A空间直角坐标系和方向解析
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设两个方向的夹角为 :
1 1 ( ,0, )和(0,0,1); 2 2
1 1 1 cos 0 0 0 1 2 2 2
所以 :
4
练习：求点(1,2,-2)到点(-1,0,-1) 的方向的方向数，方向余弦 和两点之间的距离。
解：方向数为： (-2,-2,1) 2 2 1 所以方向余弦是： (- ,- , ) 3 3 3 二者之间的距离是： 3
2 方向余弦
射线 OP与坐标轴 OX , OY , OZ 依次形成三个 角 , , . 这三个角确定了从O 到的 P 方向， 叫做这个方向的方向角. 设 P 的坐标为( x, y , z )，则 x | OP | cos , y | OP | cos , z | OP | cos . 方向角的余弦称为方向余弦，它表 示 | OP | 1等于时的方向数，即距 离原点为1的点的方向数, 因此一 个方向的方向余弦是唯一确定的. 并且方向余弦的平方和是1:
空间解析几何
湖南大学 数学与计量经济学院
几何学是从丈量土地,测量容积和制造器皿等生产 实践活动中产生和总结出来的. ----恩格斯
几何学在希腊人的手中成为数学的第一个分支并 趋于成熟. ----阿蒂亚
历史上，几何学在很长的一段时间里面是一门高度 理论化的学科, 在若干世纪里,欧几里德几何控制着 数学的舞台.后来，到了文艺复兴时期，代数学从阿 拉伯传到欧洲以后，数学家笛卡尔和费尔玛受代数 学的启发，有了用代数的方法来研究几何的思想， 从而产生了解析几何.
对于点 P( x, y, z ) 所表示的方向，有一组方向 数为( x, y, z ) ，那么方向余弦为
x cos | OP | cos cos y | OP | z | OP | x x y z
2 2 2
, , .
y x y z
2 2 2
z x y z
1. 空间直角坐标系 坐标平面
z
八个卦限
yz平面
0
y
x
1. 空间直角坐标系 坐标平面
z
八个卦限
0
.
y
xy平面
x
1. 空间直角坐标系 坐标平面 八个卦限
Ⅲ
z
Ⅱ Ⅰ
yz平面
Ⅳ
xz平面
0
.
y
xy平面
x
Ⅵ
Ⅴ
Ⅷ
空间中点的代数化
点到坐标平面的距离 规定垂直于坐标平面的 坐标轴所指的方向为坐 标平面的正面；另一部 分为负面。 规定坐标平面上的点到 坐标平面正面的距离为 正，负面的距离为负。 坐标平面正面上的点到 坐标平面的距离为正。 X Z
点P与坐标原点O的距离: | OP |
Z
P到x, y, z轴的距离:
．
P ( x, y , z )
x轴
y2 z2
x
O
X
P 1
z
Y
y轴
z轴
x z
2
2
y
P'
x2 y2
| OP |
x y z
2 2
2
坐标系的分类——右手系和左手系
给定一个空间直角坐标系，把右手按照从x轴到 y轴 转动的方向握起来，如果大拇指所指的方向为z轴的 方向，则这个直角坐标系就是右手系，否则就是左 手系.
3:求下列方向的方向角
3 1 (0,0,-1),( , ,0),(-2,-1,-4). 2 2
方向角为:
, , ),( , , )和 2 2 6 3 2 2 1 4 ( -arccos , -arccos , -arccos ). 21 21 21 (
3:两个方向的角度
设两个方向的方向余 弦分别为:
解析几何的基本目的：
把代数运算引入到几何研究中来，从而把 几何学的研究从原先的定性的层面推广到 可以进行定量研究的层面.
怎么样做到这一点：
借助坐标系，把空间的几何结构，几何对象代数化。
什么叫几何结构,几何对象代数化：
把空间中的点和有序数组之间建立对应关系，把空 间中几何图形，如直线，平面等和方程以及方程组 建立对应关系。这就叫做几何结构，几何对象的代 数化。
所以
cos l1l2 + m1m 2 + n1n2 .
E1
Z
为了唯一确定两个方向的夹角， 我们规定:
0
cos cos
E2 Y
O X
两个方向垂直的条件 :
2
l1l2 + m1m 2 + n1n 2 0.
3:求下列方向之间的夹角
(1,0,1)和(0,0,1);
两个方向余弦分别为:
'
Z’
P 0
Z
P
z'
P0 O X’ y0 X
z0 X y x0 z x y
'
'
x'
Y
Y’
新坐标等于旧坐标减去新原点的旧坐标。
坐标系内两点间的距离
Z
Z'
P(x,y,z)
0 X
Y
P0 (x0 ,y0 ,z0 )
Y'
X'
坐标系内两点间的距离
两点 P(x,y,z) , P0 (x0 ,y0 ,z0 )间的距离，从坐标系[ P0 ; X ' , Y ' , Z ' ] 中看. 就是 P点与原点P0的距离，设 P点在坐标系[ P0 ; X ' , Y ' , Z ' ]中的坐标为 ( x' , y ' , z ' ) ，所以
课程教材
《解析几何简明教程》 吴光磊 田畴 编
目录：
• • • • • 空间直角坐标、平面和直线 向量代数 二次曲面 正交变换和仿射变换 二次曲线的一般理论
第一章 空间直角坐标、平面和直线
§1:空间直角坐标
Z
思考题：空间 中能不能找到 两两互相垂直 的四条直线？
0 X
Y
空间直角坐标系[O;X,Y,Z]
| PP0 | x '2 y '2 z '2
转换到坐标系 [O; X , Y , Z ] 中去，就得到
| PP0 | ( x x0 ) ( y y0 ) ( z z0 )
2 2
2
例1:在X轴上找一点P,使得它与点P0(4,1,2) 的距离为 30 .
解：要找的点P在X轴上，所以它的坐标可设为 （x,0,0）. 又因为|P0P|= 30，即 |P0P|= ( x 4)2 12 22 30, ( x 4)2 25 ， x=9,-1. 所以要找的点是（9，0，0）或（-1，0，0）.
P
O ．
正面
Y
Q
负面
空间中一点P
有序数组（x,y,z）
点的坐标（x,y,z）:其中x,y,z是 三个实数，分别代表P与坐标平面
Z
YZ,ZX,XY的距离. 坐标折线 OPP 1 P ： 确定坐 标为（x,y,z）的点的位置.
'
P O x P1 X y z Y x
y
P’
坐标系中的点和一个三元有序数组之间就建立了一个 一一对应的关系。记坐标是 的点 （x,y,z） P 为 P(x,y,z).
2 2 2
1:求下列方向的方向余弦
(1,2,-2),(0,2,-2).
方向余弦为 :
1 2 2 2 2 ( , ,- ),(0, ,) 3 3 3 2 2 1 2 5 2:设点P所表示的方向的方向余弦为(,,), 30 30 30
P到原点的距离为 30 ,求点P的坐标.
P的坐标为:(-1,-2,-5)
l1 ,m1 ,n1 l2 ,m 2 ,n2
夹角为:
Z
E1
E2 Y
令 O
则 cos .
O
X
由两点间的距离公式，有
l2 l1 (m2 m1 )2 (n2 n1 )2
x
z
y
O
x
y
O
z
y
z
O
x
右手系
左手系
右手系
在以后的讨论中，我们假定所有的坐标系都是右手系.
2:坐标系的平移
坐标轴的方向不变而坐标原点改变.
设点P在坐标系[O;X,Y,Z]和 坐标系[P0;X’,Y’,Z’]中的坐 标依次为( x, y, z ) 和( x' , y' , z ' )。 变化规律
x' x x0 y y y0 z ' z z0
作业
P17: 6，9(2,3),10.
X Z
O
P
Y
cos2 cos2 cos2
这也是一组方向余弦或者方向角所必须满足的条件。
例： 是某一个方向的方向余弦，其 2 3 , , ) 不是任何方向 方向角是 而( 1 2 2 2 的方向余弦.
(0,
2 2 , ) 2 2 3 ( , , ) 2 4 4
例2 对于固定的坐标系，当线段平行移动时 ，端点的坐标差保持不变.
Z
P
0
Y
X
§2:怎样表示方向
1:用射线表示方向.
2:平行移动不改变方向不变. 3:方向如何代数化？
．
1：方向数（方向的代数化）
在坐标系[O,X,Y,Z]中,用从原点 出发的射线来表示方向. 原点以 外的任何一点P，都表示一个方向， 即 从 原 点O 到 P的 方 向 ， 此 时 P 的 坐标(x,y,z)就叫做这个方向的一 组方向数. 射线 OP 上其他的点也都表 示同一个方向，他们的坐标也是这个方 向的一组方向数.
Z P ．
． P2 ( x2 , y2 , z2 )
P ． 1 ( x1 , y1 , z1 )
源自文库
P' ． ．
X
O
Y
注1：一个方向的方向数不是唯一的，相差一个正数乘子 .
注2：在空间中从点 P 到点 P2 ( x2 , y2 , z2 ) 的方向数为： 1 ( x1 , y1 , z1 )
( x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 )
1 1 ( ,0, )和(0,0,1); 2 2
1 1 1 cos 0 0 0 1 2 2 2
所以 :
4
练习：求点(1,2,-2)到点(-1,0,-1) 的方向的方向数，方向余弦 和两点之间的距离。
解：方向数为： (-2,-2,1) 2 2 1 所以方向余弦是： (- ,- , ) 3 3 3 二者之间的距离是： 3
2 方向余弦
射线 OP与坐标轴 OX , OY , OZ 依次形成三个 角 , , . 这三个角确定了从O 到的 P 方向， 叫做这个方向的方向角. 设 P 的坐标为( x, y , z )，则 x | OP | cos , y | OP | cos , z | OP | cos . 方向角的余弦称为方向余弦，它表 示 | OP | 1等于时的方向数，即距 离原点为1的点的方向数, 因此一 个方向的方向余弦是唯一确定的. 并且方向余弦的平方和是1:
空间解析几何
湖南大学 数学与计量经济学院
几何学是从丈量土地,测量容积和制造器皿等生产 实践活动中产生和总结出来的. ----恩格斯
几何学在希腊人的手中成为数学的第一个分支并 趋于成熟. ----阿蒂亚
历史上，几何学在很长的一段时间里面是一门高度 理论化的学科, 在若干世纪里,欧几里德几何控制着 数学的舞台.后来，到了文艺复兴时期，代数学从阿 拉伯传到欧洲以后，数学家笛卡尔和费尔玛受代数 学的启发，有了用代数的方法来研究几何的思想， 从而产生了解析几何.
对于点 P( x, y, z ) 所表示的方向，有一组方向 数为( x, y, z ) ，那么方向余弦为
x cos | OP | cos cos y | OP | z | OP | x x y z
2 2 2
, , .
y x y z
2 2 2
z x y z
1. 空间直角坐标系 坐标平面
z
八个卦限
yz平面
0
y
x
1. 空间直角坐标系 坐标平面
z
八个卦限
0
.
y
xy平面
x
1. 空间直角坐标系 坐标平面 八个卦限
Ⅲ
z
Ⅱ Ⅰ
yz平面
Ⅳ
xz平面
0
.
y
xy平面
x
Ⅵ
Ⅴ
Ⅷ
空间中点的代数化
点到坐标平面的距离 规定垂直于坐标平面的 坐标轴所指的方向为坐 标平面的正面；另一部 分为负面。 规定坐标平面上的点到 坐标平面正面的距离为 正，负面的距离为负。 坐标平面正面上的点到 坐标平面的距离为正。 X Z
点P与坐标原点O的距离: | OP |
Z
P到x, y, z轴的距离:
．
P ( x, y , z )
x轴
y2 z2
x
O
X
P 1
z
Y
y轴
z轴
x z
2
2
y
P'
x2 y2
| OP |
x y z
2 2
2
坐标系的分类——右手系和左手系
给定一个空间直角坐标系，把右手按照从x轴到 y轴 转动的方向握起来，如果大拇指所指的方向为z轴的 方向，则这个直角坐标系就是右手系，否则就是左 手系.
3:求下列方向的方向角
3 1 (0,0,-1),( , ,0),(-2,-1,-4). 2 2
方向角为:
, , ),( , , )和 2 2 6 3 2 2 1 4 ( -arccos , -arccos , -arccos ). 21 21 21 (
3:两个方向的角度
设两个方向的方向余 弦分别为:
解析几何的基本目的：
把代数运算引入到几何研究中来，从而把 几何学的研究从原先的定性的层面推广到 可以进行定量研究的层面.
怎么样做到这一点：
借助坐标系，把空间的几何结构，几何对象代数化。
什么叫几何结构,几何对象代数化：
把空间中的点和有序数组之间建立对应关系，把空 间中几何图形，如直线，平面等和方程以及方程组 建立对应关系。这就叫做几何结构，几何对象的代 数化。
所以
cos l1l2 + m1m 2 + n1n2 .
E1
Z
为了唯一确定两个方向的夹角， 我们规定:
0
cos cos
E2 Y
O X
两个方向垂直的条件 :
2
l1l2 + m1m 2 + n1n 2 0.
3:求下列方向之间的夹角
(1,0,1)和(0,0,1);
两个方向余弦分别为:
'
Z’
P 0
Z
P
z'
P0 O X’ y0 X
z0 X y x0 z x y
'
'
x'
Y
Y’
新坐标等于旧坐标减去新原点的旧坐标。
坐标系内两点间的距离
Z
Z'
P(x,y,z)
0 X
Y
P0 (x0 ,y0 ,z0 )
Y'
X'
坐标系内两点间的距离
两点 P(x,y,z) , P0 (x0 ,y0 ,z0 )间的距离，从坐标系[ P0 ; X ' , Y ' , Z ' ] 中看. 就是 P点与原点P0的距离，设 P点在坐标系[ P0 ; X ' , Y ' , Z ' ]中的坐标为 ( x' , y ' , z ' ) ，所以
课程教材
《解析几何简明教程》 吴光磊 田畴 编
目录：
• • • • • 空间直角坐标、平面和直线 向量代数 二次曲面 正交变换和仿射变换 二次曲线的一般理论
第一章 空间直角坐标、平面和直线
§1:空间直角坐标
Z
思考题：空间 中能不能找到 两两互相垂直 的四条直线？
0 X
Y
空间直角坐标系[O;X,Y,Z]
| PP0 | x '2 y '2 z '2
转换到坐标系 [O; X , Y , Z ] 中去，就得到
| PP0 | ( x x0 ) ( y y0 ) ( z z0 )
2 2
2
例1:在X轴上找一点P,使得它与点P0(4,1,2) 的距离为 30 .
解：要找的点P在X轴上，所以它的坐标可设为 （x,0,0）. 又因为|P0P|= 30，即 |P0P|= ( x 4)2 12 22 30, ( x 4)2 25 ， x=9,-1. 所以要找的点是（9，0，0）或（-1，0，0）.
P
O ．
正面
Y
Q
负面
空间中一点P
有序数组（x,y,z）
点的坐标（x,y,z）:其中x,y,z是 三个实数，分别代表P与坐标平面
Z
YZ,ZX,XY的距离. 坐标折线 OPP 1 P ： 确定坐 标为（x,y,z）的点的位置.
'
P O x P1 X y z Y x
y
P’
坐标系中的点和一个三元有序数组之间就建立了一个 一一对应的关系。记坐标是 的点 （x,y,z） P 为 P(x,y,z).
2 2 2
1:求下列方向的方向余弦
(1,2,-2),(0,2,-2).
方向余弦为 :
1 2 2 2 2 ( , ,- ),(0, ,) 3 3 3 2 2 1 2 5 2:设点P所表示的方向的方向余弦为(,,), 30 30 30
P到原点的距离为 30 ,求点P的坐标.
P的坐标为:(-1,-2,-5)
l1 ,m1 ,n1 l2 ,m 2 ,n2
夹角为:
Z
E1
E2 Y
令 O
则 cos .
O
X
由两点间的距离公式，有
l2 l1 (m2 m1 )2 (n2 n1 )2
x
z
y
O
x
y
O
z
y
z
O
x
右手系
左手系
右手系
在以后的讨论中，我们假定所有的坐标系都是右手系.
2:坐标系的平移
坐标轴的方向不变而坐标原点改变.
设点P在坐标系[O;X,Y,Z]和 坐标系[P0;X’,Y’,Z’]中的坐 标依次为( x, y, z ) 和( x' , y' , z ' )。 变化规律
x' x x0 y y y0 z ' z z0
作业
P17: 6，9(2,3),10.
X Z
O
P
Y
cos2 cos2 cos2
这也是一组方向余弦或者方向角所必须满足的条件。
例： 是某一个方向的方向余弦，其 2 3 , , ) 不是任何方向 方向角是 而( 1 2 2 2 的方向余弦.
(0,
2 2 , ) 2 2 3 ( , , ) 2 4 4
例2 对于固定的坐标系，当线段平行移动时 ，端点的坐标差保持不变.
Z
P
0
Y
X
§2:怎样表示方向
1:用射线表示方向.
2:平行移动不改变方向不变. 3:方向如何代数化？
．
1：方向数（方向的代数化）
在坐标系[O,X,Y,Z]中,用从原点 出发的射线来表示方向. 原点以 外的任何一点P，都表示一个方向， 即 从 原 点O 到 P的 方 向 ， 此 时 P 的 坐标(x,y,z)就叫做这个方向的一 组方向数. 射线 OP 上其他的点也都表 示同一个方向，他们的坐标也是这个方 向的一组方向数.
Z P ．
． P2 ( x2 , y2 , z2 )
P ． 1 ( x1 , y1 , z1 )
源自文库
P' ． ．
X
O
Y
注1：一个方向的方向数不是唯一的，相差一个正数乘子 .
注2：在空间中从点 P 到点 P2 ( x2 , y2 , z2 ) 的方向数为： 1 ( x1 , y1 , z1 )
( x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 )