数学建模方法之灰色关联度分析

教育的发达程度
国民平均受教ຫໍສະໝຸດ Baidu的年限
社会治安面貌和社会秩序
刑事案件的发案率
对于例1中，我们确定工资总额为参考数
列x0 (t)
比较数列为计时工资 x1(t)，档案工资 ，
承包x2(工t) 资
x3 (t )
原始数据的处理
原始数据存在量纲和数量级上的差异，不同的量纲 和数量级不便于比较，或者比较时难以得出正确结 论。因此，在计算关联度之前，通常要对原始数据 进行无量纲化处理。
均值化
一般说来，均值化方法比较适合于没有明显升降趋势现象 的数据处理。
区间化
一般地，三种方法不宜混合、重叠作用，在进行系统因 素分析时，可根据实际情况选用其中一个。
对例1中数据做均值化处理
关联系数的计算
设经过数据处理后的参考数列为：
比较数列为：
从几何角度看，关联程度实质上是参考数列与比较数列 曲线形状的相似程度。凡比较数列与参考数列的曲线形 状接近，则两者间的关联度较大；反之，如果曲线形状 相差较大，则两者间的关联度较小。因此，可用曲线间 的差值大小作为关联度的衡量标准。
年份
工资总额 计时工资 档案工资 承包工资
2003 2004 2005 2006 2007
13974.2 15997.6 17681.3 20188.3 24020.3
3831.0 4228.0 5017.0 5288.6 5744.0
6587.2 7278.0 7717.4 9102.2 11575.2
3556.0 4491.6 4946.9 5797.5 6701.0
灰色关联度的计算—因素分析
• 确定参考数列 • 处理原始数据 • 计算关联系数 • 关联度的计算与比较
确定参考数列
对一个抽象系统或现象进行分析，首先要选准反映系统 行为特征的数据序列(参考序列)。我们称之为找系统行 为的映射量，用映射量来间接地表征系统行为。比如：
由于每个比较数列与参考数列的关联程度是通过n 个关联系数来 反映的，关联信息分散，不便于从整体上进行比较。因此，有必 要对关联信息作集中处理。而求平均值便是一种信息集中的方式 其计算公式为：
例1 计算关联度
利用表4，分别求各个数列每个时期的关联系数的平均 值即得关联度：
排关联序
由关联度数值可看出，r03＞r01＞r02。这表明，三种工 资对工资总额的关联程度的排列顺序为：承包工资、计时 工资、档案工资。即该公路施工企业的工资发展方向是以 承包工资为主导，计时工资和档案工资对工资总额的影响 属于同一水平。
应用二 例2、利用灰色关联度分析对6位教师工作状况进行综合评价 1、评价指标包括：专业素质、外语水平、教学工作量、科研成果、论文、 著作与出勤。 2、对原始数据经过处理后得到以下数值，见表
灰色关联度分析——综合评价
基本思路是： 从样本中确定一个理想化的最优样本，以此为参考数列，通过 计算各样本序列与该参考序列的关联度，对被评价对象做出综 合比较和排序。
基本思想:
根据序列曲线几何形状的相似程度来判断其联 系是否紧密，曲线越接近，相应序列之间的关 联度就越大，反之就越小。
收入数据图
70
60
50
40
30
20
10
0
1
2
3
4
5
6
7
总收入 养猪 养兔
灰色关联度分析的运用
因 素 分 析 综 合 评 价
应用一
例1：分析研究某公路施工企业年收入的主要影响因素
设有n 个被评价对象，每个被评价对象有p 个评价指标。这样， 第i 个被评价对象可描述为
步骤： 确定参考序列
根据各评价指标的经济含义，在n 个被评价对象中选 出各项指标的最优值组成参考序列
实际上，参考序列 构成了一个相对理想化的最优样本，是综合评价的 标准。如果第j 项指标是数值越大越好的正向指标，则 就是n 个被评价 对象第j 项指标实际值的最大值；如果是逆向指标，则是最小值；如果是适 度标，便是该指标的适度值。
计算关联度
对各评价对象分别计算其p个指标与参考序列对应元素的 关联系数的均值，以反映各评价对象与参考序列的关联 关系，称其为关联度，记为
1
P
(k)
P 0i k 1
i 1,2,...,n
如果各指标在综合评价中所起的作用不同，可对关联系 数求加权平均值，即
W ' 1 P P 0i k 1
无量纲化
此时，各指标的最优值均为1。为叙述方便，把无量纲化后的 数据仍记为xij，则最优参考序列为x0＝{1，1，…，1}。
求两极最大差和最小差 计算各被评价对象序列与最优参考序列间的绝对差列： 在此基础上，依公式
就可求得两级最大差Δ(max)和两级最小差Δ(min)
计算关联系数 计算第i 个被评价对象与最优参考序列间的关联系数。
设 X i (xi (1), xi (2),, xn (n)) 为因素 Xi 的行为序列
初值化
X X x x x x x '
(1) ( ' (1), ' (2),..., ' (n)),
i
ii
i
i
i
(1) 0,i 0,1,2,...,m
i
一般地，初值化方法适用于较稳定的社会经济现 象的无量纲化，因为这样的数列多数呈稳定增长 趋势，通过初值化处理，可使增长趋势更加明显。
灰色关联度分析
何为灰色关联度分析? 如何运用?
灰色关联度分析
灰色系统 是指部分信息已知而部分信息未知的系统，灰色
系统理论所要考察和研究的是对信息不完备的系统， 通过已知信息来研究和预测未知领域从而达到了解整 个系统的目的。
关联度 关联度是事物之间、因素之间关联性大小的量度。它 定量地描述了事物或因素之间相互变化的情况，即变 化的大小、方向与速度等的相对性。如果事物或因素 变化的态势基本一致，则可以认为它们之间的关联度 较大，反之，关联度较小。
则：
两极最大差与最小差：
关联系数：
式中 为分辩系数，用来削弱Δ(max)过大而使关联系数 失真的影响。人为引入这个系数是为了提高关联系数之间 的差异显著性。
计算例1中各比较数列同参考数列在同一时期的绝对差
第三步 找出两极最大差与最小差 第四步 计算关联系数，取分辨系数
, 则计算公式为：
关联度的计算与比较
(k)
k
i
k 1,2,...,P
式中 W k 为各指标权重。
依据各观察对象的关联度，得出综合评价结果。
例2的计算