理论物理基础教程答案 刘连寿

12．已知一维运动自由质点的拉氏量是 L m 2 / 2
(a)证明：当按真实运动方式运动时，作用量是
m( x2 x1 )2 S0 m 2(t2 t1 )
(b)设 x(t1 ) a, x(t2 ) b，求 S0 ；并任意假定一种非真 实的运动方式，计算相应的作用量S1 ，验证 S1 S0 。 解：按真实情况运动时，自由质点作匀速直线运 动，速度为常数 。
3
9．质量为M的斜面可以无摩擦地在水平桌面 上滑动。斜面上无摩擦地放一滑块 m，如图所 x 示。写出拉格朗日方程，并求斜面的加速度 和滑块相对于斜面的加速度 X 。
解：系统的拉格朗日函数为
x
1 x cos ) 2 1 mx 2 sin 2 O L m( X 2 2 X 1 2 MX mgx sin 2 L L m cos ( x cos X ) mx sin 2 mg sin x x L L 0 m( X x cos ) MX X X
W
解： 虚功原理
( F反 ) r 0
l

我们考虑当A处的夹角增加 ,只 有B、D和C处的约束力的虚功不 为零。那么：
FT r1 + FT r1 + W r2
B FT
l C
2 2a
A
l
D FT
l
W
2 FT l sin( ) sin -W 2l cos( ) cos Wa[ctan( ) ctan ] 0
x
那么，系统的拉格朗日为
所以
1 L T U = m( 2 2 2 z 2 ) U ( ) 2
L U ( ) 2 m L m
L 0 L m 2
L 0 z L mz z
T mxi2 / 2
i 1 3
所以，
L T U mxi2 / 2 U ( x1 , x2 , x3 )
i 1 3
带入那格朗日方程得到
xi 0 x j
U L 3 2 mx j / 2 U ( x1 , x2 , x3 ) xi xi j 1 xi L 3 2 mx j / 2 U ( x1 , x2 , x3 ) mxi xi xi j 1
dr l dte AdteX
dr 和 r
M

l
的区别如图所示：
m
x3
M
M
l
r
m
l
x3
m
x3
dr
虚位移和实际位移的主要区别在于 虚位移之和约束有关。
实际位移除了和约束有关以外，还和物体 当前的运动状态有关。
4. 长度同为l 的轻棒四根，相互连接成一个可 以无摩擦的改变顶角的菱形ABCD，AB和AD 两棒无摩擦的支于处于同一水平线上且相距 2a的两根钉上，BD之间用一根轻质棒连接， 在连接点（B和D处），各棒之间可以无摩擦 的转动，C点上系有一重物W，C点和重物受 到约束，只能上下运动，设A点两棒之间的 夹角为2 ,试用虚功原理求平衡时联结棒BD A FT ，讨论的 FT 方向 中的张力 2 l l 2a 与 的大小的关系。问：在 B D 什么情况下有 FT 0，说明其 l l 意义。 C
带入拉格朗日方程，则有：
dU ( ) m m , d
2
2 0,
mz 0
3.长度为l的细绳系一小球，悬挂点按照 X A sin (t t0 )方式运动，如图所示，小球被限 t 制在 ( x, z )平面内运动， t0时悬线竖直向下。
经过伽利略有限速度变换 ' V 的拉氏量为
1 1 1 1 2 2 2 L ' m ' m( V ) m mV mV 2 2 2 2 2 1 1 d 2 C m 2 mV x Ct m mVx 2 2 dt
L` 和L相差一广义坐标和时间的函数的时间 全导数的两个拉格朗日函数，由上题知，他 们满足相同的拉格朗日方程。所以自由质点 的拉格朗日函数 (4 .10) 式 满足有限相对速度 变换下伽利略相对性原理的要求。
分析力学作业讲解
第一章 低速宏观运动的基本原理
• 包括1 2 3 4 9 10 11 12题
1.设质点在势能场U(r)中运动，在笛卡尔坐 标系中写出其拉格朗日方程。
解：拉格朗日方程为：
d L L 0 dt q q ( 1, 2,3)
L为拉格朗日函数
L T U
笛卡尔坐标中的坐标变量为 x1, x2 , x3 ，那么
3
小球只能围绕O点作圆周运动，当偏离角为 时，对应的虚位移为 l 。
（b）小球经过 dt 时间后的位移，可以看作有 两部分组成：
dte （1）小球绕O点作圆周运动所产生的位移 l
（2）小球随O点一起作简谐运动所产生的位 移 Xdt A dteX
所以，小球的位移为
带入拉格朗日方程
d L L dt q q
由L` 和L 得到的运动方程相同。
11．证明一维运动自由质点的拉格朗日函数 [ 1 . 1 . 4 (4 .10) 式 ]满足有限相对速度变换下伽 利略相对性原理的要求。 解：由（4.10）可得自由质点的拉格朗日函数为
L 1 m 2 2
带入拉格朗日方程
xi 0 x j
d L L d U mxi 0 dt q q dt xi
( 1, 2,3)
即有
U mxi xi ( 1, 2,3)
这就是笛卡尔坐标系中的拉格朗日方程。
2.已知柱坐标 ( , , z) 与笛卡尔坐标的关系是 x cos , y = cos , z z 如图1．设质点在轴对称势能场 U ( )中运 动，写出其那格朗日方程。
利用近似方法 sin( ) sin cos
f ( x x) f ( x)
f x x
可得：
cos( ) cos sin ctan( ) ctan csc2
将上面的近似式代入虚功方程可得：
斜面的能量
E
E
系统的总能量
1 m( X x cos ) 2 2 1 M ( X )2 2 mgx sin
E
1 m( x cos X V ) 2 2 1 M ( X V )2 2 mgx sin
分析力学作业讲 解
第二章 守恒律
杜佳欣 dujx@iopp.ccnu.edu.cn http://iopp.ccnu.edu.cn/~dujx/

1.2.3.4.7.8
带入得到
m( x2 x1 )2 S0 m 2(t2 t1 )
（b）假设自由质点不做匀速直线运动，则速 度为时间的函数 (t ) ，且满足：
b a (t)dt
1 1 t2 2 2 S1 m dt m dt υ平方的 t1 2 2 t1 平均值大 2 t2 m m(b a )2 dt 于υ平均 t1 2(t2 t1 ) S0 2(t2 t1 ) 值的平方。
d L' L f q, t q q q dt L f q, t q q
那么
d d d L' L f q, t dt q dt q dt q d 2 L f q , t q f q, t dt q t q q q
S0 L( x, x, t )dt m 2 /2dt m 2 (t2 t1 ) / 2
t1 t1 t2 t2
将 (x
2
x1 ) /(t2 t1 )
带入得到
m( x2 x1 )2 S0 m 2(t2 t1 )
将 (x
2
x1 ) /(t2 t1 )
注意：解决此类问题的关键是弄懂题意，在作业中我发现很 多同学没有弄清题目要求证明什么。要证明拉格朗日函数满 足有限相对速度变换下伽利略相对性原理的要求。就要先搞 清楚什么是伽利略相对性原理：所有惯性系，对研究机械运 动规律是等效的。那么我们要证明的是在两个惯性系中，拉 格朗日函数满足相同的运动规律。要注意拉格朗日量本身是 没有物理意义的。重要的是他满足的函数形式和满足的运动 方程。
2FT l cos + 2Wl sin Wa csc2 0
即有： FT Wa /(2l sin2 cos ) W tan
a FT 0 sin 2l
3
杠对B的作用力向外 杠对B的作用力向内 杠对B无作用力
a FT 0 sin 2l
3
a FT 0 sin 2l
dt , t f q, t q L q,q f q, t t q
d L' f q, t q q dt 2 2 L f q, t q f q, t q t q q q
t2
t2
那么
t1
等号成立的条件是
为常数。
x
O
X
K系 滑块的能量
K’系
1 E m( X x cos ) 2 2 mgx sin
1 2 E MX 2
E
1 m( X V x cos ) 2 2 mgx sin
1 M ( X V )2 2
解之得：
mg sin cos X M m sin 2 ( M m) g sin x M m sin 2
10．直接用拉格朗日方程[ 1.1.2 (2.21) 式 ]证明， 由相差一广义坐标和时间的函数的时间全导数 的两个拉格朗日函数L` 和L [1.1.3 (3.13)式 ] 得 到的运动方程相同。 证明：L和L’相差一个广义坐标和时间的全微 d 分 , t f q, t L ' L q,q 那么
（a）求悬线和竖直线偏离 所对应的虚位移 r （b）已知在这一时刻的角速度为 ，求经过 dt dr 时间后的位移 dr 。问：当 dt 0 时， 与 r 有何差别？ M 解： （a）在任意时刻，约束所 容许的位移为虚位移，途中 l 的小球，受到细绳的和自身 m x 重力的约束，在这个时刻，
解：由柱坐标和笛卡尔坐标的关系可知
dr e d e d ez dz
z
等式两边同时除以dt
r e e ez z

r
z

yห้องสมุดไป่ตู้
那么，系统的动能为
1 2 1 T = mr m( 2 2 2 z 2 ) 2 2
带入拉氏方程：
m cos (cos X ) mx sin 2 mg sin x x m( X cos ) MX 0
即有：
mx mX cos mg sin x m( X cos ) MX 0