(数学分析教案)第四章函数的连续性

第四章

函数的连续性

（14学时）

● 引言

在数学分析中，要研究种种不同性质的函数，其中有一类重要的函数，就是连续函数。从今天开始，我们就来看看这类函数的特点。主要讲以下几个问题：

１．什么是“函数的连续性”？

２．“间断”或“不连续”有哪些情形？ ３．连续函数有哪些性质？

４．初等函数的连续性有何特点？

§１ 连续性概念

教学目标：使学生深刻掌握函数连续性的概念和连续函数的概念。

教学要求：（１）使学生深刻理解函数在一点连续包括单侧连续的定义，并能熟练写出函数

在一点连续的各种等价叙述；（２）应使学生从分析导致函数在一点不连续的所有可能的因素出发，理解函数在一点间断以及函数间断点的概念，从反面加深对函数在一点连续这一概念的理解力并能熟练准确地识别不同类型的间断点；（３）明确函数在一区间上连续是以函数在一点连续的概念为基础的，使学生清楚区分“连续函数”与“函数连续”所表述的不同内涵。

教学重点：函数连续性概念。 教学难点：函数连续性概念。 学时安排: 4学时 教学程序：

● 引言

“连续”与“间断”（不连续）照字面上来讲，是不难理解的。例如下图１中的函数

()y f x =，我们说它是连续的，而图２中的函数在0x 处是间断的。

由此可见，所谓“连续函数”，从几何上表现为它的图象是坐标平面上一条连绵不断的曲线。而所谓“不连续函数”从几何上表现为它的图象在某些点处“断开”了。

当然，我们不能满足于这种直观的认识，因为单从图形上看是不行的，图形只能帮助我们更形象地理解概念，而不能揭示概念的本质属性。

例如，可以举出这样的例子，它在每点都连续但却无法用图形表示出来（如Rieman 函数）。

因此，为了给出“连续”的定义，需要对此作进一步分析和研究。

从图２看出，在0x 处，函数值有一个跳跃，当自变量从1x 左侧的近傍变到1x 右侧的近旁时，对应的函数值发生了显著的变化。而在其它点处（如1x 处），情况则完全相反。：当自变量从1x 向左侧或向右侧作微小改变时，对应的函数值也只作微小的改变；这就是说，当自变量x 靠近1x 时，函数值就靠近1()f x ，而当1x x →时，1()()f x f x →。换句话说，

当1x x →时，()f x 以1()f x 为极限，即11lim ()()x x f x f x →=。

根据这一分析，引入下面的定义：

一 函数在一点的连续性

１．

函数f 在点0x 连续的定义

定义１（f 在点0x 连续）设函数f 在某0()U x 内有定义，若00lim ()()

x x f x f x →=，则称f

在点0x 连续。

注

0lim ()()(lim )

x x x x f x f x f x →→==，即“f 在点0x 连续”意味着“极限运算与对应

法则f 可交换。 ２．例子

例１．0,sin ,cos x R x x ?∈在0x 处连续。 例２．2

lim(21)5(2)

x x f →+==。

例３．讨论函数

1sin ,0()0,0x x f x x

x ?≠?

=??=?在点x=0处连续性。 ３．函数f 在点0x 连续的等价定义

１） 记号：0x x x ?=-——自变量

x 在点的增量或改变量。设00()y f x =，

0000()()()()y f x f x f x x f x y y ?=-=+?-=-——函数y 在点0x 的增量。

注：自变量的增量x ?或函数的增量y ?可正、可负、也可为零。（区别于“增加”）。

２） 等价定义１：函数f 在点0x 连续?0lim 0x y ?→?=。

３） 等价定义２：函数f 在点0x 连续?0,0εδ?>?>，当0||x x δ-<时，

0|()()

|f x f x ε-<。 注：一个定义是等价的，根据具体的问题选用不同的表述方式。如用三种定义，可以证明以下命题：

例４．证明函数()()f x xD x =在点0x =连续，其中()D x 为Dirichlet 函数。

４．函数f 在点0x 有极限与函数f 在点0x 连续之间的关系

１） 从对邻域的要求看：在讨论极限时，假定f 在0

0()U x 内不定义（f 在点0x 可以没有定义）。而f 在点0x 连续则要求f 在某0()U x 内有定义（包括0x ）。

２） 在极限中，要求00||x x δ<-<，而当“f 在点0x 连续”时，由于x=0x 时，

0|()()|f x f x ε-<

恒成立。所以换为：0||x x δ-<. ３） 从对极限的要求看：“f 在点0x 连续”不仅要求“f 在点0x 有极限”，而且

0lim ()()

x x f x f x →=；而在讨论0

lim ()

x x f x →时，不要求它等于0()f x ，甚至于0()f x 可以不

存在。

总的来讲，函数在点0x 连续的要求是：①()f x 在点0x 有定义；②0lim ()x x f x →存在；

③00lim ()()

x x f x f x →=. 任何一条不满足，f 在点0x 就不连续。同时，由定义可知，函数在

某点是可连续，是函数在这点的局部性质。

５．f 在点0x 左（右）连续定义

① 定义２：设函数f 在点0()U x +（0()U x -内有定义），若00lim ()()x x f x f x +→=（

0lim ()()x x f x f x -→=），则称f 在点0x 右（左）连续。

②

f 在点0x 连续的等价刻划

定理4.1 函数f 在点0x 连续?f 在点0x 既是右连续，又是左连续。 如上例４：00

lim ()lim 0(0)x x xD x x f ++

→→===（右连续），00

lim ()lim 0(0)x x xD x x f -

-

→→===（左连续）。

例５．讨论函数

2,0

()2,0x x f x x x +≥?=?

-

１．定义

若函数f 在区间Ｉ上每一点都连续，则称f 为Ｉ上的连续函数。对于闭区间或半开半闭区间的端点，函数在这些点上连续是指左连续或右连续。若函数f 在区间[,]a b 上仅有有限个第一类间断点，则称f 在[,]a b 上分段连续。 ２．例子

（１）函数,,sin ,cos y C y x y x y x ====是Ｒ上的连续函数；

（２）

函数y =(1,1)-内每一点都连续。在1x =处为左连续，在1

x =-处为右连续，因而它在[1,1]-上连续。

命题：初等函数在其定义区间上为连续函数。

函数[]y x =，sgn y x =在[1,1]-上是分段连续的[]y x =在Ｒ上是分段连续吗？ sgn x 在Ｒ上是分段连续吗？

三 间断点及其分类

１．不连续点（间断点）定义

定义３ 设函数f 在某

00()U x 内有定义，若f 在点0x 无定义，或f 在点0x 有定义而不２，不则称点0x 为函数f 的间断点或不连续点。

注 这个定义不好；还不如说：设f 在

00()U x 内不定义，如果()f x 在0x 不连续，则称0x 是()f x 的不连续点（或间断点）。由上述分析可见，若0x 为函数f 的间断点，

则必出现下列情形之一：①()f x 在点0x 无定义；②0lim ()x x f x →不存在；③

0lim ()()

x x f x f x →≠。据此，对函数的间断点作如下分类：

２．间断点分类 １） 可去间断点 若0

lim ()x x f x A

→=，而f 在点0x 无定义，或有定义但0()f x A ≠，则

称0x 为f 的可去间断点。

例如：0x =是函数

sin ()|sgn |,()x

f x x

g x x ==

的可去间断点。 “可去间断点”名称何来？通过一定的手段，可以“去掉”。设0x 是()f x 的可去间断点，

且0lim ()x x f x A

→=。

0(),(),f x x x f x A x x =??≠? 则0x 是()f x 的连续点。 例如，对

sin ()x

g x x =，定义sin ,0()1,0x

x g x x x ?≠?

=??=?，则()g x 在0x =连续。

２） 跳跃间断点 若

lim (),lim ()x x x x f x f x +

-

→→存在，但00(0),(0)f x f x +-，则称点0x 为

函数f 的跳跃间断点。 例如，对[]y x =，00

lim[]0,lim[]1x x x x +

-

→→==-故0x =是它的跳跃间断点。

再如0x =是sgn x 的跳跃间断点。

可去间断点与跳跃间断点统称为第一类间断点，其特点的函数在该点处的左、右极限都存在。 ３） 第二类间断点 函数的所有其它形式的间断点（即使称函数至少有一侧极限不存在

的点）称为函数的第二类间断点。

例如，0x =是函数1x ，

1

sin

x 的第二类间断点。 §２ 连续函数的性质

教学目标：熟悉连续函数的性质并能灵活应用。

教学要求：（１）掌握连续的局部性质（有界性、保号性），连续函数的有理运算性质，并能

加以证明；熟知复合函数的连续和反函数的连续性。能够在各种问题的讨论中正确运用连续函数的这些重要性质；（２）掌握闭区间上连续函数的主要性质 ，理解其几何意义，并能在各种有关的具体问题中加以运用；（３）理解函数在某区间上一致连续的概念，并能清楚地认识到函数在一区间上连续与在这一区间上一致连续这二者之间的联系与原则区别。

教学重点：闭区间上连续函数的性质； 教学难点：一致连续的概念。 学时安排:4学时 教学程序：

引言

函数的连续性是通过极限来定义的，因而有关函数极限的诸多性质，都可以移到连续函数中来。

一 连续函数的局部性质

性质１（局部有界性）若f 在0x 连续。则f 在某0()U x 有界。

性质２（局部保号性）若f 在0x 连续，且0()0(0)f x or ><则对任何正数

0(0,())r f x ∈0(((),0))r f x ∈，存在某0()U x 有()0(()0)f x r f x r >><<。

注 ①在具体应用局部保号性时，r 取一些特殊值，如当0()0f x >时，可取

0()

2f x r =

，

则存在0()U x ，使得当0()x U x ∈有

0()

()2f x f x >

；②与极限相应的性质做比较可见，这

里只是把“极限存在”，改为“连续”，把0()U x 改为0

0()U x 其余一致。

性质３。（四则运算）若f 和g 在0x 点连续，则

0,,(()0)

f

f g f g g x g

±?≠也都在点

0x 连续。

问题 两个不连续函数或者一个连续而另一个不连续的函数的和、积、商是否仍旧连续？

性质４（复合函数的连续性）若f 在点0x 连续，记00()f x u =，函数g 在0u 连续，则

复合函数g f 在点0x 连续。

注 1)

据连续性定义，上述定理可表为：0

0lim [()][()][lim ()]

x x x x g f x g f x g f x →→==.（即

函数运算与极限可以交换次序，条件是函数连续利用它可来求一些函数的极限。）

例１． 求

21

limsin(1)

x x →-.

2) 若复合函数g f 的内函数f 当0x x →时极限为a ，又外函数g 在u a =连续，上面的等式仍成立。（因此时若

0lim ()()

x x f x a f x →==的话是显然的；若

0lim ()()

x x f x a f x →=≠，

或()f x 在0x x =无定义，即0x 是f 的可去间断点时，只需对性质４的证明做修改：“0||x x δ-<”为“00||x x δ<-<”即可）。故可用来求一些函数的极限。

例２

求极限（１）0

x →

（２）x 性质５（反函数的连续性）若函数f 在[,]a b 上严格单调并连续，则反函数1

f -在其定义域[(),()]f a f b 或[(),()]f b f a 上连续。

二、初等函数的连续性

１．复习（关于初等函数）

（１）初等函数：由基本初等函数经过有限次四则运算与复合运算所得到的函数。 （２）基本初等函数： 常量函数y C =； 幂函数y x α

=；

指数函数

(0,1)x

y a a a =>≠； 对数函数log (0,1)a y x a a =>≠； 三角函数sin ,cos ,,y x x tgx ctgx =；

反三角函数arcsin ,arccos ,,y x x arctgx arcctgx =。

２．初等函数的连续

定理１ 任何初等函数都是在其定义区间上的连续函数。

定理２ 一切基本初等函数都是其定义域上连续函数。 ３．利用初等函数的连续性可计算极限

例３．设0

lim ()0

x x u x a →=>，0

lim ()x x v x b

→=，证明：0

()lim ()v x b

x x u x a →=。

例４．求0ln(1)lim

x x x →+。

例５ 求20ln(1)lim

cos x x x →+。

三 区间上连续函数的基本性质

引 言

闭区间上的连续函数具有一些重要的性质。现将将基本的列举如下。从几何上看，这些性质都是十分明显的。但要严格证明它们，还需其它知识，将在第七章§２给出。先给出下面的关于“最大大值”的定义：

定义１ 设f 为定义在数集Ｄ上的函数，若存在0x D ∈，使得对一切x D ∈都有

0()()f x f x ≥（0()()f x f x ≤），则称f 在Ｄ上有最大（小）值，并称0()f x 为f 在Ｄ

上的最大（小）值。

例如，sin ,[0,]y x π=。max 1y =、min 0y =。

一般而言， f 在其定义域上不一定有最大（小）值，即使()f x 在Ｄ上有界。 例如：(),(0,1)f x x x =∈无最大（小）值；

1

,(0,1)()2,0,1x f x x

x ?∈?=??=?在［０，１］上也无最大（小）值。

１．性质

性质１（最大、最小值定理）若f 在闭区间[,]a b 上连续，则f 在[,]a b 上有最大值与最

小值。

性质２（有界性定理）若f 在[,]a b 上连续，则f 在[,]a b 上有界。

思考 ①考虑函数(),(0,1)f x x x =∈，

1

,(0,1)()2,0,1x g x x

x ?∈?=??=?上述结论成立否？说明理由；②f 要存在最大（小）值或有界是否一定要f 连续？是否一定要闭区间呢？

结论 上述性质成立的条件是充分的，而非必要的。

性质３（介值定理）设f 在[,]a b 上连续，且()()f a f b ≠。若μ是介于()f a 和()f b 之间的任何实数，则至少存在一点0(,)x a b ∈，使得0()f x μ=。

注 表明若f 在[,]a b 上连续，又()()f a f b <的话，则f 在[,]a b 上可以取得()f a 和

()f b 之间的一切值。（如左图）。

性质４（根存在定理） 若f 在[,]a b 上连续，且()f a 和()f b 异号（()()0f a f b ?<），则至少存在一点0[,]x a b ∈，使得0()0f x =。 几何意义 若点(,())A a f a 和(,())B b f b 分别在

x 轴两侧，则连接Ａ、Ｂ的曲线

()y f x =与x 轴至少有一个交点。

２．闭区间上连续函数性质应用举例 关健 构造适当的f ；构造适当的闭区间。

例６．证明：若0r >，n 为正整数，则存在唯一正数0x ，使得0n

x r =。

例７．设f 在[,]a b 上连续，满足([,])[,]f a b a b ?。证明：存在0[,]x a b ∈，使得

00()f x x =。 四 一致连续性

引言

在连续函数的讨论和应用中，有一个极为重要的概念，叫做一致连续。我们先叙述何谓一致连续。

设()f x 在某一区间Ｉ连续，按照定义，也就是()f x 在区间Ｉ内每一点都连续。即对00,0,(;)x I x U x εδ?∈?>?∈时，就有0|()()|f x f x ε-<。

一般说来，对同一个ε，当0x 不同时，δ一般是不同的。例如图左。中

1

y x =

的曲

线，对接近于原点的0x ，δ就应取小一些。而当0x 离原点较远时，δ取大一些。（对后者的δ值就不一定可用于前者。但在以后的讨论中，有时要求能取到一个时区间Ｉ内所有的点都适用的η，这就需要引进一个新概念——一致连续。 １．一致连续的定义

定义（一致连续） 设f 为定义在区间Ｉ上的函数。若对任给的0ε>，存在一个

()0δδε=>，使得对任何,x x I '''∈，只要||x x δ'''-<，就有()()||f x f x ε'''-<，

则称函数f 在区间Ｉ上一致连续。

２．函数在区间上连续与一致连续的比较 (1)

(2)若f 在Ｉ上一致连续，则f 在Ｉ上连续；反之不成立（即若f 在Ｉ上连续，f 不

一定在Ｉ上一致连续。

３．问题：如何判断一个函数是否一致连续呢？有下面的定理：

定理（康托Cantor 定理） 若函数f 在闭区间[,]a b 上连续，则f 在[,]a b 上一致连续。 ４．一致连续的例子

例8 证明 ()f x ax b =+(0)a ≠在(,)-∞+∞上一致连续。

例9 （１）证明函数

1

y x =

在(0,1)内不一致连续。 （２）0c ?>，证明

1y x =

在(,1)c 内是一致连续的。 例10 证明

1sin

x 在(,1)c (0)c >内是一致连续的，而在(0,1)内连续但非一致连续。 例11 设区间1I 的右端点为1c I ∈，区间2I 的左端点也为2c I ∈（12,I I 可分别为有限或无限区间）。试按一致连续性定义证明：若f 分别在1I 和2I 上的一致连续，则f 在

12I I I =?上也一致连续。

§３ 初等函数的连续性

教学目标：知道所有初等函数都是在其有定义的区间上连续的函数，并能够加以证明。

教学要求：深刻理解初等函数在其定义的区间上都是连续的，并能应用连续性概念以及连续

函数的性质加以证明，能熟练运用这一结论求初等函数的极限。

教学重点：初等函数的连续性的阐明。 教学难点：初等函数连续性命题的证明。 教学方法：学导式教学。 学时安排: 4学时 教学程序：

从前面两节知道，在基本初等函数中，三角函数、反三角函数以及有理指数幂函数都是其定义域上的连续函数．本节将讨论指数函数、对数函数与实指数幂函数的连续性，以及初等函数的连续性．

一 指数函数的连续性

在第一章中，我们已定义了实指数的乘幂，并证明了指数函数a a y x

<=0()1≠在R 上是严格单调的．下面先把关于有理指数幂的一个重要性质推广到实指数幂，然后证明指数函数的连续性．

定理4．10 设0>a ，α，β为任意实数，则有

()

αββ

α

βαβαa a a a a ==?+,．

证 不妨设1>a ，则x

a 由第一章§3（6）式所定义，即

{}

为有理数

r a a r x

r x <=sup ．

任给0>ε，设s r ,为两个有理数，且βα<

s a a a a <-<-εεβγα,．

由x a 的严格增性得 βα++

s

r ． 又有s

r s r a a a +=?，故得 (

)(

)

β

αβ

α

εε+<--a

a a ．

由ε的任意性推出

βαβα+≤?a a a ．

为证相反的不等式，设p 为有理数，且βα+

p a a <-+εβα．

再取有理数r ，s 使α

βαa a a a a a s r s r p ?

故得到 βαβ

αεa a a

?<-+. 由ε的任意性推出βαβ

αa a a

?≤+．所以有βαβα+=?a a a ． 后一等式的证明可类似证出．

定理4．11 指数函数)0(>a a x

在R 上是连续的. 证 先设1>a ．由第三章§2例4知

1lim a a x x ==→,

这表明x

a 在0=a 连续．现任取∈0x R ．由定理4．10得

0000)(x x x x x x x a a a a --+?==

令0x x t -=，则当0x x →时有0→t ，从而有

0000

lim lim lim x t t x x x x x x x x x a a a a a a ===→-→→.

这就证明了x

a 在任一点0x 连续．

当10<

a b 1

=

，则有1>b ，而 x

x x b b a -==)1

(

可看作函数u

b 与x u -=的复合，所以此时x a 亦在Ｒ上连续．

利用指数函数x

a 的连续性，以及第三章§5例4中已证明的

)

1(lim ,0lim >+∞==+∞

→-∞

→a a a x x x x ,

可知x a 的值域为10)(,0(<<+∞a 时也是如此)．于是x

a 的反函数——对数函数x a log 在其

定义域),0(+∞内也连续． 例1 设

)(lim 0

>=→a x u x x ，

b

x v x x =→)(lim 0

．证明

b

x v x x a x u =→)()(lim 0

.

证 补充定义b x v a x u ==)(,)(0，则)(),(x v x u 在点0x 连续，从而)(ln )(x u x v 在0x 连续，所以b a b x u x v x v a e e x u ===ln )(ln )()

()

(在0x 连续．由此得

b

a b x u x v x x x v x x a e e x u ===→→ln )(ln )()(0

lim )(lim .

二 初等函数的连续性

由于幂函数αx (α为实数)可表为x e x ln αα=，它是函数u e 与x u ln α=的复合，故由

指数函数与对数函数的连续性以及复合函数的连续性，推得幂函数α

x y =在其定义域

),0(+∞上连续．

前面已经指出，常量函数、三角函数、反三角函数都是其定义域上的连续函数，因此我们有下述定理：

定理4．12 一切基本初等函数都是其定义域上的连续函数．

由于任何初等函数都是由基本初等函数经过有限次四则运算与复合运算所 得到，所以有

定理4．13 任何初等函数都是在其定义区间上的连续函数 下面举两个利用函数的连续性求极限的例子．

例2 求()x x n +∞→1ln lim

．

解 由对数函数的连续性有 原式

()

()?

?????==+=→→x n x

n x x 1

01

1lim ln 1ln lim 1ln ==e ．

例3 求()

x x n cos 1ln lim

2

+∞←．

解 由于0=x 属于初等函数

()()

x x x f cos 1ln 2

+=

的定义域之内，故由f 的连续性得 ()

()00cos 1ln lim 2==+∞→f x x n ．

小结与提问:本节要求理解初等函数的连续性，会利用其求某些函数的极限及证明一些相关命题.

课外作业: