如何证明形如4n3的素数有无限多个

如何证明形如4n3的素数有无限多个

篇一：证明形如4n+3的素数有无限多个

篇二：论文：关于素数有无穷多个的证明

摘要：有关于素数的个数是无穷多个的定理有许多的证明方法，最早的证明要见于欧几里德的名著《几何原本》第九篇的命题20中：素数的数目比以往任何指定的数目都要多，即素数有无穷多个.本文在总结前人证明的基础上用数学归纳法再次证明这一命题. 关键字：最小正约数；Fermat数列；合数；调和级数；数学归纳法 1 引言

一个大于1的整数，除了1和它本身以外不能被其他正整数整除，就称为素数.通常用字母p、q表示，例如

1,2,3,5,7,11,13,17,都是素数.设x1,我们以x表示不超过x的素数个数.不难算出

x0x2 53 10 50 415

欧几里德的名著《几何原本》第九篇的命题20证明了: 素数的数目比以往任何指定的数目都要多，即素数有无穷多个: limxx

这样把全体素数按大小排列就得出一个无穷数列

2=p1p2p3pn

后来发现在全体正整数中素数仅占很少一部分.下面我们就来证明一下这个命题.

2 引理、定理及证明

引理1设整数a1，他的大于1的最小正约数d必为素数. 1 d,所以证明若d不是素数,则由素数定义知,必有整数d,使得1d<d , d

da但这与d的专家设矛盾.故而引理得证.

由此推出: 若a不是素数,则必有da.

引理2设有一个无限正整数列 1uu1u2u3s3如果它的任,意两项均互素,则一定有无限多个素数.

证明设ds是us的大于1的最小正整数,由此得到一个无限数列

d1,d2,ds,.

由假设知,它们也是两两互素的,所以是不同的整数,而由引理1知ds均

为素数.这样就证明了引理2.

引理31设整数a1,则a一定可以表为

12raq1q2q

r (1)

其中qi均为素数, 且q1q2qr,以及整数i01ir

证明当a2时,引理显然成立.设n3,假设引理对所有的a2an 均成立.当n为素数时,则引理对于an显然也成立;当n不是素数时设d是n的大于1的最小正约数ndn1.由引理1知d为素数.此外,这时必有2n1n,故由假设知n1可表为(1)的形式,所以n亦可表

为这样的形式,有归纳法知引理3成立. 直接推论任一正整数a一定可表为

ak2l(2)

其中l1,或是不同的素数的乘机, k是正整数.

引理4设x2,我们有 3

111(3) a1axp1

其中求和号分展在所有不超过x的正整数上,连乘号分展在所有不超过x的素数上.

证明设2kx2k1.显然有

11111111122kpppppppxpxpx1

1显然出现在上式右边的乘积中.注意到对于不同的a它们的表达式(1)一定是不同的,这就证明了引理4.

定理5 n!与n!1互素. n2

证明首先证明n与n1互素

由于它们的最大公因子要整除它们的差,即n1n1,所以最大公因子只可为1,故而n与n1互素.

由此得 n2与n21互素, 因为它们的最大公因子只为1.

依次可得 n23n1与n23n11互素, 因为它们的最大公因子只为1.

即n!与n!1互素.

接下来我们开始证明定理素数的个数是无穷多的

证明方法(一) 3

用反证法假设素数只有有限个即

2=p1p2ps

设np1p2ps1,d是它的大于1的最小正约数,由引理一知d是素数.把全体素数按大小顺序排列,就得到一个无限数列,我们记为2=p1,p2,ps,ps1,.定理得证

方法(二) 3

著名的Fermat数列

Fn221n0,1,2,, n

就是满足引理2中的条件的数列,显然有

1F0F1FN

下面证明他们两两互素,设n0,k1,由

Fnk222n2k1 知FnFnk2,设d=Fn,Fnk,因而必有d2, Fn均为奇数,所以d1. 定理得证方法(三) 3

设n2,对任意一个a1an,在它的表达式(2)中一定有

:1k1或l使一些不超过n的不同的素数的乘积.这样, k

可能取得值得个数,而l所可能取的值的个数不超过以下的组合数之和

nnnn12. n12

所以必有

nn

1即 nlog2nn2 定理得证 2

n不超过n的素数有n个，所有的k个不超过n的不同的素数的乘积个数为k

由此即得所说的结论.

方法(四) 3

如果只有有限个素数,那么式(3)的右边当x时为一有限数.但是左边的调和级数当x时是发散的.这一矛盾就证明了定理.

方法(五)

由定理五,得n!与1,2,3,n1,n互素,那么n!1有两种可能(1) n!1为素数;(2) n!1为合数.

(1)设an!1为素数,集合Ax0xnxN有b个素数则集合

Bx0xn!1xN内至少有b+1个素数.

(2)设an!1为合数,则在集合B中至少有2个元素可以被a整除 A

Ba可证C=minxx且hhN为素数.且(1)设集合A内有b个素数,则集Ax

合B内至少有b+1个素数.综合(1)、（2）可得:设集合

Ax0xnxN有b个素数. 则集合B内至少有b+1个素数.

1xN内至少由b+2个素数. 重复上述步骤可得集合

C=x0xn!1！

继续沿用上述步骤,用数学归纳法可证:设集合Ax0xnxN有b 个素数.则集合

Dx0x11，xNn重至少由b+d个素数. n!1！！