益之和项, fb+gc+ 路增益之和项,即 - ( fb+gc+dh ),以及两个不接触的回路增益之 乘积项, 乘积项,即fbdh = 1 ∑ La + ∑ Lb Lc ② 传递函数的分子多项式即是系数行列式△4,包括两个前向通 传递函数的分子多项式即是系数行列式△ 路增益之和项, abcd+ 以及与前向通路e 路增益之和项,即 abcd+e,以及与前向通路e不接触的两个单独回 路增益与该前向通路总增益之乘积的和项, gce+bfe) 路增益与该前向通路总增益之乘积的和项,即- (gce+bfe)
第五讲 作业
P80 习题:2-14 习题:
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x1
f
a
x2
b
x3
c
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d
e
(1)几个定义 节点:标志系统的变量x 节点:标志系统的变量x1~x5; 支路:联系两个节点并标有信号流向的定向线段称为支路. 支路:联系两个节点并标有信号流向的定向线段称为支路. 输入节点(或源节点):只有输出支路的节点, ):只有输出支路的节点 输入节点(或源节点):只有输出支路的节点,如x1,x5. 输出节点(或阱节点):只有输入支路的节点, ):只有输入支路的节点 输出节点(或阱节点):只有输入支路的节点,如x4. 混合节点:既有输出支路,又有输入支路的节点,如:x2,x3. 混合节点:既有输出支路,又有输入支路的节点, 两个节点之间的增益叫传输. 传 输:两个节点之间的增益叫传输.如:x1→x2之间的增 益为a 则传输也为a 益为a,则传输也为a. 前向通路:信号由输入节点到输出节点传递时, 前向通路:信号由输入节点到输出节点传递时,每个节点只通 过一次的通路称为前向通路. 过一次的通路称为前向通路.如:x1→x2→x3→x4 .
0 0 h 1
aU i 0 0 eU i = abcdU i + eU i (1 gc bf )
= 1 dh gc fb + fbdh
1 f 4 = b 0 0
X 4 = U0 = 4 /
U0 X 4 abcd + e(1 gc bf ) = = U i U i 1 dh gc fb + fbdh
C(s) 1 = G = (p1Δ + p2Δ + p3Δ) 1 2 3 R(s) Δ G1G2G3G4G5 + G1G6G4G3 + G1G2G7 (1+ G4H1) = 1+ G4H1 + G2G7H2 + G6G4G5H2 + G2G3G4G5H2 + G4H1G2G7H2
[例2-15] 利用梅逊公式,求:C(s)/R(s) 利用梅逊公式, /R(
4. 梅森增益公式
可直接求取从源节点到阱节点的传递函数, 可直接求取从源节点到阱节点的传递函数,而不需要简化 信号流图.梅森增益公式的来源是按克莱姆(Gramer) 信号流图.梅森增益公式的来源是按克莱姆(Gramer)规则求 解线性联立方程组时, 解线性联立方程组时,将解的分子及分母多项式与信号流图巧 妙联系的结果. 妙联系的结果.
G7
G6
R( s )
G1
+ -
G2
G3
+
+
G4
-
G5
+
+ C(s)
H1
H2
解:画出该系统的信号流程图
G6
R ( s ) G1
G2 G3
G7 G4 H1 H 2 G5
1 C (s)
该系统的前向通道有三个: 该系统的前向通道有三个: P1= G1G2G3G4G5 1=1 P2= G1G6G4G5 2=1 P3= G1G2G7 3=1-(-G4H1) =1该系统中有四个独立的回路: 该系统中有四个独立的回路: L1 = -G4H1 L2 = -G2G7H2 L3 = -G6G4G5H2 L4 = -G2G3G4G5H2 互不接触的回路有2 所以, 互不接触的回路有2个L1 L2.所以,特征式 =1=1-(L1 + L2 + L3 + L4)+ L1 L2 L4) 因此,系统的闭环系统传递函数C(s) / R(s)为 因此,系统的闭环系统传递函数C(s) R(s)为
X 1 = aU i + fX 2 X 2 = bX 1 + gX 3 X 3 = cX 2 + hX 4 X 4 = dX 3 + eU i U0 = X 4
X 1 fX 2 = aU i bX 1 X 2 + gX 3 = 0 cX 2 X 3 + hX 4 = 0 dX 3 + X 4 = eU i
= 1 ∑ La + ∑ Lb Lc ∑ Ld Le L f + ........
Pk —— 第k条前向通路的增益; 条前向通路的增益; n —— 前向通道的总数; 前向通道的总数; k —— 与第k条前向通道不接触的那部分信流图的; 与第k条前向通道不接触的那部分信流图的
P70
例2-24
[例2-14] 利用梅逊公式,求:C(s)/R(s) 利用梅逊公式, /R(
H 4( s )
R(s )
G1( s )
G 2(s )
G 3( s )
G 4(s )
C( s )
H 3( s )
H 2( s )
H 1( s)
-H4
R( s)
1
G1 -1
G2
G3 G4 -H3 -H2 -H1
1
C ( s)
P = G1G2G3G4 1
L1 = G2G3 H 3
1 = 1
L2 = G1G2G3 H 2
x
5
f
x1
a
d
x
2
b
x
3
c
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4
e
(2)信流图运算法则: 信流图运算法则:
(a )
x1
a
x2
a
(b )
x1
x2
x1
a+b
Hale Waihona Puke Baidu
x2
b
(c )
x1
a
x2
b x3
x1
ab
x x3 2
ab 1 bc
x1
(d )
a
x2
b
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ab x3 bc
x1
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(e )
x2
a
b
x1 x3
c
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ac
x4
bc
对图中的(d)作一简单推导 对图中的(d)作一简单推导: 作一简单推导: 因为 x2=ax1+cx3 x3=bx2 用代入法消去中间变量x 得到: 用代入法消去中间变量x2得到:
C(s)
G3 (s)(G (s)G2 (s) + G4 (s)) 1 ∴G(s) = 1+ G2 (s)G3 (s)H(s)
第五讲
信号流图和梅逊公式
信流图是线性代数方程组结构的一种图形表达. 信流图是线性代数方程组结构的一种图形表达.
设一组线性方程式如下: 设一组线性方程式如下:
x5
信流图的表示形式
U0 abcd + e(1 gc bf ) = U i 1 dh gc fb + fbdh
梅森 (Mason)公式 (Mason)公式 输入与输出两个节点间的总传输(或叫总增益),可用下面 输入与输出两个节点间的总传输(或叫总增益),可用下面 ), 的梅逊公式来求取: 的梅逊公式来求取: n
现用克莱姆规则求上述方程组的解X 即变量U ),并进 现用克莱姆规则求上述方程组的解X4(即变量U0),并进 而求出系统的传递函数U 克莱姆规则, 而求出系统的传递函数U0 / Ui .由克莱姆规则,方程组的系数 行列式为: 行列式为:
1 f = b 0 0 1 c 0
1 c 0
0 g 1 d
0 g 1 d
G2 ( s )
+ -
G3 ( s )
C(s)
①
H ( s )G2 ( s )
G4 ( s )
R(s)
G1 ( s )
G2 ( s )
+ -
G3 ( s )
H ( s )G2 ( s )
C(s)
②
R(s)
G1(s)G2 (s) + G4 (s)
G3 (s) (s 1+ G2 (s)G3 (s)H(s)