机械制图直线的投影

例1：判断图中两条直线是否平行。
b
a c
a
c
b
d 对于一般位置直线，只
要有两个同面投影互相平行， 空间两直线就平行。
d
AB//CD
三峡大学
例2：判断图中两条直线是否平行。
c
a d
b c
b
da
c
对于投影面平行线，只有两
a 个同名投影互相平行，不能判断空
b d 间直线平行。
方法1：求出侧面投影
AB与CD不平行。
（注意两者区别）
铅垂线（垂直于Ｈ面）
投影面垂直线 正垂线（垂直于Ｖ面）
侧垂线（垂直于Ｗ面）
平行于某一投影面而 与其余两投影面倾斜
垂直于某一投影面而 与其余两投影面平行
一般位置直线
与三个投影面都倾斜的直线
三峡大学
1.一般位置直线
如图,直线AB与三个投影面都倾斜。V面投影a’b’,H面投影ab,W面投影 a”b”。
① 在其平行的那个投影面上的投影反映实长，并
反映直线与另两投影面倾角的大小。 ② 另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴。
投影特征：一斜两平行
三峡大学
3.投影面垂直线
1)铅垂线（⊥H面,所有点的X.Y相等）
a
a
b
b
●
a(b)
1.ab积聚成一点；
2.a’b’⊥OX,a”b”⊥OYw,都反映实长。
问α、β、γ？
三峡大学
2)正垂线（⊥V面,所有点的X.Z相等）
a(b)
●
b a
b a 1. a’b’积聚成一点; 2. ab⊥OX,a”b”⊥OZ,都反映实长。
三峡大学
3)侧垂线（⊥W面,Y和Z相等）
a
b
a(b)
●
a
b
投影特性:
1.a”b”积聚成一点； 2. ab⊥OYH,a’b’⊥OZ,都反映实
长。
① 在其垂直的投影面上，积聚为一点。
线 平
平行、相交、交叉
行
⒈ 两直线平行
投影特性：
b
V
d
a
B
A
c C
D
a
c
b
dH
平行性——空间两直线平 行，则其各同面投影必相 互平行，反之亦然。
等比性——空间两线段平 行，其长度之比等于同面 投影长度之比。
即：AB//CD，ab//cd，a’b’//c’d’，a”b”//c”d”. AB/CD=ab/cd=a’b’/c’d’=a”b”/c” 三峡大学
三峡大学
例2：判断点K是否在线段AB上。
a
a
●●
方法一：应用从属性
k● b
●k b
因k不在a b上，
a
故点K不在AB上。
k●
b
方法二：应用定比性
三峡大学
例3 已知点C 在线段AB上，求点C 的正面投影。
应用定比性（相似△）求
V
b
b
cb
c
B
ac
c
a C
A
X a
X
O
b
a
c
c
b
H
a
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直
四、空间两直线的相对位置分为：
即 A C: C B = a c : c b= ac : cb = ac : c b
b
c
B
C
a
XBiblioteka Baidu
O
A cb c
a
三峡大学
例1：判断点C是否在线段AB上。
①
b
a
c●
② a
c●
b
c
b
a
●
ac ● b
点C在直线AB 上
点C不在直线AB 上
根据点的从属性，若点的投影有一 个不在直线的同名投影上， 则该点 必不在此直线上。对于一般位置直线 两个投影就可以判断了。
方法2：判断两线段是否同向且成比例。
方法3：判断两直线是否在同一平面。 判断四点同面即可。
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⒉ 两直线相交
V c k
a
C
A
a
b
d B
KD d
交点是两直线 的共有点
b c k
a
d
k c
判别方法：
b H
a
d
ck
b
若空间两直线相交，则其同面投影必相交，且交点 的投影必符合点的投影特性，反之亦然。（即两个垂直一 个相等——交点的连线垂直于投影轴）。
积聚性
B
●
A●
●b a●
直线平行于投影面 投影反映线段实长
实形性ab=AB
a● b
●
●a ● b
a● b●
●B α A●
●b a●
直线倾斜于投影面 投影比空间线段短 类似性ab=Abcosα
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二、 各种位置直线的投影特性（三大类七种）
水平线（平行于Ｈ面）
投影面平行线 正平线（平行于Ｖ面）
侧平线（平行于Ｗ面） 统称特殊位置直线
② 另外两个投影，反映线段实长，且垂直于相应的投影轴。
投影特征：一点两垂直
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三、 直线与点的相对位置
直线上的点具有两个特性：
1. 从属性 若点在直线上，则点的各个投影必在直线的各同面投 影上。利用这一特性可以在直线上找点，或判断已知点是否在直 线上。
2.定比性 直线上的点,分线段之比在投影中不变。
设直线段AB对H、V、W三个投影面的倾角分别为α、β、γ，则 ab=ABcosα, a’b’=ABcosβ, a”b”=ABcosγ .三个投影都具有类似性.
V
b’
a’
β
B
αγ
A
b
a
H
b’’
W
a’’
b
a
b a
b
a 投影特征：三斜无实长
投影特性：
1.三个投影长度都缩短，且与投影轴倾斜； 2.其投影与投影轴的夹角，不反映直线对投影面的倾角。
a
上
●
小结：点的投影
Z
后前
Z az
a
●
V
a
az
●
Z
下 X ax
X
后
Y
O
Y
ay
YAX
●
X ax
O
Z
●a
W
前
a●
ay
Y
左右
●a
H
ay
Y
1.点的投影特性: 两个垂直，一个相等
3.点的相对位置:
① aa⊥OX轴 aa⊥OZ轴 ② aax= aaz=y
2.点的坐标与投影:
点A到W面的距离= x = oax 点A到V面的距离= y = aax 点A到H面的距离= z = a’ax
X:左右, Y:前后(大拇指),Z:上下，坐 标大者为左、前、上.
4.重影点:
上遮下，左遮右，前遮后。
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直线的投影
两点确定一条直线，将两点的同面 投影用直线连接，就得到直线的同面投 影(粗实线2b,b细线宽)。
一、直线的投影特性
直线对一个投影面的投影特性
A●
M● B●
●
a≡b≡m
直线垂直于投影面 投影重合为一点
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实长
a
a
γ
b α
b
b
a
V面具有实形性,H、W有类似性. 1.V面a’b’=AB,反映倾角α.γ； 2.ab//OX,a”b”//OZ，长度缩短。
三峡大学
3)侧平线（//W,所有点X坐标相等）
a b
a 实长
β
α b
a
b
投影特性：
W面具有实形性,H、V有类似性. 1.W面a”b”=AB,反映倾角α.β； 2.a’b’//OZ,ab//OYH，长度缩短。
三峡大学
2.投影面平行线
1)水平线(//H,直线上点的Z坐标都相等)
a
b
与H面的倾角: α 与V面的倾角: β 与W面的倾角: γ
a b
a
β
γ
b
b
实长
α=？
H面具有实形性,V、W有类似性。 1.H面ab=AB,反映倾角β.γ； 2.a’b’//OX,a”b”//Oyw，长度缩短。
三峡大学
2)正平线（//V,所有点的Y坐标相等）