金融经济学课件：ch2 期望效用理论
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传递性也是理性经济人的基本要求之一。
（4）连续性（continunity）
对于任意的X、y，集合{x x ≥ y} 和{x x ≤ y} 是
闭集， {x x y} 和 {x x y} 是开集。
即如果x是一组至少与y一样好的消费束， 而且它趋近于另一消费束z，则z与y至少同样 好。这样就可以得到一条连续的无差异曲线。
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第二章 期望效用理论
一、个体行为决策准则
（一）偏好关系(决策的前提是排序) 效用是一种纯主观的心理感受，因人因地因时而异。
偏好是建立在消费者可以观察的选择行为之上的。 偏好关系（preference relation)是指消费者对不
同商品或商品组合偏好的顺序。它可以用一种两维（或二 元）关系（binary relation）表述出来。
经济上，偏好关系是指参与者对所有可能的投资（消 费）计划的一个排序。
1.偏好关系的表述
令C 为商品（或者消费）集合，C 中有A 种可供选择 计划方案。f是采取计划a,消费c的一个结果，或者得 到的效用。我们可以在消费集合上建立下面的偏好关 系（preference relation）或者偏好顺序 （preference ordering），满足：
1.基数效用与序数效用 基数效用：19 世纪的一些经济学家如英国的
杰文斯、奥地利的门格尔等认为，人的福利或 满意可以用他从享用或消费过程中所获得的效 用来度量。对满意程度的这种度量叫做基数效 用.
序数效用：20 世纪意大利的经济学家帕累托 等发现，效用的基数性是多余的，消费理论完全 可以建立在序数效用的基础上。所谓序数效用是 以效用值的大小次序来建立满意程度的高低，而 效用值的大小本身并没有任何意义.
s.tW
令
则最大化问题为：
q (q1,, qm ,, qM ) ∈ RM
max u(.)
{ } s.t.z = C ∈ R+M : qc ≤ W
上述约束式为瓦尔拉斯（walrasian budget set）预算集，C为 消费数量，Q为消费价格。
最优解：
∂ = ∂u − λq = 0
∂C ∂C
∂ =W − qC =0
u (x) ≡ f [u(x)] 且f (.) 是单调递增函数，则有：
u (x) ≥ u (y) ⇔ u(x) ≥ u(y)
定理2： 如果消费者在消费集C 上的偏好关系具有
完备性、自返性，传递性和连续性，则存在一 个能够代表偏好顺序的连续效用函数u :C→R。
3、消费者效用最大化问题
max u(.)
∂λ
⇒ MRSi, j =
也即如果两个计划非常接近，那么他们的排序
也应该是非常接近的。
（4）单调性（monotonicity）
∀x, y ∈ C ， if x ≥ y ⇒ x y
单调性说明增加一点商品至少与原来的情 况同样好。只要商品是有益的，单调性就必然 成立。
强单调性说明同样的物品，如果其中有些 种类的数量严格多于原来的物品，消费者则必 定严格偏好于他们。
违背传递性的结果：一个投资者的偏好关系a，b，c, 如果 a > b， b>c, 而c > a. 可以作以下交易：
以价格p 卖给他c，用b与他交换c,由于对他来讲b>c,他愿意额外 支付一个价格q1;
用a与他交换b,由于对他来讲a>b,他愿意额外支付一个价格q2; 用c与他交换a,由于对他来讲c>a,他愿意额外支付一个价格q3; 最后我们用价格p购回c, 这样又回到了原始状态。但他付出了 q1+q2+q3. 如果他还坚持他的这种偏好，可以继续不断地与他进行这种交易， 直至他的财富为零。
∀x, y, z ∈C,ifx z , y z ⇒ α x + (1−α ) y z
严格凸性（strictly convexity）：
∀x, y, z ∈ C,ifx z , y z, x ≠ y ⇒ α x + (1−α ) y z
凸性可理解为边际替代率递减。 注意：凸性是凹函数的特征：
（二）确定性环境下的效用函数
2.效用函数定义
如果对于 ∀x, y ∈C 有
x y ⇔ u(x) u( y)和 x ≅ y ⇔ u(x) ≅ u( y) 成立，则函数关系 u :C → R 是一个代表了偏 好关系的效用函数。
在确定的环境下，效用函数实现了序数关系 与基数关系的转换。
定理1：
一个效用函数可以通过正单调变换而获得另一个 效用函数与原来的效用函数具有同样的偏好关 系：
∀x, y ∈C if x y且 x ≠ y 则 x y
（5）局部非饱和性（local non-satiation） ∀x ∈C 和 ∀ε > 0 ，总存在 y ∈C, x − y < ε 使得
x y
在技术上，局部非饱和性和单调性保证了无
差异曲线具有一个负（或正的）的斜率。
（6）凸性（convexity）
∀x, y ∈ C, x y y x x ≅ y
中有一种关系成立。
完备性假定保证了消费者具备选别判断的能力。完 备性的意义：任何两个投资（消费）计划一定有一个 是优的，或者两个是无差异的。它排除了投资计划之 间无法比较的可能性。
（2）自返性（reflexivity）：
∀x ∈ C，则有 x x
自返性保证了消费者对同一商品的选好具有明显的一 贯性。
（3）传递性：
∀x, y, z ∈C ifx y , y z ⇒x z
传递性保证了消费者在不同商品之间选择的首尾一 贯性。传递性也是偏好的一致性条件，如果两个参与 者的偏好违反了传递性，那么其行为因为缺乏一致性 而违背理性。同理：
∀x, y, z ∈C, ifx y , y z ⇒x z
（1）x y x弱偏好于y，x 至少与y 一样好。
（2）x y x强偏好于y ；
（3） x ≅ y 无差异于x 、y；即：
xHale Waihona Puke y⇔ x y和y x例子: 可以建立偏好关系(单课成绩与总成绩;某基金公 司的多个基金的业绩)与不可以建立偏好关系(多课程 绩).
2.偏好应满足的基本公理（Axiom）条件： （1）完备性（completeness）:
（4）连续性（continunity）
对于任意的X、y，集合{x x ≥ y} 和{x x ≤ y} 是
闭集， {x x y} 和 {x x y} 是开集。
即如果x是一组至少与y一样好的消费束， 而且它趋近于另一消费束z，则z与y至少同样 好。这样就可以得到一条连续的无差异曲线。
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第二章 期望效用理论
一、个体行为决策准则
（一）偏好关系(决策的前提是排序) 效用是一种纯主观的心理感受，因人因地因时而异。
偏好是建立在消费者可以观察的选择行为之上的。 偏好关系（preference relation)是指消费者对不
同商品或商品组合偏好的顺序。它可以用一种两维（或二 元）关系（binary relation）表述出来。
经济上，偏好关系是指参与者对所有可能的投资（消 费）计划的一个排序。
1.偏好关系的表述
令C 为商品（或者消费）集合，C 中有A 种可供选择 计划方案。f是采取计划a,消费c的一个结果，或者得 到的效用。我们可以在消费集合上建立下面的偏好关 系（preference relation）或者偏好顺序 （preference ordering），满足：
1.基数效用与序数效用 基数效用：19 世纪的一些经济学家如英国的
杰文斯、奥地利的门格尔等认为，人的福利或 满意可以用他从享用或消费过程中所获得的效 用来度量。对满意程度的这种度量叫做基数效 用.
序数效用：20 世纪意大利的经济学家帕累托 等发现，效用的基数性是多余的，消费理论完全 可以建立在序数效用的基础上。所谓序数效用是 以效用值的大小次序来建立满意程度的高低，而 效用值的大小本身并没有任何意义.
s.tW
令
则最大化问题为：
q (q1,, qm ,, qM ) ∈ RM
max u(.)
{ } s.t.z = C ∈ R+M : qc ≤ W
上述约束式为瓦尔拉斯（walrasian budget set）预算集，C为 消费数量，Q为消费价格。
最优解：
∂ = ∂u − λq = 0
∂C ∂C
∂ =W − qC =0
u (x) ≡ f [u(x)] 且f (.) 是单调递增函数，则有：
u (x) ≥ u (y) ⇔ u(x) ≥ u(y)
定理2： 如果消费者在消费集C 上的偏好关系具有
完备性、自返性，传递性和连续性，则存在一 个能够代表偏好顺序的连续效用函数u :C→R。
3、消费者效用最大化问题
max u(.)
∂λ
⇒ MRSi, j =
也即如果两个计划非常接近，那么他们的排序
也应该是非常接近的。
（4）单调性（monotonicity）
∀x, y ∈ C ， if x ≥ y ⇒ x y
单调性说明增加一点商品至少与原来的情 况同样好。只要商品是有益的，单调性就必然 成立。
强单调性说明同样的物品，如果其中有些 种类的数量严格多于原来的物品，消费者则必 定严格偏好于他们。
违背传递性的结果：一个投资者的偏好关系a，b，c, 如果 a > b， b>c, 而c > a. 可以作以下交易：
以价格p 卖给他c，用b与他交换c,由于对他来讲b>c,他愿意额外 支付一个价格q1;
用a与他交换b,由于对他来讲a>b,他愿意额外支付一个价格q2; 用c与他交换a,由于对他来讲c>a,他愿意额外支付一个价格q3; 最后我们用价格p购回c, 这样又回到了原始状态。但他付出了 q1+q2+q3. 如果他还坚持他的这种偏好，可以继续不断地与他进行这种交易， 直至他的财富为零。
∀x, y, z ∈C,ifx z , y z ⇒ α x + (1−α ) y z
严格凸性（strictly convexity）：
∀x, y, z ∈ C,ifx z , y z, x ≠ y ⇒ α x + (1−α ) y z
凸性可理解为边际替代率递减。 注意：凸性是凹函数的特征：
（二）确定性环境下的效用函数
2.效用函数定义
如果对于 ∀x, y ∈C 有
x y ⇔ u(x) u( y)和 x ≅ y ⇔ u(x) ≅ u( y) 成立，则函数关系 u :C → R 是一个代表了偏 好关系的效用函数。
在确定的环境下，效用函数实现了序数关系 与基数关系的转换。
定理1：
一个效用函数可以通过正单调变换而获得另一个 效用函数与原来的效用函数具有同样的偏好关 系：
∀x, y ∈C if x y且 x ≠ y 则 x y
（5）局部非饱和性（local non-satiation） ∀x ∈C 和 ∀ε > 0 ，总存在 y ∈C, x − y < ε 使得
x y
在技术上，局部非饱和性和单调性保证了无
差异曲线具有一个负（或正的）的斜率。
（6）凸性（convexity）
∀x, y ∈ C, x y y x x ≅ y
中有一种关系成立。
完备性假定保证了消费者具备选别判断的能力。完 备性的意义：任何两个投资（消费）计划一定有一个 是优的，或者两个是无差异的。它排除了投资计划之 间无法比较的可能性。
（2）自返性（reflexivity）：
∀x ∈ C，则有 x x
自返性保证了消费者对同一商品的选好具有明显的一 贯性。
（3）传递性：
∀x, y, z ∈C ifx y , y z ⇒x z
传递性保证了消费者在不同商品之间选择的首尾一 贯性。传递性也是偏好的一致性条件，如果两个参与 者的偏好违反了传递性，那么其行为因为缺乏一致性 而违背理性。同理：
∀x, y, z ∈C, ifx y , y z ⇒x z
（1）x y x弱偏好于y，x 至少与y 一样好。
（2）x y x强偏好于y ；
（3） x ≅ y 无差异于x 、y；即：
xHale Waihona Puke y⇔ x y和y x例子: 可以建立偏好关系(单课成绩与总成绩;某基金公 司的多个基金的业绩)与不可以建立偏好关系(多课程 绩).
2.偏好应满足的基本公理（Axiom）条件： （1）完备性（completeness）: