(完整)高一上学期第二次月考数学试卷及答案,推荐文档
河北省邢台市信都区邢台市第一中学2024-2025学年高一上学期第二次月考数学试题(含答案)
邢台一中2024-2025学年第一学期第二次月考高一年级数学试题考试范围：必修一第一章、第二章、第三章说明：1．本试卷共4页，满分150分．2．请将所有答案填写在答题卡上，答在试卷上无效．第Ⅰ卷（选择题 共58分）一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．命题“”的否定是（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知集合，则满足条件的集合的个数为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．23．对于实数，“”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知函数的定义域为，则）A ．B ．C ．D ．5．若“，使得不等式成立”是假命题，则实数的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．6．若函数的部分图象如图所示，则（ ）2,220x x x ∃∈++≤R 2,220x x x ∀∈++>R 2,220x x x ∀∈++≤R 2,220x x x ∃∈++>R 2,220x x x ∃∈++≥R {}{}*30,,40,A x x x B x x x =-≤∈=-≤∈N N A C B ⊆⊆C x 202xx+≥-2x ≤()y f x =[]1,4-y =31,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦(]1,935,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦x ∃∈R 23208kx kx ++≤k 03k ≤<03k <<30k -<≤30k -<<()22f x ax bx c=++()1f =A ．B ．C ．D ．7．已知函数，若，对均有成立，则实数的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．8．记表示中最大的数．已知均为正实数，则的最小值为（ ）A．B ．1C ．2D ．4二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列说法正确的有（ ）A ．函数在上是单调减函数B ．函数与函数C ．已知函数，则D ．函数的单调增区间为10．二次函数是常数，且的自变量与函数值的部分对应值如下表： (012)……22…23-112-16-13-()221f x x x =-+[)2,x ∃∈+∞[]1,1a ∀∈-()22f x m am <-+m ()3,1-1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭()1,3-{}max ,,x y z ,,x y z ,x y 2221max ,,4x y x y ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭12()11f x x =-()(),11,-∞+∞ ()f t t =()g x =2211f x x x x⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭()13f =y =[)1,+∞2(,,y ax bx c a b c =++0)a ≠x y x1-ymn且当时，对应的函数值．下列说法正确的有（ ）A ．B ．C ．函数的对称轴为直线D ．关于的方程一定有一正、一负两个实数根，且负实数根在和0之间11．若函数对定义域中的每一个都存在唯一的，使成立，则称为“影子函数”，以下说法正确的有（ ）A ．“影子函数”可以是奇函数B ．“影子函数”的值域可以是R C ．函数是“影子函数”D ．若都是“影子函数”，且定义域相同，则是“影子函数”第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．当时，的最大值为______．13．已知幂函数图象经过点，若，则实数的取值范围是______；若，则______14．已知是定义域为的函数，且是奇函数，是偶函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）32x =0y <0abc >1009mn >12x =x 20ax bx c ++=12-()y f x =D 1x 2x D ∈()()121f x f x ⋅=()f x ()f x ()f x ()2(0)f x x x =>()(),y f x y g x ==()()y f x g x =⋅54x <14345y x x =-+-()f x x α=()4,2()()132f a f a +>-a 120x x <<()()122f x f x +122x x f +⎛⎫ ⎪⎝⎭()(),f x g x R ()f x ()g x ()()22f x g x ax x +=++1212x x <<<()()1225g x g x x ->--a设集合（1）是否存在实数，使是的充分不必要条件，若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由；（2）若，求实数的取值范围．16．（15分）已知函数，对于任意，有．（1）求的解析式；（2）若函数在区间上的最小值为，求的值；（3）若成立，求的取值范围．17．（15分）丽水市某革命老区因地制宜发展生态农业，打造“生态特色水果示范区”．该地区某水果树的单株年产量（单位：千克）与单株施肥量（单位：千克）之间的关系为，且单株投入的年平均成本为元．若这种水果的市场售价为10元/千克，且水果销路畅通．记该水果树的单株年利润为（单位：元）．（1）求函数的解析式；（2）求单株施肥量为多少千克时，该水果树的单株年利润最大？最大利润是多少？18．（17分）已知函数．（1）用单调性的定义证明函数在上为增函数；（2）是否存在实数，使得当的定义域为时，函数的值域为．若存在．求出的取值范围；若不存在说明理由．19．（17分）定义：对于定义域为的函数，若，有，则称为的不动点．已知函数．（1）当时，求函数的不动点；{}{}{}2212,40,A x a x a B x x x C y y x B=-≤≤+=-≤==∈a x B ∈x A ∈a A C C = a ()25f x ax bx =+-x ∈R ()()()22,27f x f x f -=+-=()f x ()f x [],3t t +8-t ()()()22,,(1)10x x m f x ∃∈+∞-≥+m ()x ϕx ()232,031645,36x x x x x ϕ⎧+≤≤⎪=⎨-<≤⎪⎩10x ()f x ()f x ()221x f x x-=()f x ()0,+∞λ()f x 11,(0,0)m n m n ⎡⎤>>⎢⎥⎣⎦()f x []2,2m n λλ--λD ()f x 0x D ∃∈()00f x x =0x ()f x ()()218,0f x ax b x b a =+-+-≠1,0a b ==()f x（2）若函数有两个不相等的不动点，求的取值范围；（3）设，若有两个不动点为，且，求实数的最小值．邢台一中2024-2025学年第一学期第二次月考答案1．A 2．B ． 3．A 4．B 5．A 6．D 7．B 8．C 9．BC 10．BCD 11．AC12．答案：0 13． 14．15．解：（1）假定存在实数，使足的充分不必要条件，则，则或，解得或，因此，所以存在实数，使是的充分不必要条件，．（2）当时，，则，由，得，当，即时，，满足，符合题意，则；当，由，得，解得，因此，所以实数的取值范围是．16．解：（1）因为关于对称，即，又，则可解得，所以；（2）当，即时，，解得或（舍去）；()221y x a x =-++12x x 、1221x x x x +()1,3a ∈()f x 12,x x ()121ax f x a =-b 23,32⎛⎤⎝⎦<5,4a ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭a x B ∈x A ∈B A Ü20124a a -≤⎧⎨+>⎩20124a a -<⎧⎨+≥⎩2a ≥2a >2a ≥a x B ∈x A ∈2a ≥04x ≤≤15≤≤{}15C x x =≤≤A C C = A C ⊆212a a ->+13a <A =∅A C ⊆13a <212a a -≤+A C ⊆12125a a ≤-≤+≤113a ≤≤1a ≤a 1a ≤()()()22,f x f x f x -=+2x =22ba-=()24257f a b -=--=1,4a b ==-()245f x x x =--32t +≤1t ≤-()()2min ()3(3)4358f x f t t t =+=+-+-=-2t =-0t =当，即时．，不符合题意；当时，，解得（舍去）或，综上，或．（3）由可得，因，依题意，，使成立．而，不妨设，因，则，设，因，则，当且仅当时等号成立，即当时，，故的最大值为2，依题意，，即的取值范围为．17．解：（1）当．时，，当时，，故；（2）当时，开口向上，其对称轴为，所以其最大值为，当当且仅当，即时，等结成立，综上，施肥量为3kg 时，单株年利润最大为380元．18．【详解】（1），设，且，则，因为，所以，所以，即，所以函数在上为增函数．23t t <<+12t -<<()man ()29f x f ==-2t ≥()2min ()458f x f t t t ==--=-1t =3t =2t =-3t =()()2(1)10x m f x -≥+()22(1)45x m x x -≥-+2245(2)10x x x -+=-+>()2,x ∃∈+∞22(1)45x m x x -≤-+22222(1)21241454545x x x x x x x x x x --+-==+-+-+-+2t x =-2x >220,451t x x t >-+=+()2221111t g t t t t=+=+++0t >12t t +≥1t =3x =max ()2g t =22(1)45x x x --+2m ≤m (],2-∞03x ≤≤()()223210101010320f x x x x x =+⨯-=-+36x <≤()1616045101045010f x x x x x ⎛⎫=-⨯-=- ⎪⎝⎭()21010320,0316045010,36x x x f x x x x ⎧-+≤≤⎪=⎨--<≤⎪⎩03x ≤≤()21010320f x x x =-+12x =()23103103320380f =⨯-⨯+=36x <≤16010x x=4x =()222111x f x x x -==-()12,0,x x ∀∈+∞12x x <()()()()22121212122222222212211212111111x x x x x x f x f x x x x x x x x x -+⎛⎫--=--=== ⎪⎝⎭120x x <<(221212120,0,0x x x x x x -+>()()120f x f x -<()()12f x f x <()f x ()0,+∞（2）由（1）可知，在上单调递增，呂存在使得的值域为，则，即，因为，所以存在两个不相等的正根，所以，解得，所以存在使得的定义域为时，值域为．19．【解析】（1）当时，，令，即，解得或，所以的不动点为或4．（2）依题意，有两个不相等的实数根，即方程有两个不相等的实数根，所以，解得，或，且，所以，因为函数对称轴为，当时，随的增大而减小，若，则；当吋，随的增大而增大，若，则；故，所以的取值范围为．（3）令，即，则，当时，由韦达定理得，由题意得，故，于是得，则，令，则，所以，()f x 11,m n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦λ()f x []2,2m n λλ--22112112f m mm f n n n λλ⎧⎛⎫=-=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=-=- ⎪⎪⎝⎭⎩221010m m n n λλ⎧-+=⎨-+=⎩0,0m n >>210x x λ-+=21212Δ40100x x x x λλ⎧=->⎪=>⎨⎪+=>⎩2λ>()2,λ∈+∞()f x 11,m n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦[]2,2m n λλ--1,0a b ==()28f x x x =--()f x x =28x x x --=2x =-4x =()f x 2-()221x a x x -++=12x x 、()2310x a x -++=12x x 、22Δ(3)4650a a a =+-=++>5a <-1a >-12123,1x x a x x +=+=()22221212121221122(3)2x x x x x x x x a x x x x ++==+-=+-2(3)2y x =+-3x =-3x <-y x 5x <-2y >3x >-y x 1x >-2y >()2(3)22,a +-∈+∞1221x x x x +()2,+∞()f x x =()218ax b x b x +-+-=()2280,0ax b x b a +-+-=≠()1,3a ∈128b x x a -=()22f x x =()12121ax x x f x a ==-81b a a a -=-281a b a =+-1t a =-02,1t a t <<=+2(1)18101012t b t t t +=+=++≥+=当且仅当，即时取等号，所以实数的最小值为12．1t t=1,2t a ==b。
高一数学上学期第二次月考试卷含解析 试题
卜人入州八九几市潮王学校二零二零—二零二壹上学期高一第二次月考数学本卷须知：1．2．选择题的答题：每一小题在选出答案以后，需要用2B 铅笔把答题卡上对应题目之答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的答题：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．在在考试完毕之后以后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第一卷一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的．1．集合{}124xA x =<≤，(){}ln 1B x y x ==-，那么AB =〔〕A ．{}12x x ≤<B ．{}12x x <≤C ．{}02x x <≤D ．{}02x x ≤<2．圆柱的侧面展开图是边长为2和4的矩形，那么圆柱的体积是〔〕 A ．2πB ．4πC ．8πD ．4π或者8π3．①一个平面内的直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线． ②一个平面内的直线必垂直于另一个平面内的无数条直线． ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面． 〕 A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③4．如图，'''A B C △是ABC △的直观图，其中''''A B A C =，那么ABC △是〔〕 A ．等腰三角形B ．钝角三角形C ．等腰直角三角形D ．直角三角形5．函数()()2412f x x a x =--+，在[]1,2-上不单调，那么实数a 的取值范围是〔〕 A ．1,4⎛⎫-∞-⎪⎝⎭B ．15,44⎛⎫-⎪⎝⎭ C ．15,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．5,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭6．直三棱柱111ABC A B C -中，假设90BAC ∠=︒，1AB AC AA ==，那么异面直线1BA 与1AC 所成的角等于〔〕A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒7．设m 、n 是两条不同的直线，α、β〔〕 A ．n αβ=，m α⊂，m m n β⇒∥∥B ．αβ⊥，m αβ=，m n n β⊥⇒⊥C ．m n ⊥，m α⊂，n βαβ⊂⇒⊥D ．m α∥，n α⊂，m n ⇒∥8．132a -=，141log 5b =，31log 4c =，那么〔〕A ．b c a >>B ．a b c >>C ．c b a >>D ．b a c >>9．函数()()()()1231 ln 1a x ax f x xx ⎧-+<⎪=⎨≥⎪⎩的值域为R ，那么实数a 的范围〔〕 A ．(),1-∞-B ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭10．某几何体的三视图如右图所示，数量单位为cm ，它的体积是〔〕 A3cm B ．39cm 2C3cm D ．327cm 211．如图，平面四边形ABCD 中，1AB AD CD ===，BD =BD CD ⊥，将其沿对角线BD 折成四面体A BCD '-，使平面A BD '⊥平面BCD ，假设四面体A BCD '-的顶点在同一个球面上，那么该球的外表积为〔〕A ．3πBC ．4πD12．如图是一个几何体的平面展开图，其中四边形ABCD 为正方形，PDC △，PBC △，PAB △，PDA △为全等的等边三角形，E 、F 分别为PA 、PD 的中点，在此几何体中，以下结论中错误的为〔〕 A ．平面BCD ⊥平面PAD B ．直线BE 与直线AF 是异面直线 C ．直线BE 与直线CF 一共面D ．面PAD 与面PBC 的交线与BC 平行 第二卷二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分．13．()104,xx f x x ⎧+≥⎪=⎨<⎪⎩，那么()()1ff -=__________．14．一个由棱锥和半球体组成的几何体，其三视图如下列图，那么该几何体的体积为__________． 15．在正方形1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别在线段1AB ，1BC 上，且AM BN =，以下结论： ①1AA MN ⊥； ②11A C MN ∥；③MN ∥平面1111A B C D ；④MN 与11A C 异面，其中有可能成立的是__________．16．如图，在矩形ABCD 中，4AB =，2AD =，E 为边AB 的中点．将ADE △沿DE 翻折，得到四棱锥1A DEBC -．设线段1A C 的中点为M①总有BM ∥平面1A DE ； ②三棱锥1C A DE -； ③存在某个位置，使DE 与1A C 所成的角为90︒． ____．〔写出所有．．三、解答题：解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤． 17．〔10分〕()()log 1a f x x =+，()()()log 101a g x x a a =->≠且． 〔1〕求函数()()f x g x -的定义域；〔2〕判断函数()()f x g x -的奇偶性，并予以证明．18．〔12分〕〔1〕求以下代数式值：)11321125lg252lg 1001264-⎛⎫+- ⎪⎝⎭⎛⎫-÷- ⎪⎝⎭，〔2〕求函数()[]()14231,1xx f x x +=--∈-的最值．19．〔12分〕如图，圆柱的底面半径为r ，球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面． 〔1〕计算圆柱的外表积；〔2〕计算图中圆锥、球、圆柱的体积比．20．〔12分〕如图，长方体ABCD A B C D -''''中，AB =AD =2AA '=， 〔1〕求异面直线BC '和AD 所成的角； 〔2〕求证：直线BC '∥平面ADD A ''．21．〔12分〕如图，三棱柱111ABC A B C -，1A A ⊥底面ABC ，且ABC △为正三角形，D 为AC 中点． 〔1〕求证：直线1AB ∥平面1BC D ； 〔2〕求证：平面1BC D ⊥平面11ACC A ；22．〔12分〕如图，四边形ABCD 和ADPQ 均是边长为2的正方形，它们所在的平面互相垂直，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，点M 为线段PQ 的中点．〔1〕求证：直线EM ∥平面PBD ； 〔2〕求点F 到平面AEM 的间隔．二零二零—二零二壹上学期高一第二次月考数学答案第一卷一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的． 1．【答案】B【解析】{}(]1240,2x A x =<≤=，(){}()ln 11,B x y x ==-=+∞，所以{}12A B x x =<≤，应选B ．2．【答案】D【解析】圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，当母线为4时，圆柱的底面半径是1π，此时圆柱体积是2π=144ππ⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭⨯；当母线为2时，圆柱的底面半径是2π，此时圆柱的体积是2π=282ππ⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭⨯，综上所求圆柱的体积是4π或者8π，应选D ． 3．【答案】B【解析】假设两个平面垂直，那么：①，假设一个平面内的直线与交线垂直，那么垂直于另一个平面的任意一条直线，故①不成立； ②，一个平面内的直线必垂直于另一个平面内的无数条与该平面垂直的直线，故②成立；③，假设一个平面内的任一条直线不与交线垂直，那么不垂直于另一个平面，故③不成立，应选B ． 4．【答案】D【解析】因为程度放置的ABC △的直观图中，45x O y '''∠=︒，A B A C =''''，且A B x '''∥，A C y '''∥，所以AB AC ⊥，AB AC ≠，所以ABC △是直角三角形，应选D ． 5．【答案】B【解析】由题意，二次函数()()2412f x x a x =--+的开口向上，对称轴的方程为412a x -=，又因为函数()f x 在区间[]1,2-上不是单调函数，所以41122a --<<，解得1544a -<<， 即实数a 的取值范围是15,44⎛⎫- ⎪⎝⎭，应选B ．6．【答案】C【解析】延长CA 到D ，使得AD AC =，那么11ADA C 为平行四边形， 1DA B ∠就是异面直线1BA 与1AC 所成的角，又112A D A B DB AB ===，那么三角形1A DB 为等边三角形，∴160DA B ∠=︒，应选C ． 7．【答案】A【解析】对于A ，根据线面平行性质定理即可得A 选项正确； 对于B ，当αβ⊥，m αβ=时，假设n m ⊥，n α⊂，那么n β⊥，但题目中无条件n α⊂，故B 不一定成立；对于C ，假设m n ⊥，m α⊂，n β⊂，那么α与β相交或者平行，故C 错误； 对于D ，假设m α∥，n α⊂，那么m 与n 平行或者异面，那么D 错误，应选A ．8．【答案】D 【解析】1030221a -=<<=，114411log log 154b =>=，331log log 104c =<=，b a c ∴>>，故答案为D ． 9．【答案】C【解析】因为函数()()()()1231 ln 1a x ax f x xx ⎧-+<⎪=⎨≥⎪⎩的值域为R ， 所以()1201230a a a ->-+≥⎧⎪⎨⎪⎩，解得112a -≤<，应选C ．10．【答案】C【解析】根据三视图可将其复原为如下直观图，13V S h =⋅()1133932433222=⨯⨯+⨯=C ． 11．【答案】A【解析】设BC 的中点是E ，连接DE ，A E '，因为1AB AD ==，2BD =，由勾股定理得BA AD ⊥， 又因为BD CD ⊥，即三角形BCD 为直角三角形，所以DE 为球体的半径，32DE =234π3π2S ==，应选A ． 12．【答案】A【解析】由展开图恢复原几何体如下列图：折起后围成的几何体是正四棱锥，每个侧面都不与底面垂直，∴A 不正确； 由点A 不在平面EFCB 内，直线BE 不经过点F ，根据异面直线的定义可知： 直线BE 与直线AF 异面，所以B 正确；在PAD △中，由PE EA =，PF FD =， 根据三角形的中位线定理可得EF AD ∥，又AD BC ∥，EF BC ∴∥，故直线BE 与直线CF 一共面，所以C 正确；BC AD ∥，BC ∴∥面PAD ， 由线面平行的性质可知面PAD 与面PBC 的交线与BC 平行，∴D 正确，应选A ．第二卷二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分． 13．【答案】32【解析】由题意，函数()1,04,0xx x f x x ⎧+≥⎪=⎨<⎪⎩，所以()11144f --==， 所以()()11311442f f f ⎛⎫-==+= ⎪⎝⎭． 14．【答案】42π33+ 【解析】由三视图可得，该几何体是一个组合体，其上半局部是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个对角线长度为2的菱形，高为2， 其体积为1114222323V ⎛⎫=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，下半局部是半个球，球的半径1R =，其体积为22142π1π233V =⨯⨯⨯=， 据此可得，该几何体的体积为1242π33V V V =+=+． 15．【答案】①②③④ 【解析】当M ，N 分别是线段1AB ，1BC 的中点时，连结11A B ，11A C ，那么M 为1A B 的中点， ∵在11A C B △中，M ，N 分别为1A B 和1BC 的中点，∴11MN A C ∥，故②有可能成立， ∵11MN A C ∥，MN ⊄平面1111A B C D ，11A C ⊂平面1111A B C D ，∴MN ∥平面1111A B C D ，故③有可能成立，∵1AA ⊥平面1111A B C D ，11A C ⊂平面1111A B C D ，∴111AA A C ⊥，又11MN A C ∥，∴1AA MN ⊥，故①有可能成立．当M 与A 重合，N 与B 重合时，MN 与11A C 异面，故④有可能成立，综上所述，结论中有可能成立的是①②③④，故答案为①②③④． 16．【答案】①②【解析】取DC 的中点为F ，连结FM ，FB ，可得1MF A D ∥，FB DE ∥， 可得平面MBF ∥平面1A DE ，所以BM ∥平面1A DE ，所以①正确；当平面1A DE 与底面ABCD 垂直时，三棱锥1C A DE -体积获得最大值， 最大值为111142222232323AD AE EC ⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=，所以②正确．存在某个位置，使DE 与1A C 所成的角为90︒．因为DE EC ⊥，所以DE ⊥平面1A EC ， 可得1DE A E ⊥，即AE DE ⊥，矛盾，所以③不正确；故答案为①②．三、解答题：解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤． 17．【答案】〔1〕()1,1-；〔2〕奇函数．【解析】〔1〕由于()()log 1a f x x =+，()()log 1a g x x =-， 故()()()()1log 1log 1log 1a a axf xg x x x x+--=-=+-，由1010x x +>->⎧⎨⎩，求得11x -<<，故函数的定义域为()1,1-．〔2〕由于()()()()1log 1log 1log 1a a a xf xg x x x x+--=-=+-，它的定义域为()1,1-， 令()()()h x f x g x =-， 可得()()11log log 11aa x xh x h x x x -+-==-=-+-，故函数()()()h x f x g x =-为奇函数． 18．【答案】〔1〕25〔2〕()max 3f x =-，()min 4f x =-． 【解析】〔1〕()13132215lg25lg 10144-⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷+- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()42lg10010155=÷+-=．〔2〕[]1,1x ∈-，12,22x ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦，令1222x t t ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭原函数可变为()()222314f t t t t =--=--，当1t =时()min 4f x =-，当2t =时()max 3f x =-． 19．【答案】〔1〕26πr ；〔2〕1:2:3．【解析】〔1〕圆柱的底面半径为r ，那么圆柱和圆锥的高为2h r =，圆锥和球的底面半径为r ， 那么圆柱的外表积为2222π4π6πS r r r =⨯+=圆柱表．〔2〕由〔1〕知2312π2π33V r r r =⨯=圆锥，23π22πV r r r =⨯=圆柱，34π3V r =球，333:::24ππ2π1:2::333V V V r r r ==圆锥球圆柱． 20．【答案】〔1〕异面直线BC '和AD 所成的角为30︒．〔2〕证明见解析． 【解析】〔1〕解：∵长方体ABCD A B C D -''''中，AD BC ∥， ∴CBC ∠'是异面直线BC '和AD 所成的角，∵长方体ABCD A B C D -''''中，23AB =，23AD =，2AA '=，CC BC '⊥， ∴3tan 3CBC ∠'=，∴30CBC ∠'=︒，∴异面直线BC '和AD 所成的角为30︒． 〔2〕解：证明：连结AD '，∵长方体ABCD A B C D -''''中，AD BC ''∥，又AD '⊂平面ADD A ''，BC '⊄平面ADD A ''，∴直线BC '∥平面ADD A ''． 21．【答案】〔1〕见解析；〔2〕见解析．【解析】〔1〕连结1B C 交1BC 于O ，连结OD ，在1B AC △中，D 为AC 中点，O 为1B C 中点， 所以1OD AB ∥，又OD ⊂平面1BC D ，∴直线1AB ∥平面1BC D ． 〔2〕∵1A A ⊥底面ABC ，∴1A A BD ⊥． 又BD AC ⊥，∴BD ⊥平面11ACC A ，又BD ⊂平面1BC D ，∴平面1BC D ⊥平面11ACC A ．22．【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕255． 【解析】〔1〕取AD 的中点G ，连接MG 和GE ，那么易知MG PD ∥，又因为AE EB =，AG GD =，所以EG 为ABD △的中位线，所以EG BD ∥， 且MG PD ∥，MGEG G =，所以平面EMG ∥平面PBD ，又EM ⊂平面EMG ，所以EM ∥平面PBD ．〔2〕设点F 到平面AEM 的间隔为h ，由题可知，BA ⊥面AQPD ，所以BA AM ⊥， 由勾股定理可知，2222125AM AG GM =+=+=， 所以AME △的面积1522S AE AM =⨯⨯=， 经过计算，有11111123323M AEFAEF V S AQ -=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=， 由M AEF F AME V V --=，和13F AME V S h -=⨯⨯，所以322555M AEF V h S -===．。
高一上学期第二次月考数学试卷 7 Word版含解析
高一上学期第二次月考数学试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单选题1．若 ，则 的值为 A ． B ． C ．D ．2．已知角 的终边过点(4，－3)，则 ＝ A ．B ．C ．D ．3．函数的定义域是A ．B ．C ．D ．4．设函数， ，则 是A ．最小正周期为 的奇函数B ．最小正周期为 的偶函数C ．最小正周期为的奇函数 D ．最小正周期为的偶函数5．函数()24x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭, x R ∈的最小正周期为 A ．2πB ．πC ．2πD ．4π 6．已知，则 的大小关系是A ．B ．C ．D ． 7．方程 的解所在的区间是A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4) 8．若角 的终边落在直线 上，则的值等于A ．2B ．﹣2C ．﹣2或2D ．09．最小正周期为 ，且图象关于直线对称的一个函数是A ．B ．C ．D ．10．要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象上所有的点 A ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移8π个单位长度 B ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移4π个单位长度C ．横坐标伸长到原来的12倍（纵坐标不变），再向右平移4π个单位长度D ．横坐标伸长到原来的12倍（纵坐标不变），再向左平移8π个单位长度11．已知函数 是奇函数，且满足，则 =A ．1B ．﹣1C ．3D ．﹣3 12．函数的图像大致为A ．B ．C ．D ．13．在北京召开的第24届国际数学家大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若直角三角形中较小的锐角记作 ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是，则 的值等于A ．1B ．C ．D ．此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号14．已知函数()2sin 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ()0ω>在(),2ππ上单调递减，在()2,3ππ上单调递增，则()fπ=A ．1B ．2C ．1- D15．给出以下命题：①若 均为第一象限角，且 ，且 ； ②若函数的最小正周期是 ，则； ③函数是奇函数；④函数的周期是 ； ⑤函数 的值域是[0，2] 其中正确命题的个数为A ．3B ．2C ．1D ．016．已知函数()()sin f x x ωϕ=+，（ 0A >， 0ω>， 2πϕ<）满足22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且66f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列区间中是()f x 的单调减区间的是A ．563ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦， B ．4536ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦， C ．2736ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， D ．03π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 17．设常数 使方程 在区间上恰有三个解 且 ，则实数 的值为A ．B ．C ．D ．二、填空题18． 的值为_______． 19．函数是幂函数，且当 时， 是减函数，则实数=_______．20．已知，则 _______ ．21．已知，则不等式 的解集是_________．22．设定义在区间(0，)上的函数y ＝6cosx 的图象与y ＝5tanx 的图象交于点P ，过点P 作x 轴的垂线，垂足为P 1，直线PP 1与函数y ＝sinx 的图象交于点P 2，则线段P 1P 2的长为________．23．函数 是定义在 上的函数，且当 时， ，则_______．三、解答题 24．（1）化简：；（2）已知求的值。
高一上学期第二次月考数学试卷 Word版含解析.72docx
高一上学期第二次月考数学试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单选题1．如果直线a 与直线b 是异面直线，直线c ∥a ，那么直线b 与c A ．异面 B ．相交 C ．平行 D ．异面或相交2．已知直线20ax y +-=与圆心为C 的圆()()2214x y a -+-=相交于,A B 两点，且ABC 为等边三角形，则实数a =A．±B ．13± C ．1或7 D．4 3．若l 1：x ＋（1＋m ）y ＋（m －2）＝0，l 2：mx ＋2y ＋6＝0的图象是两条平行直线，则m 的值是A ．m ＝1或m ＝－2B ．m ＝1C ．m ＝－2D ．m 的值不存在 4．若用m ，n 表示两条不同的直线，用 表示一个平面，则下列命题正确的是 A ．若 ， ，则 B ．若 ， ，则 C ．若 ， ，则 D ．若 ， ，则 5．直线xsinα＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是A ．[0，π)B ．∪C ．D ．∪6．在空间四边形ABCD 中，E 、F 分别为AB 、AD 上的点，且AE ∶EB ＝AF ∶FD ＝1∶4，又H 、G 分别为BC 、CD 的中点，则A ．BD//平面EFGH 且EFGH 为矩形B ．EF//平面BCD 且EFGH 为梯形C ．HG//平面ABD 且EFGH 为菱形 D ．HE//平面ADC 且EFGH 是平行四边形7．.给出下列命题，其中正确的两个命题是①直线上有两点到平面的距离相等，则此直线与平面平行 ②夹在两个平行平面间的两条异面线段的中点连线平行于这两个平面 ③直线m ⊥平面α，直线n ⊥m ，则n ∥α ④a 、b 是异面直线，则存在唯一的平面α，使它与a 、b 都平行且与a 、b 距离相等A.①②B.②③C.③④D.②④8．已知M(a ，b)(ab≠0)是圆O:x 2＋y 2＝r 2内一点，以M 为中点的弦所在直线m 和直线l:ax ＋by ＝r 2，则A ．m ∥l ，且l 与圆相交B ．m ⊥l ，且l 与圆相交C ．m ∥l ，且l 与圆相离D ．m ⊥l ，且l 与圆相离9．设点M(m ，1)，若在圆O:x 2＋y 2＝1上存在点N ，使∠OMN ＝30°，则m 的取值范围是 A ．[－ ， ] B ．[－，] C ．[－2，2] D ．[－，] 10．在长方体1111ABCD A B C D -中，AB =11BC AA ==，点M 为1AB 的中点，点P为对角线1AC 上的动点，点Q 为底面ABCD 上的动点（点P ， Q 可以重合），则MP PQ +的最小值为A．2 BC ．34D ．1 11．已知B ，C 为圆x 2＋y 2＝4上两点，点A(1，1)，且AB ⊥AC ，则线段BC 长的最大值为 A ． B ． C ． D ．二、填空题12．已知光线通过点 ，被直线 ： 反射，反射光线通过点 ， 则反射光线所在直线的方程是 ．13．过正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的顶点A 作直线l ，使l 与棱AB ，AD ，AA 1所成的角都相等，则这样的直线l 可以作____条．此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号14．若不全为零的实数,,a b c 成等差数列，点()1,2A 在动直线:0l ax by c ++=上的射影为P ，点Q 在直线34120x y -+=上，则线段PQ 长度的最小值是__________15．由空间一点O 出发的四条射线两两所成的角相等，则这个角的余弦值为_____．三、解答题16．如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝ ，AB ＝1，AD ＝2，E 为BC 的中点，点M 为棱AA 1的中点．(1)证明：DE ⊥平面A 1AE ； (2)证明：BM ∥平面A 1ED ．17．（本小题满分13分）如图所示，已知以点 为圆心的圆与直线 相切.过点 的动直线 与圆 相交于 ， 两点， 是 的中点，直线 与 相交于点 .（1）求圆 的方程;（2）当 时，求直线 的方程.（3）是否为定值？如果是，求出其定值；如果不是，请说明理由. 18．如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥面ABC ，AB ＝AC ＝AA 1＝3a ，BC ＝2a ，D 是BC 的中点，E 为AB 的中点，F 是C 1C 上一点，且CF ＝2a ．(1) 求证：C 1E ∥平面ADF ；(2) 试在BB 1上找一点G ，使得CG ⊥平面ADF ；19．已知圆 ： ，点 是直线 ： 上的一动点，过点 作圆M 的切线 、 ，切点为 、 ．（Ⅰ）当切线PA 的长度为 时，求点 的坐标； （Ⅱ）若的外接圆为圆 ，试问：当 运动时，圆 是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由；（Ⅲ）求线段 长度的最小值．20．如图，在四棱锥P−ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AB ∥CD ，AD ＝CD ＝，AB ＝ ，PA ＝ ，DA ⊥AB ，点Q 在PB 上，且满足PQ ∶QB=1∶3，求直线CQ 与平面PAC 所成角的正弦值．21．（本小题满分14分）已知过原点的动直线 与圆C 相交于不同的两点 ， ．（1）求圆C 的圆心坐标；（2）求线段 的中点 的轨迹C 的方程；（3）是否存在实数 ，使得直线 与曲线C 只有一个交点？若存在，求出 的取值范围；若不存在，说明理由．高一上学期第二次月考数学试题数学 答 案参考答案 1．D 【解析】 【分析】根据空间直线的位置关系可判断。
(修改稿)高一上第二次月考数学答案
南充高中高2023级高一上学期第二次月考数学试题答案一、选择题题号123456789101112答案CDDBABCABDACABCDAD二、填空题13.2114.（1,2）15.g(x )填一个奇函数即可，定义域不做要求16.115题：1)(,1)(,)(22-=-=+=--xx x x e e a x g e e a x g x b ax x g 等均是正确答案，1)(2-=-x xe e a x g 错误.8.任取),0(,21+∞∈x x ，21x x <，⎦⎤⎢⎣⎡-+-=--+=-211212121222122)(22)()(x x x x x x x x x x x f x f ⎦⎤⎢⎣⎡-+-=211221122)(x x x x x x x x ）（.当)1,0(,21∈x x 时，()02)()()(2112211212<⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=-x x x x x x x x x f x f ，函数)(x f 单调递减；当)1(,21∞+∈，x x 时，()02)()()(2112211212>⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=-x x x x x x x x x f x f ，函数)(x f 单调递增；又)(x f 在区间),[+∞b 上单调递增，所以1≥b .11.解当1,1>>b a 时，1log log log )()(444==+=+ab b a b f a f ，4=ab .A 正确当10,10≤<≤<b a 时，1log log log )()(444=-=--=+ab b a b f a f ，41=ab .0422)4(2144)1)(14(=-≤+-=+--=--ab b a b a ab b a ,当且仅当b a =4时，等号成立.B 错误.当10,1<<>b a 时，1log log log )()(444==-=+b a b a b f a f ，4=ba，b a 4=.C 正确.当1,10≥≤<b a 时，a b 4=,412141222-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=-a a a b a ，当21=a 时，b a 412-有最小值为41-.D 正确.此时0)14)(14()1)(14(≥--=--a a b a ，成立，即B 正确.综上所述，选ABCD12.解当22≤-x 时，0≥x ，⎩⎨⎧>-≤≤=--=-2420|2|2)2(x xx x x x f ；当22>-x 时，0<x ，22)22()2(x x x f =+-=-。
高中一年级上学期期第二次月考数学试题含答案
高中一年级上学期期第二次月考数 学 试 卷(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题：（每小题5分，共60分，请将所选答案填在括号内）1．已知集合A ={a ，b ，c },下列可以作为集合A 的子集的是 （ ） A 、 a B 、 {a ，c } C 、 {a ，e } D 、{a ，b ，c ，d }2．若()f x =则(3)f = （ ）A 、2B 、4C 、D 、103．已知集合P={}2|2,y y x x R =-+∈， Q={}|2,y y x x R =-+∈，那么P Q 等（ ）A 、（0，2），（1，1）B 、{（0，2 ），（1，1）}C 、{1，2}D 、{}|2y y ≤4．下列各式：①na n ＝a ； ②若a ∈R ，则(a 2－a ＋1)0＝1 43x y +;④ 6(－2)2＝3－2. 其中正确的个数是( )A 、0B 、1C 、2D 、3 5.设f (x )＝⎩⎨⎧2e x －1， x <2，log 3(x 2－1)， x ≥2.则f (2)的值为( )A 、0B 、1C 、2D 、36. 已知函数)127()2()1()(22+-+-+-=m m x m x m x f 为偶函数，则m 的值是（ ）A . 1B . 2C . 3D . 4 7．二次函数2y ax bx c =++中，0a c ⋅<，则函数的零点个数是 （ ）A 0个B 1个C 2个D 无法确定8.若函数f(x)=2x +2(a-1)x+2在区间(,4]-∞内递减，那么实数a 的取值范围为（ ）A 、a ≤-3B 、a ≥-3C 、a ≤5D 、a ≥39．设P 和Q 是两个集合，定义集合P －Q ＝{x |x ∈P 且x ∉Q }，如果P ＝{x |log 2x＜1}，Q ＝{x |1<x <3}，那么P －Q 等于( )A 、{x |0＜x ＜1}B 、{x |0＜x ≤1}C 、{x |1≤x ＜2}D 、{x |2≤x ＜3}10．已知函数f(x)14x a -=+的图象恒过定点p ，则点p 的坐标是 （ ）A 、（ 1，5 ）B 、（ 1, 4）C 、（ 0，4）D 、（ 4，0）11.函数y =的定义域是（ ）A 、[1,+∞]B 、 (23,)+∞C 、 [23,1]D 、 (23,1]12.设a,b,c 都是正数，且346a b c ==，则下列正确的是（ ）A 、111ca b =+ B 、 221C a b =+ C 、 122C a b =+ D 、 212c a b =+第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：（每小题5分，共20分，答案填在答题卷相应位置上 ） 13．已知(0)1,()(1)()f f n nf n n N +==-∈，则(4)f = 。
2024学年广东省四会中学、广信中学高一上学期第二次月考数学及答案
2023-2024学年第一学期广信中学，四会中学第二次联考高一数学试卷一､单选题（5分*8=40分）1. 设集合{}{}{}1,2,3,4,5,1,3,2,3,5U A B ===，则()U A B ⋂ð等于（ ）A. {}1,2,4 B. {}1,2,4,5 C. {}3,5 D. ∅2. 命题：“∀x >0，都有x 2－x +1≤0”的否定是（ ）A. ∃x >0，使得x 2－x +1≤0 B. ∃x >0，使得x 2－x +1>0C. ∀x >0，都有x 2－x +1>0D. ∀x ≤0，都有x 2－x +1>03. 设x ∈R ，则“3x >”是“()20x x ->”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 函数()f x =的定义域为（ ）A. (1,)+∞ B. [1,)+∞C. (D.)∞⎡⋃+⎣5. 已知函数()21,04,01x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨+≥⎪+⎩，则()()1f f -=（ ）A. 2B. 3C. 3- D. 56. 下列函数在()0,∞+递减，且图像关于y 轴对称的是（ ）A. 13y x = B. 2y x =C. 3y x = D. 2y x -=7. 设03.40.5.013,,log 0.43a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则（ ）A. a b c>> B. c a b>> C. a c b>> D. b a c>>8. 血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数.人体的血氧饱和度正常范围是95%~100%，当血氧饱和度低于90%时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：0()e KtS t S =描述血氧饱和度()S t 随给氧时间t （单位：时）的变化规律，其中0S 为初始血氧饱和度，K 为参数.已知060%S =，给氧1小时后，血氧饱和度为80%.若使得血氧饱和度达到90%，则至少还需要给氧时间（单位：时）为（ ）（精确到0.1，参考数据：ln 2069ln 3110≈≈．，．）A. 0.3B. 0.5C. 0.7D. 0.9二、多选题（5分*4=20分，全对5分，漏选2分）9. 设0b a >>，则下列不等关系正确的是（ ）A.11b a< B.b a a b< C. 01a b<< D. 22a b ab <10. 下列四个命题为真命题的是（ ）A. :p 所有平面四边形的内角和都是360︒ B. 2:,220q x x x ∃∈++≤R C. {:|r x x x ∃∈是无理数}，2x 是无理数D.:s 对所有实数a ，都有0a >11. 图①是某大型游乐场的游客人数x （万人）与收支差额y （万元）（门票销售额减去投入的成本费用）的函数图象，销售初期该游乐场为亏损状态，为了实现扭亏为盈，游乐场采取了两种措施，图②和图③中的虚线为采取了两种措施后的图象，则下列说法正确的是（ ）A. 图①中点A 的实际意义表示该游乐场的投入的成本费用为1万元B. 图①中点B 的实际意义表示当游客人数为1.5万人时，该游乐场的收支恰好平衡C. 图②游乐场实行的措施是降低门票的售价D. 图③游乐场实行的措施是减少投入的成本费用12. 对于函数()4f x x x=+，则下列判断正确的是（ ）A. ()f x 在定义域内是奇函数B ()12,0,2x x ∀∈，12x x ≠，有()()1212f x f x x x -<-C. 函数()f x 的值域为[)4,+∞D. 对任意()12,0,x x ∈+∞且12x x ≠，有()()1212122x x f f x f x ⎛⎫>+⎪+⎝⎭⎡⎤⎣⎦.三、填空题（5分*4=20分）13. 计算：23lg 252lg 28++=__________．14. 实数0a >且1a ≠，则函数13x y a -=+图象恒过定点______．15. 已知实数,x y 满足12x -≤<，01y <≤，则3x y -的取值集合是__________.（用区间表示）16. 已知命题“2,230x x ax a ∃∈-+R …”是假命题，则实数a 取值范围是________．四､解答题（70分）17. 化简或计算下列各式．（1121121332a b a b ---⎛⎫；（2）()10.52332770.02721259-⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．18. （1）解不等式24410x x -+-<；（2）用作差法比较大小()()213a a +-与()()62745a a -++.19. 已知函数()mf x x x=+图象过点()1,3．（1）求实数m 的值；（2）判断函数的奇偶性并证明．（3）判断函数()f x 在区间()2,+∞上的单调性，并用定义证明你的结论．20. 已知幂函数()mf x x =的图象过点()25,5.（1）求()4f 的值；（2）若()()132f a f a +>-，求实数a 的取值范围.21. 已知二次函数()f x 满足()()12f x f x x +-=，且()01f =.（1）求()f x 的解析式；（2）当11,2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()y f x =图象恒在函数2y x m =+的图象下方，试确定实数m 的取值范围.的的的的22. 某水果树的单株产量W （单位：千克）与施用肥料x （单位：千克）满足如下关系：()()2217,02850,251x x W x x x ⎧+≤≤⎪=⎨-<≤⎪-⎩，且单株施用肥料及其它成本总投入为2010x +元.已知这种水果的市场售价大约为10元/千克，且销路畅通供不应求.记该水果树的单株利润为()f x （单位：元）.（1）求函数()f x 的解析式；（2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？2023-2024学年第一学期广信中学，四会中学第二次联考高一数学试卷一､单选题（5分*8=40分）1. 设集合{}{}{}1,2,3,4,5,1,3,2,3,5U A B ===，则()U A B ⋂ð等于（ ）A. {}1,2,4B. {}1,2,4,5 C. {}3,5 D. ∅【答案】B 【解析】【分析】确定{}3A B ⋂=，再计算补集得到答案.【详解】{}{}{}1,2,3,4,5,1,3,2,3,5U A B ===，则{}3A B ⋂=，故(){}1,2,4,5U A B ⋂=ð.故选：B.2. 命题：“∀x >0，都有x 2－x +1≤0”的否定是（ ）A. ∃x >0，使得x 2－x +1≤0 B. ∃x >0，使得x 2－x +1>0C. ∀x >0，都有x 2－x +1>0 D. ∀x ≤0，都有x 2－x +1>0【答案】B 【解析】【分析】全称命题的否定是特称命题，把任意改为存在，把结论否定.【详解】“∀x >0，都有x 2－x +1≤0”的否定是“∃x >0，使得x 2－x +1>0”.故选：B3. 设x ∈R ，则“3x >”是“()20x x ->”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】解不等式()20x x ->可得2x >或0x <，根据x 取值的范围大小即可知“3x >”是“()20x x ->”的充分不必要条件.【详解】由不等式()20x x ->可得2x >或0x <；易知{}|3x x >是{|2x x >或}0x <的真子集，所以“3x >”是“()20x x ->”的充分不必要条件.故选：A 4. 函数()f x =的定义域为（ ）A. (1,)+∞ B. [1,)+∞C. (D.)∞⎡⋃+⎣【答案】D 【解析】【分析】由二次根式的被开方数非负和分式的分母不为零，列不等式组，解不等式组可求得结果【详解】要使函数有意义，必须21030x x -≥⎧⎨-≠⎩，解得1x ≥且x ≠则函数()f x的定义域为)∞⋃+，故选：D ．5. 已知函数()21,04,01x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨+≥⎪+⎩，则()()1f f -=（ ）A. 2B. 3C. 3- D. 5【答案】A 【解析】【分析】根据函数的解析式，求得()12f -=，进而求得()()1ff -的值，得到答案.【详解】由函数()21,04,01x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨+≥⎪+⎩ ，可得()12f -=，则()()()122f f f -==.故选：A.6. 下列函数在()0,∞+递减，且图像关于y 轴对称的是（ ）A. 13y x = B. 2y x =C 3y x = D. 2y x -=【答案】D 【解析】【分析】根据幂函数性质，逐一判断即可..【详解】根据幂函数性质，知函数13y x =、2y x =，3y x =在()0,∞+上递增，ABC 都不是；而2y x -=在()0,∞+上递减，且为偶函数，图象关于y 轴对称，D 是.故选：D7. 设03.40.5.013,,log 0.43a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则（ ）A. a b c >>B. c a b>> C. a c b>> D. b a c>>【答案】A 【解析】【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合中间量法即可得解.【详解】0.40.50.413,33a b -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，因为函数3x y =为增函数，所以1a b >>，0.30.3log 0.4log 0.31c =<=，所以a b c >>.故选：A.8. 血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数.人体的血氧饱和度正常范围是95%~100%，当血氧饱和度低于90%时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：0()e KtS t S =描述血氧饱和度()S t 随给氧时间t （单位：时）的变化规律，其中0S 为初始血氧饱和度，K 为参数.已知060%S =，给氧1小时后，血氧饱和度为80%.若使得血氧饱和度达到90%，则至少还需要给氧时间（单位：时）为（ ）（精确到0.1，参考数据：ln 2069ln 3110≈≈．，．）A. 0.3 B. 0.5 C. 0.7 D. 0.9【答案】B 【解析】【分析】依据题给条件列出关于时间t 的方程，解之即可求得给氧时间至少还需要的小时数.【详解】设使得血氧饱和度达到正常值，给氧时间至少还需要1t -小时，由题意可得60e 80K =，60e 90Kt =，两边同时取自然对数并整理，得804lnln ln 4ln 32ln 2ln 3603K ===-=-，903ln ln ln 3ln 2602Kt ===-，则ln 3ln 2 1.100.691.52ln 2ln 320.69 1.10t --=≈≈-⨯-，则给氧时间至少还需要0.5小时故选： B二、多选题（5分*4=20分，全对5分，漏选2分）9. 设0b a >>，则下列不等关系正确的是（ ）A.11b a< B.b a a b< C. 01a b<< D. 22a b ab <【答案】ACD 【解析】【分析】由题意，对每一选项结合作差法比较大小即可求解.【详解】对于A ，因为0b a >>，所以110a b b a ab--=<，11b a <，故A 正确；对于B ，因为0b a >>，所以220b a b a a b ab--=>，b a a b >，故B 错误；对于C ，因0b a >>，所以0,10a a a b b b b-<-=<，01ab <<，故C 正确；对于D ，因为0b a >>，所以()220a b b a a b b a -=-<，22a b ab <，故D 正确.故选：ACD.10. 下列四个命题为真命题的是（ ）A. :p 所有平面四边形的内角和都是360︒ B. 2:,220q x x x ∃∈++≤R C. {:|r x x x ∃∈是无理数}，2x 是无理数 D.:s 对所有实数a ，都有0a >【答案】AC 【解析】【分析】根据全称命题和特称命题的性质逐项判断真假即可.【详解】对于A ，所有平面四边形的内角和都是360︒，故A 是真命题；对于B ，由于方程2220x x ++=的224240∆=-⨯=-<，再根据二次函数图象可得一元二次不等式2220x x ++≤在实数上解集为∅，故B 是假命题；对于C ，例如π是无理数，则2π也是无理数，故C 是真命题；对于D ，当0a =时，0a =，故D 是假命题.故选：AC.11. 图①是某大型游乐场的游客人数x （万人）与收支差额y （万元）（门票销售额减去投入的成本费用）为的函数图象，销售初期该游乐场为亏损状态，为了实现扭亏为盈，游乐场采取了两种措施，图②和图③中的虚线为采取了两种措施后的图象，则下列说法正确的是（ ）A. 图①中点A 的实际意义表示该游乐场的投入的成本费用为1万元B. 图①中点B 的实际意义表示当游客人数为1.5万人时，该游乐场的收支恰好平衡C. 图②游乐场实行措施是降低门票的售价D. 图③游乐场实行的措施是减少投入的成本费用【答案】ABD 【解析】【分析】根据一次函数图象，结合实际场景理解描述实际意义即可.【详解】A ：图①中A 的实际意义表示游乐场的投入成本为1万元，正确；B ：图①中B 的实际意义表示当游客人数为1.5万人时，游乐场的收支恰好平衡，正确；C ：图②游乐场实行的措施是提高门票的售价，错误；D ：图③游乐场实行的措施是减少投入的成本费用，正确.故选：ABD12. 对于函数()4f x x x=+，则下列判断正确的是（ ）A. ()f x 在定义域内是奇函数B. ()12,0,2x x ∀∈，12x x ≠，有()()12120f x f x x x -<-C. 函数()f x 的值域为[)4,+∞D. 对任意()12,0,x x ∈+∞且12x x ≠，有()()1212122x x f f x f x ⎛⎫>+ ⎪+⎝⎭⎡⎤⎣⎦【答案】AB 【解析】的【分析】根据双勾函数的性质可判断A ，B ，C ；作差法比较122x x f +⎛⎫ ⎪⎝⎭与()()1212f x f x +⎡⎤⎣⎦即可判断D.【详解】对于A,()()f x f x -=-，且定义域为{}|0x x ≠，故()f x 为奇函数，故A 正确；对于B,()4f x x x=+在()0,2单调递减，故B 正确；对于C ，当0x >时()44f x x x=+≥=，当且仅当2x =时取得等号，当0x <时()44()4f x x x x x=+=--+≤-=--，当且仅当2x =-时取得等号，所以()f x 的值域为][(,44,)-∞-+∞ ，故C 错误；对于D ，已知任意()12,0,x x ∈+∞且12x x ≠，1222x x f +⎛⎫= ⎪⎝⎭ ()()12121212121644,x x f x f x x x x x x x +++=++++，()()1212162f f x f x x x ⎡⎤∴-+=-⎣⎦+1244x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，而()2121221212164144x x x x x x x x +==<++，故()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭，故D 错误.故选：AB.三、填空题（5分*4=20分）13. 计算：23lg 252lg 28++=__________．【答案】6【解析】【分析】根据对数、指数的运算性质求解即可得到结果．【详解】原式223333lg25lg4(2)lg(254)2246⨯==++⨯+=+=．故答案为6．【点睛】本题考查指数、对数的运算，解题时根据相应的运算性质求解即可，属于简单题．14. 实数0a >且1a ≠，则函数13x y a -=+的图象恒过定点______．【答案】()1,4【解析】【分析】令10x -=，结合指数函数的性质即可得解.【详解】令10x -=，则1,4x y ==，所以函数13x y a -=+的图象恒过定点()1,4.故答案为：()1,4.15. 已知实数,x y 满足12x -≤<，01y <≤，则3x y -的取值集合是__________.（用区间表示）【答案】[)4,2-【解析】【分析】根据不等式的性质直接求解即可.【详解】01y <≤ ，330y ∴-≤-<，又12x -≤<，432x y ∴-≤-<，即3x y -的取值集合为[)4,2-.故答案为：[)4,2-.16. 已知命题“2,230x x ax a ∃∈-+R …”是假命题，则实数a 的取值范围是________．【答案】()0,3【解析】【分析】把条件等价转化为“2,230x x ax a ∀∈-+>R ”为真命题，结合二次函数知识可求范围.【详解】由题意知“2,230x x ax a ∀∈-+>R ”为真命题，所以2Δ4120a a =-<，解得0＜a ＜3．故答案为：()0,3.四､解答题（70分）17. 化简或计算下列各式．（1121121332a b a b ---⎛⎫；（2）()10.52332770.02721259-⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【答案】（1）1a（2）0.09【解析】【分析】（1）（2）利用根式与分数指数互化、指数幂的运算性质可化简所求代数式.【小问1详解】解：原式2111111111532322132623615661ab a baba aa b⎛⎫⨯--⎪⎝⎭---+--⋅====.【小问2详解】解：原式22333273550.0910001033⨯⎛⎫⎛⎫=+-=+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.18 （1）解不等式24410x x -+-<；（2）用作差法比较大小()()213a a +-与()()62745a a -++.【答案】（1）1{|}2x x ≠；（2）(21)(3)(6)(27)45a a a a +-<-++.【解析】【分析】（1）应用一元二次不等式的解法求解集；（2）作差法得[](21)(3)(6)(27)456a a a a +---++=-，即可比较大小.【详解】（1）由2224410441(21)0x x x x x -+-<⇒-+=->， 则12x ≠，所以不等式的解集为1{|}2x x ≠；（2）[](21)(3)(6)(27)45a a a a +---++()22253253a a a a =----+60=-<故(21)(3)(6)(27)45a a a a +-<-++..19. 已知函数()mf x x x=+的图象过点()1,3．（1）求实数m 的值；（2）判断函数的奇偶性并证明．（3）判断函数()f x 在区间()2,+∞上的单调性，并用定义证明你的结论．【答案】（1）2m = （2）奇函数，证明见解析（3）()f x 在区间()2,+∞上单调递增，证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意，将()1,3的坐标代入函数的解析式，可得()1131mf =+=，可得m 的值；（2）根据题意，先分析函数的定义域，进而判断()f x -与()f x 的关系即可；（3）根据题意，由作差法分析可得答案【小问1详解】根据题意，函数()mf x x x =+的图象过点()1,3，则有()1131m f =+=，解得2m =；【小问2详解】函数()f x 为奇函数，证明如下：函数()2f x x x=+，其定义域为()(),00,∞-+∞U ，又()()()()22f x x x f x x x ⎛⎫-=-+=-+=- ⎪-⎝⎭，所以()2f x x x=+是奇函数.小问3详解】()f x 在区间()2,+∞上单调递增，证明如下：设任意()12,2,x x ∈+∞，且12x x <，则()()()()1212212121212121211212222222x x x x f x f x x x x x x x x x x x x x x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=+-+=-+-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，【因为12x x <，则210x x ->，又()12,2,x x ∈+∞，则124x x >，于是()()210f x f x ->，即()()21f x f x >，所以函数()f x 在区间()2,+∞上是增函数.20. 已知幂函数()mf x x =的图象过点()25,5.（1）求()4f 的值；（2）若()()132f a f a +>-，求实数a 的取值范围.【答案】20. 2 21. 23,32⎛⎤⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）由条件可得()255m=，得到m 的值即可求出函数解析式，最后求函数值即可；（2）根据函数的定义域和单调性，得到不等式组，求出答案.【小问1详解】将()25,5代入()mf x x =可得()255m=，解得12m =，故()12f x x =，所以()42f ==；【小问2详解】因为()12f x x =在[)0,∞+上单调递增，且()()132f a f a +>-，所以10320132a a a a+≥⎧⎪-≥⎨⎪+>-⎩，解得2332a <≤，即实数a 的取值范围是23,32⎛⎤⎥⎝⎦.21. 已知二次函数()f x 满足()()12f x f x x +-=，且()01f =.（1）求()f x 的解析式；（2）当11,2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()y f x =的图象恒在函数2y x m =+的图象下方，试确定实数m 的取值范围.【答案】（1）()21f x x x =-+（2）()5,+∞【解析】【分析】（1）设()()20f x ax bx c a =++≠，依题意可得220a a b =⎧⎨+=⎩且1c =，求出a 、b 的值，即可得解；（2）依题意可得2310x x m -+-<对任意的11,2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦恒成立，令()231g x x x m =-+-，11,2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，结合二次函数的性质求出()max g x ，即可求出参数的取值范围.【小问1详解】设()()20f x ax bx c a =++≠，∵()01f =，∴1c =，又()()12f x f x x +-=，∴()()()22112a x b x c ax bx c x ++++-++=，∴22ax a b x ++=，∴220a a b =⎧⎨+=⎩，∴11a b =⎧⎨=-⎩，∴()21f x x x =-+；【小问2详解】当11,2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()21y f x x x ==-+的图象恒在2y x m =+图象下方，∴11,2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，212x x x m -+<+恒成立，即2310x x m -+-<恒成立，令()231g x x x m =-+-，11,2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，对称轴为32x =，故函数()g x 在11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以当11,2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()()max 11315g x g m m =-=++-=-，故只要50m -<，即5m >，所以实数m 的范围()5,+∞.22. 某水果树的单株产量W （单位：千克）与施用肥料x （单位：千克）满足如下关系：()()2217,02850,251x x W x x x ⎧+≤≤⎪=⎨-<≤⎪-⎩，且单株施用肥料及其它成本总投入为2010x +元.已知这种水果的市场售价大约为10元/千克，且销路畅通供不应求.记该水果树的单株利润为()f x （单位：元）.（1）求函数()f x 的解析式；（2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）()22020330,028049020,251x x x f x x x x ⎧-+≤≤⎪=⎨--<≤⎪-⎩（2）当施用肥料为3千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润是390.【解析】【分析】（1）根据题意可以直接得到利润表达式；（2）根据定义域求出每段函数的最大值做比较即可.【小问1详解】由已知可得()()()102010f x W x x =-+，又因为()()2217,02850,251x x W x x x ⎧+≤≤⎪=⎨-<≤⎪-⎩，所以()()()()()()220172010,02102010805002010,251x x x f x W x x x x x ⎧+-+≤≤⎪=-+=⎨--+<≤⎪-⎩，整理可得()22020330,028049020,251x x x f x x x x ⎧-+≤≤⎪=⎨--<≤⎪-⎩【小问2详解】当02x ≤≤时，()221=2020330=203252f x x x x æöç÷-+-+ç÷èø，所以()()max2370f xf ==；当25x <≤时，()()()808080=49020=49020120470201470390111f x x x x x x x éùéù---+-+=-+-£-=êúêúêúêú---ëûëû当且仅当()802011x x =--，即3x =，或=1x -（舍去），()max 390f x =；因为370390<，所以()max 390f x =，故当施用肥料为3千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润是390.。
2024学年吉林省长春外国语学校高一上学期12月月考数学试题及答案
长春外国语学校2023-2024学年第一学期第二次月考高一年级数学试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页.考试结束后，将答题卡交回.注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区.2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 函数()ln(12)f x x =-的定义域为（ ）A. 1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B. 1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭2. 实数0.2,a b c ===的大小关系正确的是（）A. a c b<< B. a b c<< C. b a c<< D. b<c<a 3. 已知对数函数()log a f x x =是增函数，则函数()1fx +的图象大致是（）.A.B.C. D.4. 已知函数2log ,0()91,0x x x f x x ->⎧=⎨+≤⎩，则31((1))(log )2f f f +的值是A. 2B. 3C. 5D. 75. 设()e ,0ln ,0x x g x x x ⎧≤=⎨>⎩，则关于x 的不等式()1g x ≤的解集是（ ）A. (],e -∞ B. (],1-∞ C. []0,e D. []0,16. 已知点(1,2)在α终边上，则cos α=（ ）A.B.C.23D.137. 已知α锐角，且cos 6πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan 3πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A.B.C.D.8. 把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度为1θC ，空气的温度是0θC ，那么t 分钟后物体的温度θ（单位C ）可由公式：()010kteθθθθ-=+-求得，其中k 是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.现有100℃的物体，放在20C 的空气中冷却，4分钟后物体的温度是60C ，则再经过（ ）分钟，物体的温度是40C （假设空气的温度保持不变）.A. 2B. 4C. 6D. 8二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列选项中正确的是（ ）9. 下列选项中正确的是（ ）A. ()sin 3sin απα-= B. 7cos sin 2απα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭C. ()tan tan απα--=- D. 5sin cos 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭的为10. 下列所给函数中值域为()0,∞+的是（ ）A. ()23f x x-= B.()1xf x e=C. ()()23log 1f x x =+ D. ()15,01,0x x f x x x ⎧⎪>=⎨⎪-+≤⎩11. 若105a =，1020b =，则（ ）A. 4a b += B. lg 4b a -= C. 22lg 5ab < D. lg 5b a ->12. 下列正确的命题是（ ）A 5πlg sin 02⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B 若()cos cos 2f x x =，则()sin 30f ︒=C. 若()1sin π2α+=-，则()1sin 4π2α-=-D. 若()tan π2α+=，则()()()()sin πcos π3sin πcos παααα-+-=+--第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 半径为2，面积等于45π的扇形的圆心角的大小是_________．14. 若函数5()log f x x =（0x >），则方程(1)(3)1f x f x ++-=的解x =________.15. 设函数()2222x x f x x x ⎧<=⎨≥⎩，，，若()()121f a f a +≤-，则实数a 的取值范围是__________.16. 已知定义在R 上的函数()f x 图像关于点1(,0)2中心对称，且当12x >时，1()f x x m x=++，若()f x 的值域为R ，则实数m 的取值范围为________．四、解答题：本题共6小题，共70分．第17题10分，其他每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. （1）3log 2832lg 2lg 253log 9log 64+++⨯（2）2102329272()(3)(()483----++..18. 已知角α的终边落在直线4y x =-上，且0x ≤，求sin α，cos α，tan α的值．19. 已知1sin cos 5θθ+=，(0,)θπ∈，求下列各式的值．（1）sin cos θθ⋅；（2）sin cos θθ-．20. 已知函数3sin cos tan()22()cos()sin(3)x x x f x x x πππππ⎛⎫⎛⎫-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+-，且1()3f α=.（1）求2sin cos sin 2cos αααα-+的值；（2）求222sin sin cos cos αααα--的值.21. 已知定义在R 上的函数2()51x f x m =-+（1）判断并证明函数()f x 的单调性；（2）若()f x 是奇函数，求m 的值；（3）若()f x 的值域为D ，且[3,1]D ⊆-，求m 的取值范围．22. 已知函数()1lg 1xf x x -=+.（1）求不等式()()()lg20ff x f +>解集；（2）函数()()30,1xg x a a a =->≠，若存在[)12,0,1x x ∈，使得()()12f x g x =成立，求实数a 的取值范围.的长春外国语学校2023-2024学年第一学期第二次月考高一年级数学试卷出题人 ：赵宇审题人：王骏牧本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页.考试结束后，将答题卡交回.注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区.2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 函数()ln(12)f x x =-的定义域为（ ）A. 1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B. 1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】使得式子有意义，列出不等式即可求解.【详解】定义域要求120x ->，即12x <.故选：B ．2. 实数0.2,a b c ===的大小关系正确的是（）A. a c b <<B. a b c<< C. b a c<< D. b<c<a【答案】C【解析】【分析】利用指数函数、对数函数的单调性可得到a b c 、、的范围从而得到答案.【详解】000.21a <=<=，0.20b =<=，1c =>=，所以b a c <<，故选：C.3. 已知对数函数()log a f x x =是增函数，则函数()1fx +图象大致是（）.A.B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】利用代特殊点和对数函数的图像性质排除选项即可.【详解】由题意，1a >，()()1log 1afx x +=+，()()11f x f x -+=+，所以函数()1f x +是偶函数，当0x =时，()()01log 010af+=+=，故排除选项C 、D ，当0x >时，由对数函数的单调性，对数函数增长越来越慢，可排除选项A.故选：B【点睛】本题主要考查函数图像的识别和判断，利用函数的奇偶性和带入特殊值排除法是解题的关键，属于基础题.4. 已知函数2log ,0()91,0x x x f x x ->⎧=⎨+≤⎩，则31((1))(log )2f f f +的值是A. 2B. 3C. 5D. 7【答案】D 【解析】的【分析】根据给定的分段函数，按条件分段计算即可作答.【详解】函数2log ,0()91,0xx x f x x ->⎧=⎨+≤⎩，则2(1)log 10f ==，0((1))(0)912f f f ==+=，而331log log 202=-<，因此，33log 2log 222331(log )(log 2)91(3)12152f f =-=+=+=+=，所以31((1))(log 2572f f f +=+=故选：D5. 设()e ,0ln ,0x x g x x x ⎧≤=⎨>⎩，则关于x 不等式()1g x ≤的解集是（ ）A. (],e -∞B. (],1-∞C. []0,eD. []0,1【答案】A 【解析】【分析】分0x ≤、0x >解不等式()1g x ≤，综合可得出原不等式的解集.【详解】当0x ≤时，由()e 1xg x =≤可得0x ≤；当0x >时，由()ln 1g x x =≤可得0e x <≤.综上所述，不等式()g x 的解集为(],e -∞.故选：A.6. 已知点(1,2)在α的终边上，则cos α=（ ）A.B.C.23D.13【答案】B 【解析】【分析】根据终边上点，结合三角函数的定义求余弦值即可.【详解】由题设cos α==.故选：B7. 已知α为锐角，且cos 6πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan 3πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A.B.C.D.的的【答案】D 【解析】【分析】注意到πππ632αα⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用同角三角函数的关系求角π6α+的正弦，再利用诱导公式求角π3α-的正弦、余弦，从而得到π3α-的正切.【详解】因为α为锐角，所以ππ2π,663α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭且πcos 6α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以22πsin 06ππsin cos 166ααα⎧⎛⎫+> ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪+++= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩得πsin 6α⎛⎫+= ⎪⎝⎭由诱导公式得ππππsin sin cos 3266ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，ππcos sin 36αα⎛⎫⎛⎫-=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以πsin π3tan π3cos 3ααα⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭-=== ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭.故选:D8. 把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度为1θC ，空气的温度是0θC ，那么t 分钟后物体的温度θ（单位C ）可由公式：()010kteθθθθ-=+-求得，其中k 是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.现有100℃的物体，放在20C 的空气中冷却，4分钟后物体的温度是60C ，则再经过（ ）分钟，物体的温度是40C （假设空气的温度保持不变）.A. 2 B. 4 C. 6 D. 8【答案】B 【解析】【分析】根据题意将数据120θ=o，0100θ= ，60θ= ，4t =代入()010kte θθθθ-=+-，可得1412k e -⎛⎫= ⎪⎝⎭，再将40θ =代入即可得8t =，即可得答案.【详解】由题意知：120θ=o，0100θ= ，60θ= ，4t =代入()010kte θθθθ-=+-得：()4602010020ke-=+-，解得1412k e -⎛⎫= ⎪⎝⎭所以当40θ =时，()1440201002012t ⎛⎫ -⎪⎭=+⎝，解得：124114212t ⎛⎫== ⎛⎫ ⎝⎪⎭⎪⎭⎝，所以8t =，所以再经过4分钟物体的温度是40C ， 故选：B【点睛】本题主要考查了指数函数的综合题，关键是弄清楚每个字母的含义，属于中档题.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列选项中正确的是（ ）9. 下列选项中正确的是（ ）A. ()sin 3sin απα-= B. 7cos sin 2απα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭C. ()tan tan απα--=- D. 5sin cos 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭【答案】BCD 【解析】【分析】利用诱导公式一一验证即可；【详解】解：sin(3)sin()sin()sin απαππαα-=-=--=-，故A 不正确；71cos cos sin 22απαπα⎛⎫⎛⎫-=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 正确；tan()tan()tan απαα--=-=-，故C 正确；51sin sin cos 22παπαα⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 正确.故选：BCD10. 下列所给函数中值域为()0,∞+的是（）A. ()23f x x-= B.()1xf x e=C. ()()23log 1f x x =+ D. ()15,01,0x x f x x x ⎧⎪>=⎨⎪-+≤⎩【答案】AD 【解析】【分析】A. 利用幂函数的性质判断；B.令 ()()1,00,t x=∈-∞⋃+∞，转化为指数函数判断；C. 令211t x =+≥，转化为对数函数判断；D. 分0x >和 0x ≤讨论求解判断.【详解】A. 因为()23f x x -=的定义域为{}|0x x ≠，因为函数在()0,∞+上是减函数且为偶函数，所以其值域是()0,∞+，故正确；B.令 ()()1,00,t x=∈-∞⋃+∞，则()()()10,11,x f x e =∈⋃+∞，故错误；C. 令211t x =+≥，则()()23log 1[0,)f x x =+∈+∞，故错误；D. 当0x >时，()()0,f x ∈+∞，当 0x ≤时，()[1,)f x ∈+∞，综上：()()0,f x ∈+∞，故正确；故选：AD11. 若105a =，1020b =，则（ ）A. 4a b += B. lg 4b a -= C. 22lg 5ab < D. lg 5b a ->【答案】BC 【解析】【分析】由105,1020a b ==，得lg 5,lg 20a b ==，再利用对数运算公式对,a b 进行a b +，b a -，ab 运算，从而可判断各选项.【详解】由105,1020a b ==，得lg 5,lg 20a b ==，则()lg 5lg 20lg 520lg1002a b +=+=⨯==，选项A 错误；20lg 20lg 5lglg 4lg 55b a -=-==<，选项B 正确，选项D 错误；()2lg 5lg 20lg 5lg 4lg 5lg 5lg 4lg 5ab =⨯=⨯+=⨯+，lg 4lg 5<Q ，222lg 5lg 4lg 5lg 5lg 5lg 52lg 5⨯+<⨯+=∴，22lg 5ab <∴ ，选项C 正确.故选：BC.12. 下列正确的命题是（ ）A. 5πlg sin 02⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B. 若()cos cos 2f x x =，则()sin 30f ︒=C. 若()1sin π2α+=-，则()1sin 4π2α-=-D. 若()tan π2α+=，则()()()()sin πcos π3sin πcos παααα-+-=+--【答案】ACD【解析】【分析】运用诱导公式、特殊角的三角函数值及同角三角函数的商数关系即可求得各个选项.【详解】对于A 项，5ππlg sin lg sin lg1022⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故A 项正确；对于B 项，因为()cos cos 2f x x =，所以1(sin 30)(cos 60)cos1202f f ︒︒︒===-，故B 项错误；对于C 项，因为()1sin πsin 2αα+=-=-，所以1sin 2α=，所以()1sin 4πsin()sin 2ααα-=-=-=-，故C 项正确；对于D 项，因为()tan πtan 2αα+==，所以()()()()sin πcos πsin cos sin cos tan 1213sin πcos πsin cos sin cos tan 121αααααααααααααα-+---+++=====+---+---，故D 项正确.故选：ACD.第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 半径为2，面积等于45π的扇形的圆心角的大小是_________．【答案】25π【解析】【分析】根据扇形面积公式即可求出．【详解】设扇形的圆心角的大小为α，由212S r α=可得，241252πα=⨯⨯，解得25πα=．故答案为：25π．14. 若函数5()log f x x =（0x >），则方程(1)(3)1f x f x ++-=的解x =________.【答案】4.【解析】【分析】根据对数的运算性质，可得(1)(3)5x x +-=，解得答案．【详解】解：因为5()log f x x =，所以()()555(1)(3)log 1log 3log (1)(3)f x f x x x x x ++-=++-=+-，5(1)(3)log (1)(3)1f x f x x x ++-=+-= 即(1)(3)5x x +-=，所以4x =或2x =-（舍去），故答案为：4．【点睛】本题考查对数函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，属于基础题．15. 设函数()2222x x f x x x ⎧<=⎨≥⎩，，，若()()121f a f a +≤-，则实数a 的取值范围是__________.【答案】[2,)+∞【解析】【分析】根据指数函数和幂函数的性质可得()f x 在R 上为增函数，利用函数的单调性解不等式即可得解.【详解】由于当2x <时，()2xf x =为增函数，且()()24f x f <=，由于当2x ≥时，()2f x x =为增函数，且()()24f x f ≥=，∴()f x 在R 上为增函数，∵()()121f a f a +≤-，∴121a a +≤-，解得2a ≥，所以实数a 的取值范围为[2,)+∞，故答案为：[2,)+∞．16. 已知定义在R 上的函数()f x 图像关于点1(,0)2中心对称，且当12x >时，1()f x x m x =++，若()f x 的值域为R ，则实数m 的取值范围为________．【答案】(,2]-∞-【解析】【分析】由题可得函数()f x 关于点1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称，进而可得当12x >时，1()0f x x m x =++≤有解，利用基本不等式即得.【详解】∵定义在R 上的函数()f x 满足1122f x f x ⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴函数()f x 关于点1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称，又当12x >时，1()f x x m x =++，在1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()f x 单调递减，当()1,x ∈+∞，()f x 单调递增，要使函数()f x 的值域为R ，则当12x >时，1()0f x x m x=++≤有解，又当12x >时，12x m m m x ++≥=+，当且仅当1x x =，即1x =取等号，∴20m +≤，即实数m 的取值范围为(,2]-∞-.故答案为：(,2]-∞-.四、解答题：本题共6小题，共70分．第17题10分，其他每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. （1）3log 2832lg 2lg 253log 9log 64+++⨯（2）2102329272()(3)(()483----++【答案】（1）8 ；（2）132【解析】【分析】（1）利用对数运算性质化简即可得出答案（2）利用指数运算性质化简即可得到答案.【详解】(1)原式6232=lg 4lg 252log 3log 23+++⨯2lg100263=++⨯2248=++=；(2)原式34413162992=--++=18. 已知角α的终边落在直线4y x =-上，且0x ≤，求sin α，cos α，tan α的值．【答案】sin α=，cos α=tan 4α=-.【解析】【分析】根据给定条件，求出角α的终边上一个点的坐标，再利用三角函数定义求解即得.【详解】角α的终边落在直线4y x =-上，且0x ≤，取角α的终边上的点(1,4)P -，则||r OP ===，所以sin α==cos α==；4tan 41α==--.19. 已知1sin cos 5θθ+=，(0,)θπ∈，求下列各式的值．（1）sin cos θθ⋅；（2）sin cos θθ-．【答案】（1）1225-；（2）75．【解析】【分析】（1）由1sin cos ,(0,)5θθθπ+=∈，利用三角函数的基本关系式，即可求解；（2）由（1）知sin cos 0θθ⋅<，得出可得sin θcos θ0->，结合三角函数的基本关系式，即可求解.【详解】（1）由题意知1sin cos ,(0,)5θθθπ+=∈，可得21(sin cos )12sin cos 25θθθθ+=+⋅=，解得12sin cos 25θθ⋅=-．（2）由（1）知12sin cos 025θθ⋅=-<，所以sin 0,cos 0θθ><，可得sin θcos θ0->，所以sin cos θθ-===75=．20. 已知函数3sin cos tan()22()cos()sin(3)x x x f x x x πππππ⎛⎫⎛⎫-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+-，且1()3f α=.（1）求2sin cos sin 2cos αααα-+的值；（2）求222sin sin cos cos αααα--的值.【答案】（1）17-；（2）-1.【解析】【分析】（1）用诱导公式化简函数得()tan f x x =，已知条件为1tan 3α=，然后求值式利用弦化切法化为正切的函数，再求值；（2）由“1”的代换得2222222sin sin cos cos 2sin sin cos cos sin cos αααααααααα----=+，然后分子分母同除以2cos αtan α的函数再代入求值．【详解】（1）cos sin (tan )()tan cos sin x x x f x x x x -==- ∵1()3f α=，∴1tan 3α= 2sin cos 2tan 1sin 2cos tan 2αααααα--=++121131723⨯-==-+（2）2222222sin sin cos cos 2sin sin cos cos sin cos αααααααααα----=+2211212tan tan 19311tan 119ααα⨯----===-++．【点睛】本题考查诱导公式，考查同角间三角函数关系，齐次式求值问题．关于sin ,cos αα的齐次分式均可化为关于tan α的函数求值．21. 已知定义在R 上的函数2()51x f x m =-+（1）判断并证明函数()f x 的单调性；的（2）若()f x 是奇函数，求m 的值；（3）若()f x 的值域为D ，且[3,1]D ⊆-，求m 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）1；（3）[1,1]-【解析】【分析】（1）利用函数单调性的定义进行证明即可；（2）利用函数奇偶性的定义求解即可；（3）求出函数的值域，利用子集关系求解即可.【小问1详解】证明：设12x x <且12,x x R∈则()()()()()121212122552251515151x x x x x x f x f x m m -⎛⎫-=---= ⎪++++⎝⎭121212510,510,550x x x x x x <∴+>+>-< ()()120f x f x -<即()()12f x f x <()f x 在R 上单调递增【小问2详解】()f x 是R 上的奇函数，22()()05151x x f x f x m m -+-=-+-=++即225202205151x x x m m ⎛⎫⨯-+=⇒-= ⎪++⎝⎭1m =【小问3详解】由22500225151x x x m m m >⇒<<⇒-<-<++(2,)D m m =-，[3,1]D ⊆-23111m m m -≥-⎧⇒-≤≤⎨≤⎩m 的取值范围是[1,1]-22. 已知函数()1lg1x f x x -=+.（1）求不等式()()()lg20f f x f +>的解集；（2）函数()()30,1x g x aa a =->≠，若存在[)12,0,1x x ∈，使得()()12f x g x =成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）19,311⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）()3,+∞【解析】【分析】（1）求得()f x 的定义域和值域及函数的单调性，得1111012x x -<<+，解不等式即可得到所求范围；（2）求得当01x ≤<时，()f x 的值域；以及讨论1a >，01a <<时()g x 的值域，由题意可得()f x 和()g x 的值域存在交集，即可得到所求范围；【小问1详解】由101x x ->+，可得11x -<<，故函数定义域为()1,1-，关于原点对称，又()()11lg lg 11x x f x f x x x +--==-=--+，即()f x 为奇函数.又()()1212lg lg lg 1111x x f x x x x -++-⎛⎫===-+ ⎪+++⎝⎭，函数211y x =-++在()1,1-上单调递减，值域()0,∞+.由复合函数的单调性质知()f x 在()1,1-上单调递减，且()f x 的值域为R ，不等式()()()lg20f f x f +>，转化为()()()lg2f f x f >-，因为()f x 为奇函数，所以()()()()lg2lg2ff x f f >-=-，因为()f x 在()1,1-上单调递减，所以()1lg2f x -<<-，即11lg lg21x x --<<-+，即1111012x x -<<+，即111102x x x ++<-<，解得19311x <<，为则原不等式的解集为19,311⎛⎫ ⎪⎝⎭.【小问2详解】因为存在[)12,0,1x x ∈，使得()()12f x g x =成立，所以[)0,1x ∈时，()f x 的值域与()g x 的值域有交集.因为()2lg 11f x x ⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭在[)0,1上是减函数，()01f =，所以()f x 的值域为(],0-∞，当1a >时，()3xg x a =-在[)0,1上单调递减，故()g x 的值域为(]3,2a -，所以30a -<即3a >，当01a <<时，()3xg x a =-在[)0,1上单调递增，故()g x 的值域为[)2,3a -，不符.综上所述，实数a 的取值范围为()3,+∞.。
湖北省2024-2025学年高一上学期第二次月考(10月)数学试题含答案
2024级高一数学试题（答案在最后）总分：150分时间：120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“x R ∀∈，2210x x -+>”的否定为（）A.x R ∀∈，2210x x -+<B.x R ∀∉，2210x x -+>C.x R ∃∈，2210x x -+≥D.x R ∃∈，2210x x -+≤【答案】D 【解析】【分析】本题可根据全称命题的否定是特称命题得出结果.【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“x R ∀∈，2210x x -+>”的否定为“x R ∃∈，2210x x -+≤”，故选：D.2.定义集合运算{}=,,A B c c a b a A b B =+∈∈◇.设{}0,1,2A =，{}2,3,4B =，则集合A B ◇的真子集个数为（）A.32B.31C.30D.15【答案】B 【解析】【分析】由已知中集合A B 、之间的运算“◇”的定义，可计算出集合A B ◇的元素个数，再根据含有n 个元素的集合的真子集有21n -个，得到答案．【详解】因为{}0,1,2A =，{}2,3,4B =，又{}=,,A B c c a b a A b B =+∈∈◇，所以{}=2,3,4,5,6A B ◇，由于集合A B ◇中共有5个元素，则集合A B ◇的真子集个数为52131-=个.故选：B ．3.设集合{}02M x x =≤≤，{}02N y y =≤≤，那么下面的4个图形中，能表示集合M 到集合N 且以集合N 为值域的函数关系的有（）A.①②③④B.①②③C.②③D.②【答案】D 【解析】【分析】根据函数的定义，且定义域为{}02M x x =≤≤，值域为{}02N y y =≤≤，逐项判定，即可求解.【详解】由题意知，函数的定义域为{}02M x x =≤≤，值域为{}02N y y =≤≤，对于①中，函数的定义域不是集合M ，所以①不正确；对于②中，函数的定义域为集合M ，值域为集合N ，能表示集合M 到集合N 且以集合N 为值域的函数关系，所以②正确；对于③中，函数的定义域为集合M ，值域不是集合N ，所以③不正确；对于④中，集合M 中的元素在集合N 中对应两个函数值，不符合函数的定义，所以④不正确.故选：D.4.已知函数()223f x x x =-++，下列结论正确的是（）A.函数()f x 的减区间()(),11,3-∞-B.函数()f x 在()1,1-上单调递减C.函数()f x 在()0,1上单调递增D.函数()f x 的增区间是()1,3-【答案】C 【解析】【分析】利用图象的变换知识作出()f x 的图象，可得单调区间，进而可得答案.【详解】由2223(1)4y x x x =-++=--+，作出函数223y x x =-++的图象，利用图象的变换可得()223f x x x =-++，如图所示：所以函数()f x 在(,1)∞--和(1,3)上单调递减，在(1,1)-和(3,)+∞上单调递增.故选：C.5.已知函数()22,1,12x x f x x x +≤-⎧=⎨-<<⎩，则下列关于函数()f x 的结论错误的是（）A.()()11f f -= B.若()3f x =，则xC.()1f x <的解集为(),1-∞ D.()f x 的值域为(),4-∞【答案】C 【解析】【分析】根据题意，由分段函数的性质，代入计算，逐一判断，即可得到结果.【详解】因为()1121f -=-+=，则()()()21111ff f -===，故A 正确；当1x ≤-时，23x +=，解得1x =（舍去），当12x -<<时，23x =，解得x =x =，故B 正确；当1x ≤-时，21x +<，解得1x <-，当12x -<<时，21x <，解得11x -<<，所以()1f x <的解集为()(),11,1∞--⋃-，故C 错误；当1x ≤-时，()f x 的取值范围是(],1-∞，当12x -<<时，()f x 的取值范围是[)0,4，因此()f x 的值域为(),4∞-，故D 正确；故选：C6.已知函数()f x 的定义域和值域都是[]0,1，则函数f的定义域和值域分别为（）A.⎡⎣和[]1,0- B.⎡⎣和[]0,1C.[]1,0-和[]1,0- D.[]1,0-和[]0,1【答案】D 【解析】【分析】根据抽象函数的定义域的求法及函数值域的概念求解即可.【详解】因为函数()f x 的定义域为[]0,1，则01≤≤，即10x -≤≤，所以函数f的定义域为[]1,0-.又函数()f x 的值域为[]0,1，所以f的值域为[]0,1.故选：D.7.设函数(4),0()(4),0x x x f x x x x +≥⎧=⎨--<⎩；若()23(1)f a f a ->-，则实数a 的取值范围是（）A.(,1)(2,)-∞-⋃+∞B.(,2)(1,)-∞-+∞C.(,1)(3,)-∞-⋃+∞D.(,3)(1,)-∞-+∞ 【答案】A 【解析】【分析】作出函数图象，判断函数单调性，结合解一元二次不等式，即得答案.【详解】作出函数(4),0()(4),0x x x f x x x x +≥⎧=⎨--<⎩的图象，如图：可知函数(4),0()(4),0x x x f x x x x +≥⎧=⎨--<⎩在R 上为单调递增函数，故由()23(1)f a f a ->-可得231a a ->-，即220a a -->，解得1a <-或2a >，即实数a 的取值范围是()(),12,∞∞--⋃+,故选：A8.已知函数()f x 满足()111f x f x x ⎫⎛+=+ ⎪-⎝⎭，则()2f =（）A.34-B.34 C.32D.94【答案】D 【解析】【分析】根据题意分别令2x =、12x =和1x =-，运算求解即可.【详解】因为()111f x f x x ⎫⎛+=+⎪-⎝⎭，令2x =，可得()()213f f +-=；令12x =，可得()13222f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭；两式相加可得()()1912222f f f ⎛⎫-++=⎪⎝⎭，令1x =-，可得()1102f f ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭；则()9222f =，即()924f =.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9.设集合{}2280A x x x =--=，集合{}40B x mx =-=，若R A B ⋂=∅ð，则实数m 的值可以为（）A.2-B.1-C.0D.1【答案】ACD 【解析】【分析】由R A B ⋂=∅ð，则B A ⊆，分B =∅和B ≠∅进行讨论，从而确定m 的取值.【详解】由R A B ⋂=∅ð，则B A ⊆，又{}{}22802,4A x x x =--==-，当B =∅时，则0m =，此时符合题意；当B ≠∅时，即0m ≠，则4B x x m ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭，当42m =-，即2m =-，此时{}2B =-，B A ⊆，符合题意；当44m=，即1m =，此时{}4B =，B A ⊆，符合题意；故选：ACD.10.已知对任意的0x <，不等式()()240ax x b -+≥恒成立，则下列说法正确的是（）A.0a > B.0b <C.2a b -的最小值为8 D.1b a+的最小值为164【答案】BC 【解析】【分析】当0b ≥时，可得4a x≤对任意的0x <恒成立，无解，可得0b <，又当0a ≥，不等式20x b +≤不恒成立，从而可得04a a<⎧⎪⎨=⎪⎩AB ，进而计算可判断CD.【详解】当0b ≥时，20x b +≥恒成立，由对任意的0x <，不等式()()240ax x b -+≥恒成立，则40ax -≥对任意的0x <恒成立，所以4a x≤对任意的0x <恒成立，此时a 不存在，所以0b <，故B正确；当0b <时，作出函数4y ax =-和2y x b =+的图象的示意图如图所示，当0a ≥时，显然40ax -<恒成立，此时20x b +≤不恒成立，由对任意的0x <，不等式()()240ax x b -+≥恒成立，所以04a a<⎧⎪⎨=⎪⎩，故A 错误；所以216(0)b a a =-<，所以222168a b a a +-=≥=，当且仅当2216a a=，即2a =-时取等号，所以2a b -的最小值为8，故C 正确；211160b a a a+=-<，故D 错误.故选：BC.11.已知x ，y 均为正实数，则（）A.22xy x y +的最大值为12B.若4x y +=，则22x y +的最大值为8C.若21y x+=，则1x y +的最小值为3+D.若22x y x y +=-，则12x y x y+++的最小值为169【答案】ACD 【解析】【分析】根据题意，结合基本不等式，可判定A 、C 正确，B 错误，再由220x y x y +=->，化简得到221x y x y+=-，得出21222()1x y y yx y x x++=+-++，结合二次函数的性质，可判定D 正确.【详解】A 中，因为0,0x y >>，可得222x y xy +≥，当且仅当x y =时，等号成立，所以2212xy x y ≤+，即22xy x y +的最大值为12，所以A 正确；B 中，由4x y +=，则2222()2162(82x y x y xy x y +=+-≥⨯+-=，当且仅当x y =时，等号成立，所以22x y +的最小值为8，所以B 不正确；C 中，若21y x +=，则1122()()3(33x x y xy y y x xy +=++=++≥+=+，当且仅当2xy xy=时，即21x y ==-时，等号成立，所以C 正确；D 中，由220x y x y +=->，可得221x y x y+=-，则2222221222222()1x y x y x y x x y y y x y x y x xy y x x +++++-===+++--++，令()0,1yt x=∈，则212221x y x y t t ++=+-++，又由()221921248f t t t t ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭，所以当14t =，可得()max 19()48f t f ==，所以212162219x y x y t t ++=≥+-++，所以D 正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.函数()f x =的单调减区间是_________．【答案】(],1-∞-【解析】【分析】首先求出函数的定义域，再利用二次函数的性质以及复合函数的单调性即可求解.【详解】()f x =，则2230x x --≥，解得3x ≥或1x ≤-，所以函数的定义域为(][),13,-∞-+∞ ，令()()222314x x x x μ=--=--，所以函数()x μ的单调递减区间为 R t ，又因为y =所以()f x =(],1-∞-.故答案为：(],1-∞-13.已知函数()25,1,1x ax x f x a x x⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩满足对任意实数12x x ≠，都有()()()21210x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦成立，则实数a 的取值范围是______【答案】[]2,3【解析】【分析】由()()()21210x x f x f x ⎡⎤--<⎣⎦可知函数()f x 在定义域内单调递减，结合分段函数单调性可列不等式，进而可得解.【详解】由()()()21210x x f x f x ⎡⎤--<⎣⎦，不妨设12x x <，则210x x ->，()()210f x f x -<，则函数()f x 在R 上单调递减，当1x ≤时，()25f x x ax =-+单调递减，则12a≥，即2a ≥，当1x >时，()af x x=单调递减，则0a >，又函数()f x 在R 上单调递减，则15a a -+≥，即3a ≤，综上所述，23a ≤≤，故答案为：[]2,3.14.记{}max ,,a b c 为a ，b ，c 中最大的数.设0x >，0y >，则13max ,,y x x y ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的最小值为______.【答案】2【解析】【分析】先由13y x x y==+求出,x y 的值，再分类讨论，可得结果.【详解】由13y x x y ==+⇒122x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩.所以，当122x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩即122x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩时，13max ,,2y x x y ⎧⎫+=⎨⎩⎭；当10202x y ⎧<≤⎪⎨⎪<≤⎩即1202x y ⎧>⎪⎨⎪<<⎩时，13313max ,,222y x x x y y ⎧⎫+=+≥+=⎨⎩⎭；当12x >或2y >即102x <<或2y >时，13max ,,2y x x y ⎧⎫+>⎨⎬⎩⎭.综上可知：13max ,,y x x y ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的最小值为2，当且仅当122x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩时取“=”.故答案为：2【点睛】方法点睛：先令13y x x y ==+，求出13max ,,2y x x y ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭，估计这就是所求.为了验证这个想法，可对1x，y与2的大小关系进行分类讨论.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（1）已知()f x 是一次函数，且()()94ff x x =+，求()f x 的解析式；（2）已知函数()24212f x x x +=-.求()f x 的解析式；（3）已知函数()f x 满足()1222f x f x x ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭，求函数()y f x =的解析式.【答案】（1）()31f x x =+或()32f x x =--.（2）()243f x x x =-+，1x ≥.（3）()f x =12232x x ⎛⎫+- ⎪-⎝⎭，2x ≠.【解析】【分析】（1）用待定系数法求函数解析式.（2）用换元法求函数解析式.（3）用1x-代替x ，得到一个新的关系式，解方程组，可求()2f x -，再用换元法求()f x 的解析式.【详解】（1）因为()f x 为一次函数，可设()f x kx b =+.所以()()()()f f x f kx b k kx b b =+=++2kx bk b =++94x =+.所以294k bk b ⎧=⎨+=⎩⇒31k b =⎧⎨=⎩或32k b =-⎧⎨=-⎩.所以()31f x x =+或()32f x x =--.（2）设21x t +=，则21x t =-，1t ≥所以()()()2212143f t t t t t =---=-+，1t ≥.所以()243f x x x =-+，1x ≥.（3）由()1222f x f x x ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭①用1x -代替x ，得：()11222f f x x x ⎛⎫++-=- ⎪⎝⎭②2-⨯①②得：()232f x x x --=+即()1223f x x x ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，0x ≠.令2x t -=，则2t x -=，2t ≠.则：()12232f t t t ⎛⎫=--+ ⎪-⎝⎭12232t t ⎛⎫=+- ⎪-⎝⎭，2t ≠.所以 12232x x ⎛⎫=+- ⎪-⎝⎭，2x ≠.16.已知定义在()0,∞+的函数()f x ，()21f =，满足对(),0,x y ∀∈+∞，等式()()()f xy f x f y =+恒成立且当1x >时，()0f x >.（1）求()1f ，14f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值；（2）解关于x 的不等式：()()64f x f x +-≤.【答案】（1）()10f =，124f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（2）不等式的解集为{}68x x <≤.【解析】【分析】（1）令1x y ==求()1f ，令2x y ==求()4f ，令14,4==x y 求14f ⎛⎫ ⎪⎝⎭.（2）用定义法结合题目条件证明()f x 在()0,∞+上单调递增，把不等式等价变形，利用函数的单调性求不等式的解集.【小问1详解】令1x y ==，得()()()111f f f =+，∴()10f =.令2x y ==，得()()()422112f f f =+=+=，令14,4==x y ，得()114444f f f 骣骣琪琪´=+琪琪桫桫，即()()1144f f f 骣琪=+琪桫，∴124f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.【小问2详解】设任意的()1212,0,,x x x x ∞∈+>，则121x x >，()()()()()111122122222x x x f x f x f x f x f x f f x f x x x 骣骣骣琪琪琪-=×-=+-=琪琪琪桫桫桫，∵121x x >，∴120x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，∴()()120f x f x ->，即()()12f x f x >，∴函数()f x 在()0,∞+上单调递增.令4x y ==，得()()()16444=+=f f f ，不等式()()64f x f x +-≤可转化为()()2616f x x f -£，∴2060616x x x x >⎧⎪->⎨⎪-≤⎩，解得68x <≤，∴不等式的解集为{}68x x <≤.17.已知函数()21,1,1x ax x f x ax x ⎧-++≤=⎨>⎩，（1）若3a =，试用定义法证明：()f x 为单调递增函数；（2）若对任意的x ，都有2()2f x x >-，求实数a 的取值范围．【答案】（1）证明见解析（2）(2,2)-．【解析】【分析】（1）根据函数单调性的定义，分区间讨论即可得证；（2）由二次不等式的恒成立，列出不等式式组得解.【小问1详解】证明：当3a =时，()231,13,1x x x f x x x ⎧-++≤=⎨>⎩，当121x x <≤时，()()()()()2212112212121231313f x f x x x x x x x x x x x -=-+++--=-+-+-1212()[3()]x x x x =--+，由于121x x <≤，则120x x -<，122x x +<，123()0x x -+>，则1212()[3()]0x x x x --+<，12()()0f x f x ∴-<，即12()()f x f x <；当121x x ≤<时，()()212112313f x f x x x x -=-++-，由于121x x ≤<，则211313x x -++≤，则()21122231333310x x x x x -++-≤-=-<，12()()0f x f x ∴-<，即12()()f x f x <；当121x x <<时，121212()()333()f x f x x x x x -=-=-，由于121x x <<，则120x x -<，()1212()()30f x f x x x ∴-=-<，即12()()f x f x <；综上，()f x 为单调递增函数；【小问2详解】①当1x ≤时，2()2f x x >-恒成立，即210x ax ++>恒成立，∴12110a a ⎧-≥⎪⎨⎪++>⎩或21240a a ⎧-<⎪⎨⎪=-<⎩ ，解得22a -<<；②当1x >时，2()2f x x >-恒成立，即220x ax +>恒成立，即2a x >-在(1,)+∞上恒成立，则2a ≥-；综上，实数a 的取值范围为(2,2)-．18.两县城A 和B 相距20km ，现计划在县城外以AB 为直径的半圆弧 AB (不含AB 两点)上选择一点C 建造垃圾处理站，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，垃圾处理厂对城A 的影响度与所选地点到城A 的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B 的影响度与所选地点到城B 的距离的平方成反比，比例系数为K ，对城市A 和城市B 的总影响度为城市A 和城市B 的影响度之和，记C 点到城市A 的距离为x ，建在C 处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度为y ，统计调查表明：当垃圾处理厂建在 AB 的中点时，对城A 和城B 的总影响度为0.065.（1）将y 表示成x 的函数；（2）判断弧 AB 上是否存在一点，使得建在此处的垃圾处理厂对城市A 和城B 的总信影响度最小？若存在，求出该点到城A 的距离；若不存在，说明理由.【答案】（1）2249(020)400y x x x =+<<-（2）存在，该点到城A的距离为.【解析】【分析】（1）由AC BC ⊥，得22400BC x =-，由题意得224(020)400K y x x x=+<<-，再录垃圾处理厂建在 AB 的中点时，对城A 和城B 的总影响度为0.065，求出K ，即可得解；（2）由（1）知2249400y x x =+-，令2320(320,720)t x =+∈，换元得251040720320t y t t =-+-⨯，利用基本不等式求最值即可.【详解】（1）由AB 为直径，得AC BC ⊥，22400BC x ∴=-由已知得224(020)400K y x x x =+<<-又当垃圾处理厂建在 AB 的中点时，对城A 和城B 的总影响度为0.065，即x =，0.065y =，代入上式得40.065200400200K =+-，解得9K =所以y 表示成x 的函数为：2249(020)400y x x x =+<<-（2）222242222495(320)5(320)400400(320)1040(320)720320x x y x x x x x x ++=+==--+-+++-⨯令2320(320,720)t x =+∈则25572032010407203201040t y t t t t ==⨯-+-⨯⎛⎫-++ ⎪⎝⎭又720320960t t ⨯+≥，当且仅当720320t t ⨯=，即480t =，等号成立，所以51960104016y ≥=-+，当x =时，等号成立.所以弧 AB 上存在一点，该点到城A的距离为时，建在此处的垃圾处理厂对城市A 和城B 的总信影响度最小为116.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.19.已知集合{}()122k A a a a k =≥ ,,，其中()Z 1,2,i a i k ∈= ，由A 中元素可构成两个点集P 和Q ：(){},,,P x y x A y A x y A =∈∈+∈，(){},,,Q x y x A y A x y A =∈∈-∈，其中P 中有m 个元素，Q 中有n 个元素.新定义1个性质G ：若对任意的x A ∈，必有x A -∉，则称集合A 具有性质G（1）已知集合{}0,1,2,3J =}与集合{}1,2,3K =-和集合{}222L y y x x ==-+，判断它们是否具有性质G ，若有，则直接写出其对应的集合P ，Q ；若无，请说明理由;（2）集合A 具有性质G ，若2024k =，求：集合Q 最多有几个元素？（3）试判断：集合A 具有性质G 是m n =的什么条件并证明.【答案】（1）集合,J L 不具有性质G ；集合K 具有性质G ，对应集合()(){}1,3,3,1P =--，()(){}2,1,2,3Q =-；（2）2047276；（3）充分不必要条件.【解析】【分析】（1）根据定义做出判断，直接写出集合P ，Q .（2）利用定义，探讨出k 与n 的关系式，代入求值.（3）利用充分条件、必要条件的定义，结合集合P 与Q 集合个数的大小关系，推理得证.【小问1详解】①集合0J ∈，不符合定义故J 不具有性质G ；②集合K 具有性质G ，对应集合()(){}1,3,3,1P =--，()(){}2,1,2,3Q =-；③集合L 不是整数集所以不具有性质G .【小问2详解】由题意可知集合A 的元素构成有序数对(),i ja a ()*,N ,,i j i k j k ∈≤≤，共有2k 个，∵0A ∉，∴(),i i a a Q∉又∵a A ∈时，a A -∉，∴(),i j a a Q ∈时候，(),j i a a Q ∉，∴集合Q 的元素个数不超过220472762k k -=个，取{}1,2,,2024A = ，则Q 中元素的个数为2047276个，故Q 中元素的个数最多2047276.故答案为：2047276【小问3详解】1）当集合A 具有性质G 时，①对于(),a b P ∈，根据定义可知：,,a A b A a b A ∈∈+∈，又因为集合A 具有性质G ，则(),a b a Q +∈，如果(),a b ，(),c d 是P 中的不同元素，那么a c =，b d =中至少有一个不成立，于是b d =，a b c d +=+中至少有一个不成立，故(),a b b +和(),c d d +也是Q 中不同的元素，可见P 的元素个数不多于Q 的元素个数，即m n ≤，②对于(),a b Q ∈，根据定义可知：,,a A b A a b A ∈∈-∈，又因为集合A 具有性质G ，则(),a b b P -∈，如果(),a b ，(),c d 是Q 中的不同元素，那么a c =，b d =中至少有一个不成立，于是b d =，a b c d -=-中至少有一个不成立，故(),a b b -和(),c d d -也是P 中不同的元素，可见Q 的元素个数不多于P 的元素个数，即m n ≤，由①②可知m n=2）集合{1,1,2,3}A =-，则{(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(1,1),(1,2),(2,1)}P =----，{(1,2),(2,3),(2,1),(3,2),(1,1),(3,1),(2,1)}Q =--，满足m n =，而集合A 不具有性质G ，所以集合A 具有性质G 是m n =的充分不必要条件.。
河南省郑州市郑州外国语学校2023-2024学年高一上学期第二次月考数学试卷 -参考答案
郑州外国语学校2023-2024学年高一上期月考2试卷数学一、选择题BCBBDDAB BC ABC AD ACD 二、填空题13．3(1,)214．56π．15．[0a ∈，4)．16．(2，257]16．17．【解答】解：（1）因为3sin()cos()tan()22()cos(3)sin()x x x f x x x πππππ-+-=-+cos sin (tan )(cos )(sin )x x x x x -=--tan x =-；————————4分（2）因为()tan 3f αα=-=，所以tan 3α=-，所以sin 2cos tan 23212sin cos 2tan 12(3)17αααααα++-+===--⨯--；————————6分2222sin cos tan 33sin cos 1(3)110sin cos tan αααααααα-====-++-+．————————8分18．【解答】解：（1）当1a =时，2()56f x x x =-+令2()56(2)(3)0f x x x x x =-+=--=，得2x =或3x =，所以()f x 的零点为2和3．————————2分（2）当0a =时，则()360f x x =-+>，得2x <，————————3分当0a >时，3()(2)f x a x x a =--，————————4分当32a >，即302a <<时，()0f x >的解为2x <或3x a >；——————5分当32a =即32a =时，()0f x >的解为2x ≠；————————6分当32a <即32a >时，()0f x >的解为3x a<或2x >；————————7分综上所述，当0a =时，()0f x >的解集为{|2}x x <；当32a >，即302a <<，()0f x >的解集为{|2x x <或3]x a>；当32a =时，()0f x >的解集为{|2}x x ≠；当32a <，即32a >时，()0f x >的解集为3{|x x a <或2}x >．——————8分19．【解答】解：（1）令222,232k x k k Z πππππ-+++∈ ，解得5,1212k x k k Z ππππ-++∈ ．故()f x 的单调递增区间为5[,],1212k k k Z ππππ-++∈．————————4分（2）因为[x m ∈，0]，所以2[2,]333x m πππ+∈+．画出2sin y x =在[2π-，]π的图象如图所示：—————————8分所以42332m πππ-+- ，解得55612m ππ-- ．故m 的取值范围为55[,612ππ--．————————10分20．【解答】解：（1）由题意知，2log (21)log x kx -+--2(21)0x kx +-=，即222212log (21)log (21)log 21x x xx kx x --+=+-+==-+，所以12k =-，故21()log (21)2x f x x =+-．————————2分（2）由（1）知，21()()log (21)2x g x f x x x =+=++，所以()g x 在R 上单调递增，所以不等式(421)(3)x x g a g -⋅+>-恒成立等价于4213x x a -⋅+>-，即442x xa +<恒成立，设2xt =，则0t >，2444442x x t t t t ++==+ ，当且仅当2t =，即1x =时取等号，所以4a <，所以实数a 的取值范围是(,4)-∞．———————————6分（3）因为对任意的1[0x ∈，3]，存在2[1x ∈，3]，使得12()()g x h x ，所以()g x 在[0，3]上的最小值不小于()h x 在[1，3]上的最小值，因为21()log (21)2x g x x =++在[0，3]上单调递增，所以当[0x ∈，3]时，()(0)1min g x g ==，2()21h x x mx =-+的对称轴为x m =，[1x ∈，3]，当1m 时，()h x 在[1，3]上单调递增，所以()min h x h =（1）221m =- ，解得12m ，所以112m ，当13m <<时，()h x 在[1，)m 上单调递减，在[m ，3]上单调递增，2()()11min h x h m m ==- ，解得m R ∈，所以13m <<，当3m 时，()h x 在[1，3]上单调递减，所以()min h x h =（3）1061m =- ，解得32m ，所以3m ，综上可知，实数m 的取值范围是[2)+∞．————————10分。
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高一年级上学期第二次月考数学试题卷时间：120分 总分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设集合，．若，则（ ）{}1,2,4A ={}240x x x m B =-+={}1A B = B =A ．B ．C ．D ．{}1,3-{}1,0{}1,3{}1,52. 函数的定义域为（ ）()f x =A ．（-1,2）B ． C. D ．[1,0)(0,2)- (1,0)(0,2]- (1,2]-3. 函数是奇函数，且其定义域为，则（ ）3()2f x ax bx a b =++-[34,]a a -()f a =A ． B ． C ． D ．43214.已知直线，则该直线的倾斜角为( )20x -=A ．30° B ．60°C ．120°D ．150°5. 已知两直线和 ，若且在轴上的截距1:80l mx y n ++=2:210l x my +-=12l l ⊥1l y 为-1，则的值分别为( ),m n A ．2，7 B ．0，8 C ．－1，2 D ．0，－86.已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为 ( )A ． 322πB ．324πC ． π24D ．π）（424+7. 设为平面，为两条不同的直线，则下列叙述正确的是（ ）αβ，,a b A ． B ．//,//,//a b a b αα若则//,,a a b b αα⊥⊥若则C ．D ．//,,,//a b a bαβαβ⊂⊂若则,//,a a b b αα⊥⊥若则8.直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1，则异面直线BA 1与AC 1所成的角等于（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°9.若函数的两个零点分别在区间和上，则()()()2221f x m x mx m =-+++()1,0-()1,2的取值范围是（ ）m A. B. C. D.11,24⎛⎫- ⎪⎝⎭11,42⎛⎫- ⎪⎝⎭11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦10. 一个机器零件的三视图如图所示，其中侧视图是一个半圆与边长为的正方形，俯视2图是一个半圆内切于边长为的正方形，则该机器零件的体积为（ ）2A ． B ．34π+38π+C. D ．π384+π388+11. 如图，等边三角形ABC 的中线AF 与中位线DE 相交于G ，已知△A ′ED 是△AED 绕DE 旋转过程中的一个图形，下列命题中错误的是（ ）A ．恒有DE ⊥A ′FB ．异面直线A ′E 与BD 不可能垂直C ．恒有平面A ′GF ⊥平面BCEDD ．动点A ′在平面ABC 上的射影在线段AF 上12. 设函数的定义域为D ，若函数满足条件：存在，使得在()f x ()f x [],a b D ⊆()f x 上的值域为，则称为“倍缩函数”.若函数为“倍[],a b ,22a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦()f x ()()2log 2x f x t =+缩函数”，则的取值范围是（ ）t A. B. C. D.10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()0,110,2⎛⎤⎥⎝⎦二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13. 设，则的值为 .⎩⎨⎧≥-<=-2),1(log ,2,2)(231x x x e x f x ))2((f f 14. 用一个平行于正棱锥底面的平面截这个正棱锥,截得的正棱台上、下底面面积之比为1:9,截去的棱锥的高是2cm,则正棱台的高是 cm.15.如图，正方体中，交于，为线段上的一个动点，1111D C B A ABCD -AC BD O E 11D B 则下列结论中正确的有_______．①AC ⊥平面OBE②三棱锥E -ABC的体积为定值③B 1E ∥平面ABD ④B 1E ⊥BC 116. 已知函数若存在实数，满足32log ,03,()1108,3,33x x f x x x x ⎧<<⎪=⎨-+≥⎪⎩,,,a b c d ，其中，则的取值范围为 ．()()()()f a f b f c f d ===0d c b a >>>>abcd 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.(本小题满分10分) 已知全集 ，，.UR =1242x A x⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭{}3log 2B x x =≤（1）求 ； A B （2）求.()U C A B 18. (本小题满分12分)(1)已知直线过点，且与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积是4，求直线的l (1,2)A l 方程．(2)求经过直线与的交点．且平行于直线1:2350l x y +-=2:71510l x y ++=的直线方程．230x y +-=19.(本小题满分12分)已知直线，．1:310l ax y ++=2:(2)0l x a y a +-+=（1）当l 1//l 2，求实数的值；a （2）直线l 2恒过定点M ，若M 到直线的距离为2，求实数的值．1l a20. (本小题满分12分) 如图，△中，，四边形是边长ABC AC BC AB ==ABED 为的正方形，平面⊥平面，若分别是的中点．a ABED ABC G F 、EC BD 、(1)求证：；//GF ABC 平面(2) BD EBC 求与平面所成角的大小21. (本小题满分12分) 如图，在四棱锥中，平面，底面ABCD P -⊥PD ABCD 是平行四边形，，为与ABCD BD AD PD AB BAD ====∠，，，3260 O AC 的交点，为棱上一点.BD E PB（1）证明：平面平面；⊥EAC PBD （2）若，求二面角的大小.EB PE 2=B AC E --22. (本小题满分12分) 对于函数与，记集合.()f x ()g x {}()()f g D x f x g x >=>（1）设，求集合；()2,()3f x x g x x ==+f g D >（2）设，若，求实数121()1,()(31,()03xx f x x f x a h x =-=+⋅+=12f h f h D D R >>⋃=的取值范围.a答案一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)C C B A B CD C C A B A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13. 2 14. 415. ①②③ 16.（21，24）三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.(本小题满分10分)解： ， B {}12A x x =-<<{}09B x x =<≤·······················4分（1） ····································································6分{}02A B x x =<< （2） ，或 .·····10分{}19A B x x =-<≤ (){1U C A B x x =≤- 9}x >18. (本小题满分12分)(1)解析：解法一 设l ：y －2＝k (x －1)(k <0)，令x ＝0，y ＝2－k .令y ＝0，x ＝1－，2k S ＝(2－k )＝4，12(1－2k )即k 2＋4k ＋4＝0.∴k ＝－2，∴l ：y －2＝－2(x －1)，即l ：2x ＋y －4＝0.···················6分解法二 设l ：＋＝1(a >0，b >0)，x a yb 则{12ab ＝4，1a＋2b＝1.)a 2－4a ＋4＝0⇒a ＝2，∴b ＝4.直线l ：＋＝1.x 2y4∴l ：2x ＋y －4＝0.(2)联立，解得．设平行于直线 x +2y ﹣3=0的直线方程为 x +2y +n=0．把代入上述方程可得：n=﹣．∴要求的直线方程为：9x +18y ﹣4=0．···········12分19.(本小题满分12分)(1)a=3,或a=-1(舍)··························4分(2)M(-2,-1)···································8分得a=4··················12分2=20. (本小题满分12分)(1)证明： 连接EA 交BD 于F ，∵F 是正方形ABED 对角线BD 的中点，∴F 是EA 的中点，∴FG ∥AC .又FG ⊄平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，∴FG ∥平面ABC .··················6分(2)∵平面ABED ⊥平面ABC ，BE ⊥AB ，∴BE ⊥平面ABC .∴BE ⊥AC .又∵AC ＝BC ＝AB ，22∴BC ⊥AC ，又∵BE ∩BC ＝B ，∴AC ⊥平面EBC .由(1)知，FG ∥AC ，∴FG ⊥平面EBC ，∴∠FBG 就是线BD 与平面EBC 所成的角．又BF ＝BD ＝，FG ＝AC ＝，sin ∠FBG ＝＝.122a 2122a 4FG BF 12∴∠FBG ＝30°.························12分21. (本小题满分12分)解：（1）∵平面，平面，∴.⊥PD ABCD ⊂AC ABCD PD AC ⊥∵，∴为正三角形，四边形是菱形，60,=∠=BAD BD AD ABD ∆ABCD ∴，又，∴平面，BD AC ⊥D BD PD = ⊥AC PBD 而平面，∴平面平面.·········································6分⊂AC EAC ⊥EAC PBD （2）如图，连接，又（1）可知，又，OE AC EO ⊥BD ⊥AC∴即为二面角的平面角，EOB ∠B AC E --过作，交于点，则，E PD EH ∥BD H BD EH ⊥又，31,33,3,2,2=====OH EH PD AB EB PE 在中，，∴，EHO RT ∆3tan ==∠OHEHEOH 60=∠EOH 即二面角的大小为.·································································12分B AC E --6022. (本小题满分12分)解：（1） 当得； ······················2分0≥x 3,32>∴+>x x x当 ················4分1320-<∴+>-<x x x x ，时，得··············5分()()∞+⋃-∞-=∴>，31,g f D(2) ······· 7分()⎭⎬⎫⎩⎨⎧>+⋅+=∞+=>>013)31(,121xxh f h f a x D D ， ，R D D h f h f =⋃>>21 ∴(]1,2∞-⊇>h f D 即不等式在恒成立 (9)01331>+⋅+xxa （1≤x 分时，恒成立，∴1≤x ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛->x x a )31(91在时最大值为，··················11分⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=x x y 31()91( 1≤x 94-故 ·············12分94->a。
2024学年菏泽市鄄城一中高一数学上学期12月考试卷及答案解析
鄄城一中高一上学期第二次月考数学全卷满分150分，考试时间100分钟．注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．选择题用2B 铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚．4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交．5．本卷主要考查内容：必修第一册第四章．一、选择题：本题共8小题，每小题6分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设集合{}lg 0M x x =<，则R M =ð（ ）A. (0,1)B. (1,)+∞ C. (,0]-∞ D. (,0][1,)-∞+∞ 【答案】D 【解析】【分析】由对数函数的单调性求解不等式，利用补集运算，可得签答案.【详解】由lg 0x <，得01x <<，则R (,0][1,)M =-∞+∞ ð．故选：D.2. 已知定义在R 上的函数()f x 的图象是连续不断的，且有如下对应值表：则函数()f x 一定存在零点的区间是（ ）A. (,1)-∞ B. (1,2)C. (2,3)D. (3,)+∞【解析】【分析】由题意，根据零点的存在性定理直接得出结果.【详解】因为(1)0,(2)0f f ><，则(1)(2)0f f <，又函数()f x 的图象是连续不断的，所以()f x 在区间(1,2)上一定存在零点．故选：B3. 下列函数中，是奇函数且在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ）A. 4x y = B. ||y x = C. 2y x=-D. 3log y x=【答案】C 【解析】【分析】由指数函数、对数函数与绝对值函数的性质，结合反比例函数的奇偶性与单调性，可得答案.【详解】指数函数4x y =，对数函数3log y x =不是奇函数，所以A 、D 选项不正确；函数||y x =在(0,)+∞上为增函数且为偶函数，所以B 选项不正确；2y x=-为奇函数，且在(0,)+∞上是增函数，所以C 法项正确．故选：C.4. 函数3e e ()x xf x x -+=的图象大致是（ ）A. B.C. D.【答案】D【分析】利用奇偶函数的定义判断函数的奇偶性，结合赋值法即可判断.【详解】函数()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，33e e e e ()()()x x x xf x f x x x --++-==-=--．所以函数()f x 是奇函数，排除BC ；当0x >时，3e e ()0x xf x x-+=>，排除A ．故选：D5. 设130.20.22, 1.5,0.83a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则（ ）A. a b c <<B. c a b <<C. b c a <<D. a c b<<【答案】A 【解析】【分析】由指数幂的运算，利用指数函数与幂函数的单调性，可得答案.【详解】因为0.20.20.2321.523b --⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且23xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，所以10.23<，所以10.232233⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以b a >，因为0.2y x=在(0,)+∞上单调递增，由20.83>，可得0.20.220.83⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以c b >，故a b c <<．故选：A ．6. 若函数()22x x f x a x -=+⋅-为R 上的奇函数，则实数a 的值为（ ）A. 1- B. 2- C. 1D. 2【答案】A 【解析】【分析】根据奇函数的定义求解即可.【详解】由题意，(0)10f a =+=，得1a =-，此时()22x x f x x --=-，定义域为R ，则()()22xx f x x f x --=-+=-，则函数()f x 为R 上的奇函数，所以1a =-.故选：A.7. 函数22()log (2)log (4)f x x x =⋅的最小值为（ ）A. 1 B.13C. 12-D. 14-【答案】D 【解析】【分析】根据对数的运算性质和二次函数的图象与性质计算即可求解.【详解】()()()2222222311()log 1log 2log 3log 2log 244f x x x x x x ⎛⎫=++=++=+-≥- ⎪⎝⎭．当23log 2x =-，即322x -=时，()f x 取到最小值14-故选：D8. 已知函数log ,04,()(3)1022,4a x x f x a x a x <<⎧=⎨-+-≥⎩是(0,)+∞上的增函数（其中0a >且1a ≠），则实数a 的取值范围为（ ）A. (1,2)B. [2,C. (1,3)D. [2,3)【答案】D 【解析】【分析】根据对数函数以及一次函数的单调性可得13a <<，结合衔接处的函数值关系可得6log 4100a a --≥，构造函数，根据ln 4()610ln g x x x=--的单调性即可求解.【详解】由题意必有1,30,a a >⎧⎨->⎩可得13a <<，又log 44(3)1022a a a ≤-+-，整理为6log 4100a a --≥．令()6log 410(13)x g x x x =--<<，有ln 4()610ln g x x x =--，由函数1(1)ln y x x=->为增函数，可得函数()g x 为增函数，又由ln 4(2)12100ln 2g =--=，可得不等式6log 4100a a --≥中a 的取值范围为2a ≥，由上知，实数a 的取值范围为23a ≤<．故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 某商场在销售空调旺季的4天内的利润如下表所示：时间（天）1234利润（万元）23.988.0115.99则下列函数中不符合销售这种空调的函数模型的是（ ）A. 2log y x =B. 2xy = C. y =D. 2y x=【答案】ACD 【解析】【分析】把1,2,3,4x =代入每一个选项，逐一与题目中的数据对比，可得答案.【详解】对于A ，把1,2,3,4x =代入2log y x =，可得下表：x 12342log y x=012log 32对于B ，把1,2,3,4x =代入2xy =，可得下表：x12342xy =24816对于C ，把1,2,3,4x =代入y =，可得下表：对于D ，把1,2,3,4x =代入2y x =，可得下表：x12342y x=2468显然只有2xy =值最接近表格中的对应的值，故A ，C ，D 符合题意．故选：ACD.10.已知指数函数()x f x a =在[1,1]-上的最大值与最小值之差为2，则实数a 的值为（ ）A.B.1- C.D.1+【答案】BD 【解析】【分析】分1a >和01a <<两种情况，根据题意列方程求解即可.【详解】当1a >时，函数()x f x a =在[1,1]-上单调递增，则max min 1()(1),()(1)fx f a f x f a===-=，所以12a a-=，解得1a =+；当01a <<时，函数()x f x a =在[1,1]-上单调递减，则max min 1()(1),()(1)f xf f x f a a=-===，所以12a a-=，解得1a =-．综上所述，实数a 1-1.故选：BD.11. 已知函数222||()log 2x f x x =+，则下列说法正确的是（ ）A. ()f x 图象关于y 轴对称 B. ()f x 在区间(0,)+∞上单调递增C. ()f x 的最大值为12- D. ()f x 无最大值【答案】AC的的【分析】根据奇偶函数的定义判断A ；根据对数函数的单调性比大小即可判断B ；根据偶函数的性质，结合基本不等式计算即可判断CD.【详解】因为()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，又22222||2||()log log ()()22x x f x f x x x --===-++，所以()f x 是偶函数，图象关于y 轴对称，故A 正确；因为2222(2)log ,log log 3f f ===，又23<(2)f f <，故B 错误；因为()f x 是偶函数，所以()f x 的最大值即为()f x 在(0,)+∞上的最大值．当(0,)x ∈+∞时，12222||222222x x x x x x-==≤=+++，当且仅当2x x =时等号成立，所以12max 21()log 22f x -==-，故C 正确，D 错误.故选：AC ．三、填空题：本题共3小题，每小题6分，共18分．12. 2log 8+=_______．【答案】112【解析】【分析】根据对数运算，可得答案.【详解】6222111log 8log log 21622=-+=-+=．故答案为：112.13. 函数1|24|()5x f x -+=的单调递增区间为_______．【答案】(,2]-∞-【分析】根据指数函数以及绝对值函数的单调性，结合复合函数单调性原则即可求解.【详解】因为()f x 的定义域为R ，设23,2()12425,2x x u g x x x x -->-⎧==-+=⎨+≤-⎩，则()g x 在(2,)-+∞上单调递减，在(,2]-∞-上单调递增．因为5x y =在R 上单调递增，所以()f x 的单调递增区间为(,2]-∞-．故答案为：(,2]-∞-14. 已知函数()()2|ln 1,1,21,1,x x f x x x x ⎧-=⎨++≤⎩若关于x 的方程()(1)f x m m =≠有4个解，分别为1234,,,x x x x ，其中1234x x x x <<<，则3411x x +=_______，12341111x x x x +++的取值范围是______【答案】 ①. 1 ②. 5(,1),3∞∞⎡⎫--⋃+⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】作出图形，则04m <≤，结合一元二次方程和对数方程的解法分别求出12341111x x x x ++、即可.【详解】由1234x x x x <<<，画出图象可知，04m <≤，当1x ≤时，2221210x x m x x m ++=⇒++-=，得12122,1x x x x m +=-=-，所以1212121122(,2),13x x x x x x m ∞∞+-⎡⎫+==∈--⋃+⎪⎢-⎣⎭.当1x >时，()()()()3434ln 1ln 1ln 1ln 1x x x x -=-⇒-=--，得()()34111x x --=，整理得34111x x +=，所以12341111x x x x +++的取值范围是5(,1),3∞∞⎡⎫--⋃+⎪⎢⎣⎭．故答案为：1；5(,1),3∞∞⎡⎫--⋃+⎪⎢⎣⎭四、解答题：本题共4小题，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15. 已知函数(),222,2xx x f x x ⎧≤=⎨->⎩（1）在平面直角坐标系中，画出函数()f x 的简图；（2）根据函数()f x 的图象，写出函数()f x 的单调区间；（3）若()6f t =，求实数t 的值．【答案】（1）答案见解析（2）增区间为[0,)+∞，减区间为(,0)-∞ （3）6-或3【解析】【分析】（1）根据题中分段函数解析式作图即可；（2）根据图象直接得出单调区间；（3）可知(6)6,(3)6f f -==，结合单调性即可得结果.【小问1详解】函数()f x 的简图如下：【小问2详解】由图可知，函数()f x 的增区间为[0,)+∞，减区间为(,0)-∞；【小问3详解】因为(6)6,(3)6f f -==，且函数()f x 的增区间为[0,)+∞，减区间为(,0)-∞，若()6f t =，则实数t 的值为6-或3.16 已知函数()()()1144log 6log 6f x x x =--+.（1）判断函数()f x 的奇偶性；（2）判断函数()f x 的单调性；（3）若()()215f k f k +<-，求实数k 的取值范围.【答案】（1）奇函数 （2）()f x 在(6,6)-上单调递增 （3）413k -<<【解析】【分析】（1）求出函数定义域，根据函数奇偶性的定义，即可判断出函数的奇偶性；（2）将()f x 变形为()1412log 16f x x ⎛⎫=-+⎪+⎝⎭，根据复合函数的单调性的判断方法，即可判断出答案；（3）根据函数的单调性，可列出不等式组，即可求得答案.【小问1详解】由题意得函数定义域为(6,6)-，关于原点对称，则()()()()()()11114444log 6log 6log 6log 6f x x x x x f x ⎡⎤-=+--=---+=-⎢⎥⎣⎦，故函数()f x 奇函数；【小问2详解】由于()()()1114446log 6log 6log 6x f x x x x -=--+=+1412log 16x ⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭，由于函数1216y x=-++在(6,6)-上单调递减，而14log y x =在(0),+∞上单调递减，故()f x 在(6,6)-上单调递增；【小问3详解】因为()f x 在(6,6)-上单调递增，.为故()()215f k f k +<-成立，需满足6216656215k k k k -<+<⎧⎪-<-<⎨⎪+<-⎩，解得413k -<<.17. 某保健厂研制了一种足浴气血生机的足疗盆，具体原理是：在足浴盆右侧离中心()018x x <<厘米处安装臭氧发生孔，产生的臭氧对双脚起保健作用.根据检测发现，该臭氧发生孔工作时会对泡脚的舒适程度起到干扰作用，已知臭氧发生孔工作时，对左脚的干扰度与2x 成反比，比例系数为2；对右脚的干扰度与21350x -成反比，比例系数为k ，且当10x =时，对左脚和右脚的干扰度之和为0.06.（1）求臭氧发生孔工作时对左脚和右脚的干扰度之和y 关于x 的表达式；（2）求臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和的最小值，并求此时x 的值.【答案】（1）222501350y x x=+-，018x << （2）当15x =时，臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和的最小，为475.【解析】【分析】（1）由题意2221350k y x x=+-，把10x =，0.06y =代入，可求k 的值.（2）利用基本不等式“1”的妙用，可求y 的最小值及对应的x 的值.【小问1详解】由题意2221350k y x x=+-，018x <<，因为10x =时，0.06y =，所以20.061001350100k +=-⇒50k =，所以222501350y x x =+-，018x <<.【小问2详解】因为018x <<，所以213500x ->，所以222501350y x x =+-()22221250135013501350x x x x ⎛⎫⎡⎤=+-+ ⎪⎣⎦-⎝⎭()22222135015025013501350x x x x ⎡⎤-⎢⎥=+++-⎢⎥⎣⎦1521350⎡⎢≥+⎢⎣()145220135075=+=，当且仅当()222221350501350x x x x -=-，即15x =时取“=”，所以当15x =时，臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和的最小，为475.18. 已知函数()91x f x =-，()31xg x a =-.（1）若函数()()()h x f x g x =-有两个零点，求实数a 的取值范围；（2）当R x ∈时，不等式()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围；（3）当0a >时，求函数()()()x f x g x ϕ=+在区间[]1,1-上的最值.【答案】（1）(1,2)(2,)⋃+∞；（2）(,2]-∞-；（3）最大值为28a +，最小值为0【解析】【分析】（1）由()()3131x x h x a =-⋅+-，易知0x =是函数()h x 的一个零点，可知31=-x a ()0x ≠有解，进而可求出a 的范围；（2）原不等式可化为()()313131+-≥-x x x a ，分0x =，0x >和0x <两种情况，分别讨论，可求出实数a 的取值范围；（3）()9131=-+-x x x a ϕ，当01x ≤≤时，令3(13)x t t =≤≤，可将()ϕx 转化为二次函数，可求出最大值与最小值；当10x -≤<时，令1313x k k ⎛⎫=≤< ⎪⎝⎭，可将()ϕx 转化为二次函数，进而可求()ϕx 的取值范围，综合两种情况，可求得()ϕx 的最大值与最小值.【详解】（1）由()()()()3131313131=+---=-⋅+-x x x x x h x a a ，由(0)0h =，可知0x =是函数()h x 的一个零点，若函数()f x 有两个零点，只需要31=-x a （0x ≠）有解，因为30x>，所以1011a a ->⎧⎨-≠⎩，可得1a >且2a ≠.故若函数()h x 有两个零点，则实数a 的取值范围为(1,2)(2,)⋃+∞.（2）若不等式()()f x g x ≥恒成立，有9131-≥-x x a ，可化为()()313131+-≥-x x x a .①当0x =时，显然原不等式恒成立；②当0x >时，31x >，原不等式可化为31+≥x a ，因为312x +>，所以2a ≤；③当0x <时，031x <<，原不等式可化为31--≥x a ，因为2311x -<--<-，所以2a ≤-.由上知，当x ∈R 时，不等式()()f x g x ≥恒成立，则实数a 的取值范围为(,2]-∞-.（3）()9131=-+-x x x a ϕ，①当01x ≤≤时，令3(13)x t t =≤≤，则()ϕx 可化为()221(1)1y t a t t at a =-+-=+--，令2()1=+--t t at a μ(13)t ≤≤，二次函数()t μ的对称轴为2a t =-，故()t μ在区间[1,3]上单调递增，可得()ϕx 的最小值为(1)110a a μ=+--=，()ϕx 的最大值为(3)93128a a a μ=+--=+；②当10x -≤<时，令1313x k k ⎛⎫=≤< ⎪⎝⎭，则()ϕx 可化为()221(1)1y k a k k ak a =--+-=--++，令21()113k k ak a k σ⎛⎫=--++≤< ⎪⎝⎭，二次函数()k σ的对称轴为02=-<a k ，故函数()k σ在区间1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭单调递减，由211128()133339a a a σ⎛⎫=--++=+ ⎪⎝⎭，(1)110a a σ=--++=，得280()39k a σ<≤+.因为282839+>+a a ，所以函数()ϕx 在[1,1]-上的最大值为28a +，最小值为0．【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：的（1）直接法：直接求解方程得到方程根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.。
新人教A版高一上学期数学第二次月考试卷(附答案解析)
新人教A版高一上学期数学第二次月考试卷(附答案解析)一、选择题1. 以下哪个是二次函数的图像？A. B. C. D. 答案：B解析：二次函数的图像是一个开口向上或向下的抛物线。
从给定的四个图像中，只有图像B符合这一特征。
2. 若二次函数  的图像经过点(2, 5)，则a的值为多少？A. -2B. -1C. 1D. 2答案：D解析：将点(2, 5)代入二次函数的公式中，得到5 = 4a + 4b + c。
根据这个方程，计算出a的值为2。
3. 函数  的图像的对称轴方程是？A. x = 2B. x = -2C. x = -1D. x = 1答案：A解析：对称轴方程可以通过将二次函数的公式转化为标准形式来得到。
对于给定的函数，可以将其变为 y = a(x-h)^2 + k 的形式，其中(h, k)是对称轴上的点。
通过比较得到的标准形式与给定函数的公式，可以求得对称轴方程为 x = 2。
4. 已知二次函数 ，则函数的最值是？A. 最大值为4，最小值为-1B. 最大值为-1，最小值为4C. 最大值为4，最小值为2D. 最大值为2，最小值为4答案：A解析：二次函数的最值与抛物线的开口方向有关。
对于给定的函数，其抛物线开口向上，因此最小值为-1，最大值为4。
5. 函数  的解集是？A. {-1, 2}B. {-1, 1}C. {-2, 1}D. {-2, 2}答案：C解析：要求函数的解集，即解方程 a(x-1)^2 + 2 = 0。
经过计算可得 x 的解集为 {-2, 1}。
黑龙江省哈尔滨市宾县第二中学2022-2023学年高一上学期第二次月考数学试题(含答案)
宾县第二中学2022-2023学年度上学期第二次月考高一数学试卷注意事项：1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息；2. 请将答案规范填写在答题卡上。
一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 集合{}14A x x =-<≤，{}1,1,3B =-，则A B 等于（ ） A. {}1,1,3- B. {}1,3 C. {}0,1,2,3,4D. (]1,4- 2. “02x <<”成立是“2x <”成立的（ ）条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要3. 设全集U 是实数集R ，{}3M x x =≥，{}25N x x =≤≤都是U 的子集（如图所示），则阴影部分所表示的集合为（ ）A. {}23x x <<B. {}23x x ≤<C. {}23x x <≤D. {}25x x ≤≤ 4. 设2(2)7M a a =-+，(2)(3)N a a =--，则M 与N 的大小关系是（ ）A. M N >B. M N =C. M N <D. 无法确定5. 命题“1x ∀>，20x x ->”的否定为（ ）A. 1x ∀>，20x x -≤B. 1x ∃>，20x x -≤C. 1x ∀≤，20x x -≤D. 1x ∃≤，20x x -≤6. 无论x 取何值时，不等式2240x kx -+>恒成立，则k 的取值范围是（ ）A. (),2-∞-B. (),4-∞-C. ()4,4-D. ()2,2-7. 《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著，语文组为了解我校学生阅读四大名著的阅读情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则在调查的100位同学中阅读过《西游记》的学生人数为（ ）A. 70B. 60C. 50D. 108. 已知实数x ，0y >，且211x y +=，若228x y m m +>-恒成立，则实数m 的取值范围为（ ） A. ()9,1- B. ()1,9- C. []1,9- D. ()(),19,-∞-+∞二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的，没有错误选项的得2分.）9. 设计如图所示的四个电路图，p ：“开关S 闭合”，q ：“灯泡L 亮”，则p 是q 的充要条件的电路图是（ ）A. B.C. D.10. 已知a ，b ，c R ∈，下列命题为真命题的是（ ）A. 若0a b <<，则22a ab b <<B. 若a b >，则22ac bc ≥C. 若22ac bc >，则a b >D. 若1a b >>，则11b b a a +>+ 11. 下列说法中不正确的是（ ）A. 集合{}1,x x x N <∈为无限集B. 方程2(1)(2)0x x --=的解构成的集合的所有子集共4个C. (){}{},11x y x y y x y +==-=-D. {}{}2,4,y y n n Z x x k k Z =∈⊆=∈12. 下列判断错误的是（ ） A. 1x x +的最小值为2 B. 若a b >，则33a b >C. 不等式230x x -≥的解集为[]0,3D. 如果0a b <<，那么2211a b < 三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13. 已知集合{}22,2A m m m =++，3A ∈，则m 的值为_________.14. 若命题“0x R ∃∈，20020x x a --=”为假命题，则实数a 的取值范围是_________. 15. 关于x 的不等式2(1)0x a x a -++<的解集中恰有1个整数，则实数a 的取值范围是_________.16. 设集合{}32A x x =-≤≤，{}211B x k x k =-≤≤+且B A ⊆，则实数k 的取值范围_________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知{}1,2,3,4,5,6,7U =，{}3,4,5A =，{}4,7B =.求：A B ，()U A C B ，()U C A B .18. 已知集合{}211A x m x m =-<<+，{}22B x x =-<<.（1）当2m =时，求A B ，A B ；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”成立的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.19. 已知关于x 的不等式2260(0)kx x k k -+<≠.（1）若不等式的解集为{}32x x x <->-或，求k 的值.（2）关于x 的不等式2260kx x k -+<恒成立，求k 的取值范围.20. 已知命题p ：12x ∀≤≤，20x a -≥，命题q ：x R ∃∈，22220x ax a a +++=.（1）若命题p ⌝为真命题，求实数a 的取值范围；（2）若命题p 和q ⌝均为真命题，求实数a 的取值范围.21. 2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响.在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失.为降低疫情影响，某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x 万件与年促销费用m 万元（0m ≥）满足41k x m =-+（k 为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件.已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按816x x+元来计算） （1）将2020年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数；（2）该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？最大利润是多少？22. 已知二次函数2()22f x x ax =++.（1）若[]1,5x ∈时，不等式()3f x ax >恒成立，求实数a 的取值范围.（2）解关于x 的不等式2(1)()a x x f x ++>（其中a R ∈）.高一数学参考答案1.B 【详解】解：{}14A x x =-<≤∣，{}1,1,3B =-，{}1,3A B ∴=.故选：B .2.A 【详解】解：“0<x<2”成立时，“2x <”一定成立，所以“0<x<2”成立是“2x <”成立的充分条件； “2x <”成立时，“0<x<2”不一定成立，所以“0<x<2”成立是“2x <”成立的非必要条件.所以“0<x <2”成立是“2x <”成立的充分不必要条件.故选：A3.B 【详解】题图中阴影部分表示集合(){}{}{}25323U N M x x x x x x ⋂=≤≤⋂<=≤<.故选：B4.A 【详解】解：因为()227M a a =-+，()()23N a a =--，所以()()222213247561024M N a a a a a a a ⎛⎫-=-+--+=++=++> ⎪⎝⎭，∴M N >，故选：A 5.B 【详解】命题“1x ∀>，20x x ->”的否定是：1x ∃>，20x x -≤，故选：B.6.D 【详解】解：因为无论x 取何值时，不等式2240x kx -+>恒成立，所以，24160k -<，解得22k -<<，所以，k 的取值范围是()2,2-故选：D7.A 【详解】因为阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，所以《西游记》与《红楼梦》两本书中只阅读了一本的学生共有906030-=位，因为阅读过《红楼梦》的学生共有80位，所以只阅读过《红楼梦》的学生共有806020-=位，所以只阅读过《西游记》的学生共有302010位，故阅读过《西游记》的学生人数为106070+=位，故选：A8.B 【详解】解：由题设，222(2)()55912y x y x x y x y x y +=+=+≥+++， 当且仅当3x y ==时等号成立，∴要使228x y m m +>-恒成立，只需289m m -<，∴289(9)(1)0m m m m --=-+<，∴19m -<<.故选：B.9.BD 【详解】由题知，A 中电路图，开关S 闭合，灯泡L 亮，而灯泡L 亮，开关S 不一定闭合，故A 中p 是q 的充分而不必要条件；B 中电路图，开关S 闭合，灯泡L 亮，且灯泡L 亮，则开关S 闭合，故B 中p 是q 的充要条件；C 中电路图，开关S 闭合，灯泡L 不一定亮，灯泡L 亮，则开关S 一定闭合，故C 中p 是q 的必要而不充分条件；D 中电路图，开关S 闭合，则灯泡L 亮，灯泡L 亮，则开关S 闭合，故D 中p 是q 的充要条件.故选：BD.10.BCD 【详解】对于选项A ，若0a b <<，则22a ab b >>，故A 错误；对于选项B ，若a b >，∵20c ，∴22ac bc ，故B 正确；对于选项C ，若22ac bc >，则20c >，故a b >，故C 正确；对于选项D ，若1a b >>，则(1)(1)ab a ab b a b b a +>+⇒+>+⇒11b b a a +>+，故D 正确. 故选：BCD.11.ACD 【详解】集合{}{}1,N 0x x x <∈=，不是无限集，故A 中说法不正确；方程2(1)(2)0x x --=的解构成的集合为{}1,2，其所有子集为∅，{}1，{}2，{}1,2，共4个，故B 中说法正确；集合(){},1x y x y +=的元素为直线1x y +=上的点，{}1R y x y -=-=，故(){}{},11x y x y y x y +=≠-=-，故C 中说法不正确； 因为{}{}2,Z ,8,6,4,2,0,2,4,6,8,y y n n =∈=⋅⋅⋅----⋅⋅⋅，{}{}4,Z ,8,4,0,4,8,x x k k =∈=⋅⋅⋅--⋅⋅⋅，所以{}{}2,Z 4,Z y y n n x x k k =∈⊇=∈，故D 中说法不正确.故选：ACD.12.AC 【详解】对于A ，0x <时，1x x+为负数，故A 错误， 对于B ，若a b >，则33a b >，故B 正确，对于C ，不等式230x x -≥的解集为][()03-∞⋃+∞，，，故C 错误， 对于D ，如果0a b <<，则0a b ->->，22a b >，那么2211a b <，故D 正确.故选：AC. 13.32-【详解】当23m +=，解得1m =，此时223m m +=，不满足集合的互异性，所以舍去；当223m m +=时，1m =（舍）或32m =-，当32m =-时，122m +=，满足集合的互异性故答案为：32-. 14.1a <-；【详解】命题“0x R ∃∈，20020x x a --=”为假命题，故220x x a -->恒成立.440a ∆=+<，故1a <-.故答案为：1a <-.15.[)(]1,02,3-⋃【详解】由()210x a x a -++<得()()10x x a --<，若1a =，则不等式无解；若1a >，则不等式的解为1x a <<，此时要使不等式的解集中恰有1个整数解，则此时1个整数解为2x =，则23a <≤；若1a <，则不等式的解为1<<a x ，此时要使不等式的解集中恰有1个整数解，则此时1个整数解为0x =，则10a -≤<.综上，满足条件的a 的取值范围是[)(]1,02,3-⋃.故答案为：[)(]1,02,3-⋃.16.11 2.k k ≤≤>－或解析 B A B B ⊆∴∅≠∅，＝或.①B ∅＝时，有2k －1>k ＋1，解得2k >.②B ≠∅时，有21121312k k k k -≤+⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩解得11k ≤≤－.综上，11 2.k k ≤≤>－或17.【详解】，{3,A B ⋃=4，5，7}，C {1,U A =2，6，7}，{1,U C B =2，3，5，6}， (){}3,5U A B ⋂=，(){1,U A B ⋃=2，4，6，7}.18.（1）当2m =时，{}15A x x =<<，因为{}22B x x =-<<，所以{}25A B x x ⋃=-<<， {}12A B x x ⋂=<<；（2）因为x A ∈是x B ∈成立的充分不必要条件，所以集合A 是集合B 的真子集， 因为211m m -<+恒成立，所以集合A ≠∅，所以21212m m -≥-⎧⎨+≤⎩，解得11m -≤≤， 当1m =-时，()2,2A B ==-，不符合题意，故实数m 的取值范围(]1,1-19.（1）若不等式2260kx x k -+<的解集为{3xx <-∣或2}x >-，则13x =-和22x =-是方程2260kx x k -+=的两个实数根；由韦达定理可知：2(3)(2)k -+-=，解得25k =-. （2）关于x 的不等式2260kx x k -+<恒成立，则有0k <且2(2)460k k ∆=--⨯⨯<，解得：k <. 20.【详解】解：（1）根据题意，知当12x ≤≤时，214x ≤≤.2: 12,0p x x a ⌝∃≤≤-<，为真命题，1a ∴>.∴实数a 的取值范围是{}|1a a >.（2）由（1）知命题p 为真命题时，1a ≤.命题q 为真命题时，()224420a a a ∆=-+≥，解得0,a q ≤∴⌝为真命题时，0a >. 10a a ≤⎧∴⎨>⎩，解得01a <≤，即实数a 的取值范围为{}|01a a <≤. 21.（1）由题意知，当0m =时，2x =（万件），则24k =-，解得2k =，∴241x m =-+. 所以每件产品的销售价格为8161.5x x +⨯（元），∴2020年的利润816161.581636(0)1x y x x m m m x m +=⨯---=--≥+. （2）∵当0m ≥时，10m +>，∴16(1)81m m ++≥=+，当且仅当16(1)1m m =++即3m =时等号成立.∴83729y ≤-+=，即3m =万元时，max 29=y （万元）.故该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元. 22.（1）不等式()3f x ax >即为：220x ax -+>，当[1x ∈，5]时，可变形为：222x a x x x+<=+，即min 2a x x ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭，又222x x x x +⋅=当且仅当2x x =，即[1,5]x 时，等号成立，∴min 2x x ⎛⎫+=⎪⎝⎭， 即a <∴实数a 的取值范围是：a <（2）不等式2(1)()a x x f x ++>，即22(1)22a x x x ax ++>++，等价于2(12)20ax a x +-->，即(2)(1)0x ax -+>，①当0a =时，不等式整理为20x ->，解得：2x >；当0a ≠时，方程(2)(1)0x ax -+=的两根为：11x a =-，22x =， ②当0a >时，可得102a -<<，解不等式(2)(1)0x ax -+>得：1x a<-或2x >； ③当102a -<<时，因为12a ->，解不等式(2)(1)0x ax -+>得：12x a<<-； ④当12a =-时，因为12a-=，不等式(2)(1)0x ax -+>的解集为∅； ⑤当12a <-时，因为12a -<，解不等式(2)(1)0x ax -+>得：12x a-<<； 综上所述，不等式的解集为：①当0a =时，不等式解集为(2,)+∞；②当0a >时，不等式解集为()1,2,a ∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭； ③当102a -<<时，不等式解集为1(2,)a-； ④当12a =-时，不等式解集为∅； ⑤当12a <-时，不等式解集为1(,2)a -.。
高一(上)第二次月考数学参考答案
高淳县湖滨高级中学高一年级上学期第二次月考数学答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。
把答案填在下列方框中．二、解答题：本大题共6小题，共90分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）解：∵1cos sin 8αα=，∴213(cos sin )12cos sin 1284αααα-=-=-⨯=， 又42ππα<<， ∴cos sin αα<， cos sin 0αα-<，∴cos sin αα-==． 16.（本小题满分14分）证明：由已知22tan 2tan 1αβ=+，得：2222sin 2sin 1cos cos αβαβ=+， 去分母，可得：222222sin cos 2sin cos cos cos αββααβ=+， 即：222222sin (1sin )2sin cos cos (1sin )αββααβ-=+-，整理，得：22222sin cos sin (cos sin )ααβαα-=+，即222sin cos sin ααβ-=， ∴222sin (1sin )sin ααβ--=，即22sin 2sin 1βα=-．得证．17.（本小题满分14分）解：要使函数lg(sin cos )y x x =-有意义，则sin cos 0x x ->，即sin cos x x >，根据函数sin y x =与cos y x =的图象，可得：52244k x k k Z ππππ+<<+∈，， ∴该函数的定义域为52244x k x k k Z ππππ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭，． 18.（本小题满分16分）解：sin(105)cos(375)sin(105)cos(15)αααα-+-=-+-sin[180(75)]cos[90(75)]αα=-++-+ sin(75)sin(75)αα=+++2sin(75)α=+∵18090α-<<-，∴1057515α-<+<-，∴sin(75)0α+<，又1cos(75)3α+=，∴21sin(75)1cos (75)19αα+=--+=--=∴原式2sin(75)3α=+=-． 19.（本小题满分16分）（2）令222232k x k k Z ππ-≤-≤-∈，，得51212k x k k Z ππππ-≤≤+∈，， 故该函数的单调增区间为：51212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，，． （3）法1：将sin y x =的图象先向右平移3π个单位，再纵坐标不变，横坐标变为原来的12-1倍，即得函数sin(2)3y x π=-的图象．法2：将sin y x =的图象先纵坐标不变，横坐标变为原来的12倍，再向右平移6π个单位，即得函数sin(2)3y x π=-的图象．20.（本小题满分16分）解：∵2()sin sin y f x x x a ==-++，令sin t x =，则2y t t a =-++（11t -≤≤）， 由于2y t t a =-++的对称轴是12t =， ∴在11t -≤≤上，根据二次函数的单调性，有：当12t =时，y 取得最大值，2max 111()224y a a =-++=+， 当1t =-时，y 取得最小值，2min (1)(1)2y a a =--+-+=-，又∵1()4f x ≤≤对一切x R ∈恒成立，即：214y t t a ≤=-++≤对一切[11]t ∈-，恒成立，所以有：max min 41y y ≤⎧⎨≥⎩，即141534421a a a ⎧+≤⎪⇒≤≤⎨⎪-≥⎩，∴实数a 的取值X 围是1534⎡⎤⎢⎥⎣⎦，．。
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（1） 证明：平面 EAC 平面 PBD ； （2） 若 PE 2EB ，求二面角 E AC B 的大小.
22. (本小题满分 12 分) 对于函数 f (x) 与 g(x) ，记集合 Df g x f (x) g(x) .
（1） 设 f (x) 2 x , g(x) x 3 ，求集合 Df g ；
1:9,截去的棱锥的高是 2cm,则正棱台的高是
cm.
15. 如图，正方体 ABCD A1B1C1D1 中， AC 交 BD 于 O ， E 为线段 B1D1上的一个动点，
则下列结论中正确的有
．
①AC⊥平面 OBE
②三棱锥 E-ABC 的体积为定值
2
O
③B1E∥平面 ABD
④B1E⊥BC1
16.
B.
1,
4
）
C. 0,1
D.
1
0,
2
二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中横线上)
ห้องสมุดไป่ตู้
13. 设
f
(x)
2ex1, x 2, 2
，则 f ( f (2)) 的值为
.
log3(x 1), x 2
14. 用一个平行于正棱锥底面的平面截这个正棱锥,截得的正棱台上、下底面面积之比为
C． 1, 3
D．1, 5
2. 函数 f (x)
2x
的定义域为（
）
ln(x 1)
A．（-1,2）
B．[1, 0) (0, 2)
C. (1, 0) (0, 2]
D． (1, 2]
3. 函数 f (x) ax3 2bx a b 是奇函数，且其定义域为[3a 4, a] ，则 f (a) （ ）
19.(本小题满分 12 分)已知直线l1 : ax 3y 1 0 ， l2 : x (a 2) y a 0 ． （1） 当 l1//l2，求实数 a 的值； （2） 直线 l2 恒过定点 M，若 M 到直线l1 的距离为 2，求实数 a 的值．
3
2
AC BC AB
20. (本小题满分 12 分) 如图，△ ABC 中，
D. 动点 A′在平面 ABC 上的射影在线段 AF 上
12. 设函数 f x的定义域为 D，若函数 f x满足条件：存在a,b D ，使得 f x在
a,
b上的值域为
a 2
,
b 2
，则称
f
x为“倍缩函数”.若函数
f x log 2
2x t
为“倍
缩函数”，则 t 的取值范围是（
A.
0,
1 4
）
A．若a / /,b / /, a / /b
B．若a则/ /,a b, b
C．若则/ /,a ,b , a / /b
D．若a ,a / /b, b
8.直三棱柱 ABC—A1B1C1 中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线 BA1 与 AC1 所成
的角等于（
）
A．30°
B．45°
A． 4 3
C. 4 8 3
B． 8 3
D． 8 8 3
11. 如图，等边三角形 ABC 的中线 AF 与中位线 DE 相交于 G，已知△A′ED 是△AED 绕
DE 旋转过程中的一个图形，下列命题中错误的是（
）
A. 恒有 DE⊥A′F
B. 异面直线 A′E 与 BD 不可能垂直
C. 恒有平面 A′GF⊥平面 BCED
高一年级上学期第二次月考数学试题卷
时间：120 分
总分：150 分
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的)
1. 设集合 A 1,2, 4， x x2 4x m 0 ．若 A 1，则 （
）
A． 1, 3
B． 1, 0
C．60°
D．90°
9.若函数 f x m 2x2 mx 2m 1的两个零点分别在区间1, 0和1, 2上，则
m 的取值范围是（
A.
2
1 4
,1
）
B.
14,21
C.
1 4
,21
D.
1 4 ,
1 2
1
10. 一个机器零件的三视图如图所示，其中侧视图是一个半圆与边长为 2 的正方形，俯视 图是一个半圆内切于边长为 2 的正方形，则该机器零件的体积为（ ）
已知函数
f
(x)
log3
x
,
0
x
1 x2 10 x 8 ,
3, x
3
,
若存在实数
a , b , c , d ，满足
3 3
f (a) f (b) f (c) f (d ) ，其中 d c b a 0 ，则 abcd 的取值范围为
．
三、解答题（本大题共 6 小题，共
17.(本小题满分 10 分) 已知全集U
2 ，四边形 ABED 是边长
为 a 的正方形，平面 ABED ⊥平面 ABC ，若G、F 分别是 EC、BD 的中点．
(1) 求证： GF / /平面ABC ；
(2) ( 求与D平面所成EB角C的大小 2)
21. (本小题满分 12 分) 如图，在四棱锥 P ABCD 中， PD 平面 ABCD ，底面 ABCD 是平行四边形， BAD 60，AB 2，PD 3，AD BD ， O 为 AC 与
A. 4
B. 3
C. 2
4.已知直线 x 3y 2 0 ，则该直线的倾斜角为( )
A．30°
B．60°
C．120°
D．1 D．150°
5. 已知两直线 l1 : mx 8 y n 0 和 l2 : 2x my 1 0 ，若l1 l2 且l1 在 y 轴上的截距
为-1，则 m, n 的值分别为(
)
A．2，7
B．0，8
C．－1，2
D．0，－8
6.已知等腰直角三角形的直角边的长为 2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成
的曲面所围成的几何体的表面积为
A. 2 2 3
B． 4 2 3
C． 4 2
() D． （4 2 4）
7. 设，为平面， a, b 为两条不同的直线，则下列叙述正确的是（
70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
R
，
A
x
1
2x
4
，B
x log
x2
.
2
3
（1） 求 A B ；
（2） 求 CU A B.
18. (本小题满分 12 分)
(1) 已知直线l 过点 A(1, 2) ，且与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积是 4，求直线l 的
方程． (2) 求经过直线l1 : 2x 3y 5 0 与 l2 : 7x 15 y 1 0 的交点．且平行于直线 x 2 y 3 0 的直线方程．