高等数学无穷小与无穷大

由条件 lim x 0, 故对 > 0，存在 2 > 0，使
x x0
得当 0 < | x - x0 |< 2 时， x
M
.
取 = Min{ 1, 2 }，则当 0 < | x - x0 |< 时有
xux
x
u x
M
M
.
即有 lim x u x 0.
x x0
y
x x 0
x x0
(2) 无穷小的代数运算性质 定理 2 有限个无穷小的和也是无穷小
以三个无穷小的情形为例，定理可叙述为： 在自变量的某个变化过程中，若
lim( x )= 0，lim( x )= 0，lim( x )= 0， 则 lim[( x ) ( x ) ( x )]= 0 .
此处的无穷小之和实际是代数和，按归纳法原 理，为证有限个无穷小的代数和仍是无穷小，只需证明 两个无穷小的代数和是无穷小。
叫做 x → x 0 时的无穷小。
如果 x → 时，函数 ( x )的极限为 0 ，那么( x )
叫做 x → 时的无穷小。 如果 n → 时，数列 xn 的极限为
0，那么 xn 叫做 n → 时的无穷小。
(3) 无穷小举例
因为 limsin x 0，故函数 f( x )= sin x 是 x → 0 时 x0
x0
x0
函数
ux
sin
1 x
在点
x 0 = 0 的邻域内有界。
由为无穷小性质知，
函数
f
x
x sin
1 x
当 x→ 0 时为无穷小。
lim x 0,
x0
ux M. lim x u x 0 .
x0
y
lim x lim x 0
x0
x0
lim x sin
x0
1 x
0
ux
sin
1 x
的无穷小。
因为 lim a x 0，故函数 f( x )= a -x 是 x → + 时 x
的无穷小。
因为当| q|< 1 时，lim q n 0, 故数列 q n (| q|< 1 ) n
是 n → 时的无穷小。 因为 lim 0 = 0，故常数 0 是无穷小。
例：根据定义证明：当
x → 3 时，y
lim( x )= 0， lim ( x )= 0， ( x )/( x )= k，
则两个无穷小的商就不会是无穷小。 由此可推断，两个无穷小的商不一定是无穷小。
例：考虑极限
lim
x3
x2 9 x3
.
利用定义求此极限
因为
x2 9 x3
x 3 x 3 x3
x3
,
由此可以推断应有 lim x3
x2 9 x3
6,
并考虑用定义证之。
对任意给定的正数 ，要使
x2 9 x3
6
x 3 x 36 x 3 x3
x3
,
只需取 = ，则当 0 < |x - 3|< 时有
x2 9 x3
6
x3
< ,
由极限的定义知
lim
x3
x2 9 x3
6.
(1) 无穷大的概念 函数只有当极限存在时讨论其极限才有意义，因此
无穷小是微积分中非常重要的概念，这是 因为无穷小与函数极限有着密切关系，并在函 数极限的讨论中起着重要作用。从某种意义上 讲，微积分也可称作无穷小分析。
无穷大概念由于其和无穷小概念有着密 切 联系，因而也在微积分讨论中起着重要作用。
(1) 无穷小的概念 无穷小对应于函数极限为零的情形，但这一特殊极
因为 lim f x A，故对 > 0，存在 > 0，使得 x x0
当 0 <| x - x0|< 时，| f( x )- A|< . 令：( x )=| f( x )- A|，则由极限定义有
lim x 0 .
x x0
且有 f( x )= A + ( x ).
· 充分性
设 f( x )= A + ( x )，lim x 0 ，要证 x x0
x 2 9 是无穷小。
x3
按定义证明当 x → 3 时，给定函
数是无穷小，就是对任意给定的正数 ，
要设法说明存在正数 ，使得当
0 <|x -3|< 时有
x2 9 x3
.
要说明这样的 存在，最直接的办
法就是将 找出来。为确定 的值，关
键是导出关系式
x2 9 x3
k x3 .
从所证关系式出发找
< /3+ /3 + /3 = .
由极限定义有 lim x x x 0. x x0
按归纳法原理，由两个无穷小的和是无穷小就可 推广到有限个无穷小的和也是无穷小，但不能推广到 无穷的情形，即无穷多个无穷小的和未必是无穷小。
反例：设 k n
k n
k n2
,
k n2
n
人们通常关注的是函数极限存在的情形。然而，有一类 极限不存在的情形也受到人们的特别关注，这就是函数 趋于无穷的情形。在此情形下， 函数极限虽不存在，但却具有和 存在极限时类似的性质。此外， 这种函数值趋于无穷的变化趋势 还和无穷小有着密切的联系。
(2) 无穷大的定义 • x → x 0 时的无穷大
k 1, 2,
0, 记：
3, n
，则对每个 k
n
k
n
，则有
k 1
有
n
lim n lim k n lim
n
n k1
n
1 n2
2 n2
k n2
n n2
lim
n
1
2
n2
n
lim n
n n 1 2n2
lim n
1 2
1
1 n
1 2
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0,
故无穷多个无穷小的和未必是无穷小。
定理 3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小
函数的有界性概念是对数集而言的，对给定函数， 按所对应的数集的不同有相应不同的有界性意义，因而 对于给定无穷小的不同形式，定理意义也相应不同。
• x → x 0 时的情形
若 ( x )当 x → x 0 时为无穷小，u( x )在 x = x 0 的邻 域内有界，则 u( x )( x )当 x → x 0 时为无穷小。
设函数 f( x )在点 x 0 的某一去心邻域内有定义， 如果对于任意给定的正数 M (无论它多么大)，总存
在正数 ，使得对于适合不等式 0 < |x - x 0|< 的一切 x，对应的函
数值 f( x )都满足不等式 | f( x )|> M ， 那么就称函数 f( x )当 x → x0 时为无 穷大，记作：lim f x .
限却可用来表达一般的极限过程，且极限的概念、运算 规则及分析证明常常都可归结为无穷小的讨论。它在微 积的讨论中有着特殊重要作用。
无穷小概念与自变量的一定 变化趋势相对应，以下就两种主 要的情形给出无穷小的定义。
(2) 无穷小的定义
如果 x → x 0 时，函数 ( x )的极限为 0，那么( x )
此两个无穷小的乘积是无穷小。由归纳法原理，有限个 无穷小的乘积也是无穷小。
需注意的是，推论 2 只能推广到有限个无穷小的情 形，即无穷多个无穷小的乘积未必是无穷小。
例：两个无穷小的商是否一定是无穷小？试举例说明。
两个无穷小的商就是在自变 量的同一趋向下的两个无穷小之比。 由无穷小的性质知，常数与无穷小的 乘积是无穷小。因此，只要两个无穷 小成比例，且比值不为零，即
M
Oa
x0
b
x
M
X
y x x0 M
O
x xx0 0
o
u x M, x U x0,
x0
x
M
u x x xx0 0
若 ( x )当 x → x 0 时为无穷小，u( x )在 x = x 0 的邻域 内有界，则 u( x )( x )当 x → x 0 时为无穷小。
x → x0 时的情形
• x → 时的情形
若 ( x )当 x → 时为无穷小，u( x )当| x |大于某 正数 X 时有界，则 u( x )( x )当 x → 时为无穷小。
y y f x 函数在区间( a ,b )内有界
y f x 函数在点 x 0 邻域内有界 y f x 函数当 x → 的时有界
当 0 <| x - x0 |< 2 时，| ( x )|< /3；
当 0 <| x - x0 |< 3 时，| ( x )|< /3 .
取 = Min{1, 2, 3 }，则当 0 <| x - x0 |< 时有
| ( x )±( x )±( x )|<|( x )|+| ( x )|+| ( x )|
x
例：根据定义证明：当
x→0
时，y
1 2x x
是无穷大。
又问， x 只要满足什么条件，就能使 y >10 4 ？
按定义证明当 x → 0 时，给定函 数是无穷大，就是对任意给定的正数 M ，
要设法说明存在正数 ，使得当 0 < |x - 0 |= |x |< 时有
y
1 2x x
M.
要说明这样的 存在，最直接的办法就是将 找出
因为
x2 9 x3
x 3 x 3 x3
x3
,
故对任意给定的正数 ，要使
x2 9 x3
, 只需
x3 .
取 = ，则当 0 < |x - 3|< 时有
x2 9 x3
x3 < ,
由无穷小的定义：当 x → 3 时，y
x2 9 x3
是无穷小。
无穷小的重要性在于它与函数极限有着密切关系， 这种关系对函数极限的讨论具有重要意义。同时，无穷 小又具有简单的运算性质，利用这些性质可方便地讨论 函数极限的运算性质。
来。由于式子
y
1 2x x
是随 x 的变化而变化的，故
可考虑从所证式子
y
1 2x x
M 出发确定 .
从所证关系式出发找 · 证给定函数当 x → 0 时为无穷大
(1) 无穷小与函数极限的关系 定理 1 极限存在的一种充要条件
在自变量的某个变化过程中，函数 f( x )有极限 A
的充分必要条件是 f( x )= A + ( x )，其中( x )是同一
变化过程中的无穷小。
按定义进行证明
就 x → x0 的情形证明。 · 必要性
设 lim f x A，要证 f( x )= A + ( x )，其中 x x0 lim x 0 . x x0
1
1
O
x
1
例：证明函数
f
x
arctan x x
是
x→
时的无穷小。
利用无穷小的性质进行证明
因为
lim x lim
x
x
1 x
0,
u( x )=arctan
x<
2
即 u( x )= arctan x 有界。
由为无穷小性质知，
函数
f x
arctan x x
当 x→ 时为无穷小。
lim x 0,
x x0
• x → 时的无穷大 设函数 f( x )在 |x|大于某正数时有定义，如果对
任意给定的正数 M (无论它多么大)，总存在正数 X ， 使得对于适合不等式 | x |> X 的一切 x ，对应的函数值 f( x )都满足不等式 | f( x )|> M ， 那么就称函数 f( x )当 x → 时 为无穷大，记作：lim f x .
设 lim x 0, u( x )在 x = x 0 的某邻域内有界， x x0
要证 lim x u x 0 . x x0 因为 u( x )在 x 0 的某邻域内有界，由相应有界性
定义，存在 M、 1 > 0，使得当 0 < | x - x0 |< 1 时有
| u( x )|< M .
为体会证明方法，考虑以三个无穷小的情形证明。
根据无穷小的定义进行证明
证明 x → x0 时的情形。
设 lim x 0, lim x 0, lim x 0,
x x0
x x0
x x0
由极限定义，对 > 0，存在 1, 2, 3 > 0，使得
当 0 <| x - x0 |< 1 时，| ( x )|< /3；
u x M, x X
M
X
O
M
x u x x x 0
若 ( x )当 x → 时为无穷小，u( x )当| x |大于某正数 X 时有界，则 u( x )( x)当 x → 时为无穷小。
例：证明函数
f
x
x sin
1 x
是
x→0
时的无穷小。
利用无穷小的性质进行证明
因为 lim x lim x 0,
x
ux M. lim x u x 0 .
x
y
lim x
x
lim
x
1 x
0
2
ux
arctan
1 x
2
lim
x
arctan x x
0
O
x
2
推论 1 常数与无穷小的乘积是无穷小 由于常数是自变量任意趋向下的有界函数，因此常
数与无穷小的乘积是对应于该无穷小的自变量趋向下的 无穷小。
推论 2 有限个无穷小的乘积是无穷小 由于无穷小总是自变量一定趋向下的有界函数，因
lim f x A.
x x0
由条件有 | f( x )- A|= | ( x )|. 因为 lim x 0, 故由无穷小的定义知：
x x0
对 > 0，存在 > 0，使得当 0 <| x - x0|< 时有 | f( x )- A|= | ( x )|< .
由极限定义知
lim f x A.