高等数学A 9-1-多元函数的基本概念
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主要内容
第一节 多元函数的基本概念 第二节 偏导数 第三节 全微分 第四节 多元复合函数的求导法则 第五节 隐函数的求导公式 第六节 多元微分学在几何上的应用 第七节 方向导数与梯度 第八节 多元函数的极值及其求法
9-1 多元函数微分法及其应用
第一节 多元函数的基本概念
一、平面点集 n 维空间 (星号内容) 二、多元函数的概念 三、多元函数的极限 四、多元函数的连续性 五、小结与思考练习
9-1 多元函数微分法及其应用
例如 (见黑板) VIII(有界集)对于平面点集E, 若存在正数 r , 使得
E U（O,r)，其中O为坐标原点, 则称 E 为有界集. 否则，称为无界集. 或(有界集)对于平面点集 E, 若存在正数 K, 使一切点 PE 与某定点 A 的距离 AP K , 则称E为有界集， 否则称为无界集.
9-1 多元函数微分法及其应用
(3) 研究二重极限与累次极限(二次极限)间的关 系.
定义3(累次极限) 设函数 z f ( x, y)在点P0( x0 , y0 )
的某个空心邻域有定义，对于任意固定的 y ,记
lim f ( x, y) A( y)
x x0
如果当 y y0 时，A( y) 也有极限，那么称
的图形一般为空间曲面 .
9-1 多元函数微分法及其应用
三、多元函数的极限
定义2 设 二元函数 f (P) f (x, y) 的定义域为D
点
P0
是
D
的聚点， 若存在常数
A
,
对任意正数 ,
总存在正数 , 对一 切 P D U(P0 ,δ), 都有
则称 A 为函数
记作
lim f (P) A
I 若点集 E 的点都是内点,则称E为开集；
II E 的边界点的全体称为 E 的边界,记作E；
III 若点集 E E,则称 E 为闭集；
IV 若集 D 中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相连,
则称 D 是连通的；
D
V 连通的开集称为开区域,简称区域； . .
VI 开区域连同它的边界一起称为闭区域.
P D Rn
二元函数 (图形一般为空间曲面) 常用
三元函数
9-1 多元函数微分法及其应用
3.多元函数的极限
lim f (P) A
P P0
ε 0,δ 0, 当0 < PP0 < δ 时， 有 f (P) A <ε
4.多元函数的连续性
1) 函数 f (P) 在 P0 连续
2.当 n = 3 时,有三元函数
例如1.二元函数 z 1 x2 y2
9-1 多元函数微分法及其应用
z
定义域为 圆域 ( x, y) x2 y2 1
图形为球心在原点的上半球面.
o 1y
x
z
2. z sin( x y), ( x, y) R2
y x
说明:二元函数 z = f (x, y), (x, y) D
连续.
9-1 多元函数微分法及其应用
例如,函数
f
( x,
y)
xy x2 y2
,
wenku.baidu.com
0 ,
x2 y2 0 x2 y2 0
在点(0 , 0) 极限不存在, 故 ( 0, 0 )为其间断点.
又如,函数
在圆周 x2 y2 1 上间断. 结论:一切多元初等函数在定义区域内连续.
(同济6版 P58 例4)
例2 设
f
( x,
y)
x
sin
1 y
0
y
sin
1 x
,
,
xy0 xy0
求证：lim f ( x, y) 0 . x0 y0
9-1 多元函数微分法及其应用
例3
讨论函数
f (x,
y)
xy x2 y2
在点 (0, 0) 的极限.
例4
sin( xy)
U ( P0 ,δ ) (x, y)
注：领域的概念推广到三维空间，上述圆邻域变为 球邻域
U ( P0 , ) (x, y, z )
说明：若不需要强调邻域半径 ,也可写成U ( P0 ).
点 P0 的去心邻域记为
0 < PP0 < δ
9-1 多元函数微分法及其应用
2.区域
(1) 内点、外点、边界点 设有点集 E 及一点 P :
2.二元函数极限的定义中 P P0的方式是任意的 若当点 P( x, y) 以不同方式趋于 P0( x0 , y0 ) 时, 函数 趋于不同值或有的极限不存在，则可以断定函数极限 不存在.
3.多元函数的极限与一元函数极限的异同 点.(思考、总结)
9-1 多元函数微分法及其应用
4. 多元函数的极限的基本问题有三类： (1) 研究二元函数极限的存在性. A. 欲证明极限存在，常用定义或夹逼准则. B. 欲证明极限不存在 通过观察、猜测，常选择两条不同的路径，求出不 同的极限.或找一条特殊路径，使函数沿此路径的极 限不存在. (2) 求极限值. 一元函数求极限的方法，这里仍然可以使用 (如极限的局部保号性、无穷小与有界量的乘积仍 然为无穷小、极限四则运算法则、夹逼准则、两 个重要极限、等价无穷小替换等)
9-1 多元函数微分法及其应用
一、平面点集 n 维空间（星号内容）
1. 平面点集 坐标平面上具有某种性质 P 的点的集合，称为平面 点集，记作
E ( x, y) ( x, y)具有性质 P .
R2 中的邻域 点集
PP0 < δ 称为点 P0 的 邻域.
9-1 多元函数微分法及其应用
例如,在平面上,(圆邻域)
9-1 多元函数微分法及其应用
3. n 维空间
n 元有序数组
记作 Rn , 即
的全体称为 n 维空间,
Rn R R R
n 维空间中的每一个元素
称为空间中的
一个点, 称为该点的第 k 个坐标 .
当所有坐标
称该元素为 Rn 中的零元,记作 O .
9-1 多元函数微分法及其应用
Rn中的点x ( x1, x2 ,, xn ) 与点 y ( y1, y2 ,, yn )
的距离记作
规定为
Rn中的点x ( x1, x2 ,, xn ) 与零元 O 的距离为
x x12 x22 xn2 当 n 1, 2, 3 时, x 通常记作 x .
Rn中的变元 x 与定元 a 满足 x a 0 记作 x a.
Rn 中点 a 的 邻域为
二、多元函数的概念 引例: 1.圆柱体的体积
P P0
记 PP0 (x x0)2 ( y y0)2 , 则二元函数的极限可写作
lim f ( x, y) A lim f ( x, y) A
0
x x0
y y0
9-1 多元函数微分法及其应用
注：1.二元函数的极限也叫二重极限（double limit)
9-1 多元函数微分法及其应用
r h
2.定量理想气体的压强
3.三角形面积的海伦公式
ba c
9-1 多元函数微分法及其应用
定义1 设非空点集
映射
在 D 上的 n 元函数 , 记作
称为定义
点集 D 称为函数的定义域；数集
f (D) u u f ( P ) ,P D
称为函数的值域 . 注：1.当 n = 2 时,有二元函数
9-1 多元函数微分法及其应用
x y 1 1
例5 求 lim
.
x0
xy
y0
例6 求函数
arcsin( 3 x2 y2 )
f (x, y)
x y2
的连续域.
9-1 多元函数微分法及其应用
闭区域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质: 定理：若 f (P) 在有界闭区域 D 上连续, 则
lim A( y) lim[ lim f ( x, y)]
y y0
y y0 x x0
为函数 f ( x, y)的累次极限.
9-1 多元函数微分法及其应用
例1 设
f
( x,
y)
(x2
y2 )sin
x2
1
y2
( x2 y2 0)
求证： lim f ( x, y) 0 . x0 y0
I 若存在点 P 的某邻域 U(P) E ,
则称 P 为 E 的内点；
PE
P P
II 若存在点 P 的某邻域 U(P)∩ E = ,
则称 P 为 E 的外点 ;
III 若对点 P 的任一邻域 U(P) 既含 E中的内点也含 E
的外点 , 则称 P 为 E 的边界点 .
显然, E 的内点必属于 E , E 的外点必不属于 E , E 的
lim
.
( x, y)(0,2)
x
9-1 多元函数微分法及其应用
四、多元函数的连续性
定义4 设二元函数 f (P) 定义在 D 上,聚点 P0 D ,
如果存在
lim
P P0
f (P)
f (P0 )
则称二元函数 f (P) 在点 P0 连续, 否则称为不连续, 此时
称 为间断点 . 如果函数在 D 上各点处都连续, 则称此函数在 D 上
(有界性定理)
(2) f (P) 在 D 上可取得最大值 M 及最小值 m ;
(最值定理)
(3) 对任意
Q D，
(介值定理)
9-1 多元函数微分法及其应用
五、内容小结
1.区域
• 邻域 : U (P0 ,δ ) , U (P0 ,δ )
• 区域
连通的开集
• Rn空间
2.多元函数概念
n 元函数 u f (P) f ( x1, x2 ,, xn )
边界点可能属于 E, 也可能不属于 E .
9-1 多元函数微分法及其应用
(2)聚点 若对任意给定的>0, 点P 的去心
邻域
内总有E 中的点, 则
称 P 是 E 的聚点.
E
P P
聚点可以属于E ,也可以不属于E (因为聚点可以为 E 的边界点) 例如 (见黑板)
9-1 多元函数微分法及其应用
(3)开区域及闭区域
9-1 多元函数微分法及其应用
杂诗 （东晋）陶渊明
盛年不再来，一日难再晨. 及时当勉励，岁月不待人. 日月掷人去，有志不获聘. 眷眷往昔时，忆此断人肠.
9-1 多元函数微分法及其应用
第九章 多元函数微分法及其应用
一元函数微分学 推广
多元函数微分学 注意: 善于类比, 区别异同
9-1 多元函数微分法及其应用
lim
P P0
f (P)
f (P0 )
2)闭域上的多元连续函数的性质:
有界性定理； 最值定理； 介值定理 3)一切多元初等函数在定义区域内连续
第一节 多元函数的基本概念 第二节 偏导数 第三节 全微分 第四节 多元复合函数的求导法则 第五节 隐函数的求导公式 第六节 多元微分学在几何上的应用 第七节 方向导数与梯度 第八节 多元函数的极值及其求法
9-1 多元函数微分法及其应用
第一节 多元函数的基本概念
一、平面点集 n 维空间 (星号内容) 二、多元函数的概念 三、多元函数的极限 四、多元函数的连续性 五、小结与思考练习
9-1 多元函数微分法及其应用
例如 (见黑板) VIII(有界集)对于平面点集E, 若存在正数 r , 使得
E U（O,r)，其中O为坐标原点, 则称 E 为有界集. 否则，称为无界集. 或(有界集)对于平面点集 E, 若存在正数 K, 使一切点 PE 与某定点 A 的距离 AP K , 则称E为有界集， 否则称为无界集.
9-1 多元函数微分法及其应用
(3) 研究二重极限与累次极限(二次极限)间的关 系.
定义3(累次极限) 设函数 z f ( x, y)在点P0( x0 , y0 )
的某个空心邻域有定义，对于任意固定的 y ,记
lim f ( x, y) A( y)
x x0
如果当 y y0 时，A( y) 也有极限，那么称
的图形一般为空间曲面 .
9-1 多元函数微分法及其应用
三、多元函数的极限
定义2 设 二元函数 f (P) f (x, y) 的定义域为D
点
P0
是
D
的聚点， 若存在常数
A
,
对任意正数 ,
总存在正数 , 对一 切 P D U(P0 ,δ), 都有
则称 A 为函数
记作
lim f (P) A
I 若点集 E 的点都是内点,则称E为开集；
II E 的边界点的全体称为 E 的边界,记作E；
III 若点集 E E,则称 E 为闭集；
IV 若集 D 中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相连,
则称 D 是连通的；
D
V 连通的开集称为开区域,简称区域； . .
VI 开区域连同它的边界一起称为闭区域.
P D Rn
二元函数 (图形一般为空间曲面) 常用
三元函数
9-1 多元函数微分法及其应用
3.多元函数的极限
lim f (P) A
P P0
ε 0,δ 0, 当0 < PP0 < δ 时， 有 f (P) A <ε
4.多元函数的连续性
1) 函数 f (P) 在 P0 连续
2.当 n = 3 时,有三元函数
例如1.二元函数 z 1 x2 y2
9-1 多元函数微分法及其应用
z
定义域为 圆域 ( x, y) x2 y2 1
图形为球心在原点的上半球面.
o 1y
x
z
2. z sin( x y), ( x, y) R2
y x
说明:二元函数 z = f (x, y), (x, y) D
连续.
9-1 多元函数微分法及其应用
例如,函数
f
( x,
y)
xy x2 y2
,
wenku.baidu.com
0 ,
x2 y2 0 x2 y2 0
在点(0 , 0) 极限不存在, 故 ( 0, 0 )为其间断点.
又如,函数
在圆周 x2 y2 1 上间断. 结论:一切多元初等函数在定义区域内连续.
(同济6版 P58 例4)
例2 设
f
( x,
y)
x
sin
1 y
0
y
sin
1 x
,
,
xy0 xy0
求证：lim f ( x, y) 0 . x0 y0
9-1 多元函数微分法及其应用
例3
讨论函数
f (x,
y)
xy x2 y2
在点 (0, 0) 的极限.
例4
sin( xy)
U ( P0 ,δ ) (x, y)
注：领域的概念推广到三维空间，上述圆邻域变为 球邻域
U ( P0 , ) (x, y, z )
说明：若不需要强调邻域半径 ,也可写成U ( P0 ).
点 P0 的去心邻域记为
0 < PP0 < δ
9-1 多元函数微分法及其应用
2.区域
(1) 内点、外点、边界点 设有点集 E 及一点 P :
2.二元函数极限的定义中 P P0的方式是任意的 若当点 P( x, y) 以不同方式趋于 P0( x0 , y0 ) 时, 函数 趋于不同值或有的极限不存在，则可以断定函数极限 不存在.
3.多元函数的极限与一元函数极限的异同 点.(思考、总结)
9-1 多元函数微分法及其应用
4. 多元函数的极限的基本问题有三类： (1) 研究二元函数极限的存在性. A. 欲证明极限存在，常用定义或夹逼准则. B. 欲证明极限不存在 通过观察、猜测，常选择两条不同的路径，求出不 同的极限.或找一条特殊路径，使函数沿此路径的极 限不存在. (2) 求极限值. 一元函数求极限的方法，这里仍然可以使用 (如极限的局部保号性、无穷小与有界量的乘积仍 然为无穷小、极限四则运算法则、夹逼准则、两 个重要极限、等价无穷小替换等)
9-1 多元函数微分法及其应用
一、平面点集 n 维空间（星号内容）
1. 平面点集 坐标平面上具有某种性质 P 的点的集合，称为平面 点集，记作
E ( x, y) ( x, y)具有性质 P .
R2 中的邻域 点集
PP0 < δ 称为点 P0 的 邻域.
9-1 多元函数微分法及其应用
例如,在平面上,(圆邻域)
9-1 多元函数微分法及其应用
3. n 维空间
n 元有序数组
记作 Rn , 即
的全体称为 n 维空间,
Rn R R R
n 维空间中的每一个元素
称为空间中的
一个点, 称为该点的第 k 个坐标 .
当所有坐标
称该元素为 Rn 中的零元,记作 O .
9-1 多元函数微分法及其应用
Rn中的点x ( x1, x2 ,, xn ) 与点 y ( y1, y2 ,, yn )
的距离记作
规定为
Rn中的点x ( x1, x2 ,, xn ) 与零元 O 的距离为
x x12 x22 xn2 当 n 1, 2, 3 时, x 通常记作 x .
Rn中的变元 x 与定元 a 满足 x a 0 记作 x a.
Rn 中点 a 的 邻域为
二、多元函数的概念 引例: 1.圆柱体的体积
P P0
记 PP0 (x x0)2 ( y y0)2 , 则二元函数的极限可写作
lim f ( x, y) A lim f ( x, y) A
0
x x0
y y0
9-1 多元函数微分法及其应用
注：1.二元函数的极限也叫二重极限（double limit)
9-1 多元函数微分法及其应用
r h
2.定量理想气体的压强
3.三角形面积的海伦公式
ba c
9-1 多元函数微分法及其应用
定义1 设非空点集
映射
在 D 上的 n 元函数 , 记作
称为定义
点集 D 称为函数的定义域；数集
f (D) u u f ( P ) ,P D
称为函数的值域 . 注：1.当 n = 2 时,有二元函数
9-1 多元函数微分法及其应用
x y 1 1
例5 求 lim
.
x0
xy
y0
例6 求函数
arcsin( 3 x2 y2 )
f (x, y)
x y2
的连续域.
9-1 多元函数微分法及其应用
闭区域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质: 定理：若 f (P) 在有界闭区域 D 上连续, 则
lim A( y) lim[ lim f ( x, y)]
y y0
y y0 x x0
为函数 f ( x, y)的累次极限.
9-1 多元函数微分法及其应用
例1 设
f
( x,
y)
(x2
y2 )sin
x2
1
y2
( x2 y2 0)
求证： lim f ( x, y) 0 . x0 y0
I 若存在点 P 的某邻域 U(P) E ,
则称 P 为 E 的内点；
PE
P P
II 若存在点 P 的某邻域 U(P)∩ E = ,
则称 P 为 E 的外点 ;
III 若对点 P 的任一邻域 U(P) 既含 E中的内点也含 E
的外点 , 则称 P 为 E 的边界点 .
显然, E 的内点必属于 E , E 的外点必不属于 E , E 的
lim
.
( x, y)(0,2)
x
9-1 多元函数微分法及其应用
四、多元函数的连续性
定义4 设二元函数 f (P) 定义在 D 上,聚点 P0 D ,
如果存在
lim
P P0
f (P)
f (P0 )
则称二元函数 f (P) 在点 P0 连续, 否则称为不连续, 此时
称 为间断点 . 如果函数在 D 上各点处都连续, 则称此函数在 D 上
(有界性定理)
(2) f (P) 在 D 上可取得最大值 M 及最小值 m ;
(最值定理)
(3) 对任意
Q D，
(介值定理)
9-1 多元函数微分法及其应用
五、内容小结
1.区域
• 邻域 : U (P0 ,δ ) , U (P0 ,δ )
• 区域
连通的开集
• Rn空间
2.多元函数概念
n 元函数 u f (P) f ( x1, x2 ,, xn )
边界点可能属于 E, 也可能不属于 E .
9-1 多元函数微分法及其应用
(2)聚点 若对任意给定的>0, 点P 的去心
邻域
内总有E 中的点, 则
称 P 是 E 的聚点.
E
P P
聚点可以属于E ,也可以不属于E (因为聚点可以为 E 的边界点) 例如 (见黑板)
9-1 多元函数微分法及其应用
(3)开区域及闭区域
9-1 多元函数微分法及其应用
杂诗 （东晋）陶渊明
盛年不再来，一日难再晨. 及时当勉励，岁月不待人. 日月掷人去，有志不获聘. 眷眷往昔时，忆此断人肠.
9-1 多元函数微分法及其应用
第九章 多元函数微分法及其应用
一元函数微分学 推广
多元函数微分学 注意: 善于类比, 区别异同
9-1 多元函数微分法及其应用
lim
P P0
f (P)
f (P0 )
2)闭域上的多元连续函数的性质:
有界性定理； 最值定理； 介值定理 3)一切多元初等函数在定义区域内连续