第一章 基于消费模型和概述(资产定价-北大,史树中)

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消费与边际效用 (续)


这就是资本资产定价模型 (Capital Asset Pricing Model)。我们将看到边际效用的附加 指标的一大类变种，对它们计算协方差是为了 预测价格的风险调整。 (这就从消费与边际效用之间的关系来理解 CAPM 等。作为一种经济解释，实际上都加入 了一些模型本身所不具备的因素。)
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1.1 基本定价方程

投资者一阶条件给出基于消费基本模型，
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基于消费模型

投资者需要求解的效用最大化问题：
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最优一阶条件

把两个线性方程代入，对 求导数，并 令它为零，就得
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第一部分
资产定价Leabharlann Baidu论
第一章 基于消费模型和 概述
基本思想

消费与投资之间的权衡 边际效用的关键作用 利率与边际效用 消费与边际效用
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消费与投资之间的权衡

一个投资者必须决定多少钱用来储蓄、多少钱 用来消费以及持有什么样的资产组合。最基本 的定价方程来自对于这种决策的一阶条件。今 天少消费一点、多购买一点资产的边际效用损 失等于未来多消费一点资产偿付的边际效用增 益。如果价格和偿付不满足这个关系，投资者 应该或多或少地购买资产。利用投资者的边际 效用来对偿付折现，由此得到资产价格应该等 于资产偿付的期望折现值。利用这一简单的观 念，我来表达金融中的许多结果。
风险校正的经济意义 (续)

为什么？投资者不喜欢关于消费的不确 定性。如果你购买一种偿付与消费正协 变的资产，那么当你已经感到有钱时， 你付出也多；当你已经感到缺钱时，付 出也少；这样的资产使你的消费流更为 波动。你将要求较低的价格来促使你购 买这样的资产。如果你购买一种偿付与 消费负协变的资产，它有助于平滑消费， 以至它比它可能指示的期望偿付更值钱。
收益的基本方程

由价格的基本方程可得收益的基本方程：
其中 i 表示对某种资产而言。利用
可得收益的风险校正：
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异质风险不影响价格


如果 ，那么 。这种资产 没有风险校正。其风险称为异质风险。 一般情况下，资产偿付可分解为
由于
异质风险 的价格为零。前半部分则称为系统风险。
无风险利率

无风险证券就是当前价格为 1、未来价格为常 数 的证券。利用基本方程可得
称为“影子”无风险利率，或 “零－beta”利率。
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与幂效用函数相联系

如果效用函数为幂函数，那么有
从而在无不确定因素情形下，
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表达式指出的三种效应
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为什么是协方差而不是方差？


投资者只关心其消费的波动。 如果他能够保持稳定的消费，那么他就 不关心其个体资产或资产组合的波动。 考虑消费的方差 ，偿付的小变化 引起的消费方差的变化为
这里方差的作用比协方差要小。
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这说明任何均值－方差有效收益负载了 所有价格信息。
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有意义的经典含义（续）
5.
利用任何均值方差有效收益（除了无风 险利率)，期望收益可描述为单 beta 表达式：
(第6章中将更深入地讨论这些关系。)
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有意义的经典含义（续）
风险校正

利用协方差的下列恒等式：
可得
这两项分别代表资产的时间价值和风 险价值。后者就称为价格的风险校正。
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风险校正的经济意义
为理解风险校正的经济含义， 把效用函数代入基本方程：
考虑到边际效用为正，且递减。由此 可得风险校正取决于消费与偿付的协 方差。
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随机游走和时变期望收益

如果效用函数是风险中性的(线性函数)， ＝1，且不考虑分红，那么由
可得 它也可写成
这意味着价格是鞅过程。如果 是常数，那么价格服从随机游走。
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随机游走的性质


随机游走假设成立意味着价格是不可预 测的。它与技术分析的观念相矛盾。这 一观念曾经取得很大的成功。 然而，近年来，已经积累了许多长期超 额收益是一定程度上可预测的证据，它 使资产收益经济解释的整个事业出现了 裂痕。
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1.2 边际替代率/随机折现因子
我们把基于消费基本方程劈开为
其中
称为随机折现因子或边际替代率。
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为什么称“随机折现因子”？

如果偿付不是随机的，那么
这里 是总无风险利率， 现因子。
就是折
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为什么称“随机折现因子”？ （续）
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期望收益-beta 表达式

期望收益方程也可记为
它称为 beta 定价模型。 是某种资 产的风险量。 通常解释为风险价格。 这些名词来自 CAPM 的传统。
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资本资产定价模型（CAPM)

令
。那么
因此， 这就 是CAPM. 下一小节将得到更一般的 CAPM。
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边际效用的关键作用

对资产价格的风险校正应该被资产偿付与边际 效用的协方差所驱动，因而也被资产偿付与消 费的协方差所驱动。其他条件相同的情况下， 一种资产处于衰退之类的坏自然状态，使投资 者感到不值钱而少消费，就比不上另一种处于 兴旺之类的好自然状态的资产，后者使投资者 感到值钱而多消费。前一种资产将以低价卖出； 其价格将反映一种关于它的“风险性”的折价， 并且这种风险性依赖于协方差，而不是方差。
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考虑非随机游走

基本方程也可记为
如果注意到这里的数学期望都是条件期望， 那么它就能够用来解释价格的可预测性。
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现值表述

一般多时期情况下的目标函数为
假定投资者能以价格 购买“分红流” { }, 那么一阶条件可求得定价公式为
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名义折现因子
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1.4 金融学中的经典结果
我利用基本定价方程的简单处 理来引入金融中的经典结果：利率 经济学，风险调整，系统风险对异 质风险，期望收益-beta 表达式， 均值－方差前沿，均值－方差前沿 的斜率，时变期望收益，以及现值 关系。
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对于幂效用函数的经济解释

对于满足
的幂效用函数来说，

如果消费增长服从对数正态分布，那么
说明均值－标准差前沿的斜率与风险厌恶和消 费波动成正比。
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股权溢价之谜




在过去的50年中，美国的实在股市收益均值为 9%，标准差为16％左右，而国库券的实在收 益只有1％左右。因此，Sharpe比为0.5. 总体非耐用商品和劳务消费增长大致为1%. 这 将意味着 =50! 总体消费与市场收益有0.2左右的相关，于是 这需要=250才能解释上述Sharpe比。 这就是股权溢价之谜。
人们无耐心 ( 较低) 时，实在利率较高。 2. 消费增长较快时，实在利率较高。 3. 较大时，实在利率对消费增长更敏感。 （这三种效应其实都是假定效用函数为幂函 数以及无不确定因素的情况下所引起的。 它们并非是理论导出的结果，而是对现实 中的这些现象用幂效用函数来建立模型。)
1.
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递推公式和风险校正

上述公式可写成递推公式
也可分解为时间价值和风险价值两部分：

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对于风险资产来说，有

基本方程就是这种情形的推广。因此， 就称为“随机折现因子”。
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其他名称
“随机折现因子”也可称为 边际替代率， 或 测度变换 或 状态价格密度。
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价格－偿付的各种表现
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6. 收益可分解为 “被定价” （或“系统”） 部分和“剩余” （或“异质”） 部分。“被定 价”部分与折 现因子完全相 关，“剩余” 部分不生成期 望收益。
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均值－标准差前沿的斜率 和股权溢价之谜

下列比值称为 Sharpe 比：

它意味着承担“单位风险”带来的收益。 对于前沿收益来说，
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利率与边际效用


利率是与期望边际效用增长有关的，因 而也与消费的期望路径有关。在高实在 利率的时候，储蓄、购买债券就有意义， 然后，明天就消费得更多。因此，高实 在利率应该与增长的消费期望相联系。 (这是对模型的一种经济解释，说明利率 高低可以用这一模型来说明。)
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风险校正的经济意义 (续)


保险是个极端的的例子。保险支付刚好 是在你的财富和消费遭难的时候－－当 你的房子被火烧了，你就得到一张支票。 就因为这个原因，你就乐于买保险，即 使你预料会有所损失－－即使保险的价 格高于其对无风险利率折现的期望支付。 （参加高尔夫俱乐部之类是否是另一个 极端的例子？）
3.
资产的均值和方差（标准差）必须在图 中的楔形区域内。其边界称为均值－方 差前沿。 前沿上的所有收益都与折现因子完全相 关。即 为+1或－1. 所有前沿收益也互相完全相关。两个前 沿收益可生成 (span) 所有前沿收益。 例如
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有意义的经典含义（续）
4. 对于任何前沿收益 a,b,d,e,使得 ，存在常数
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消费与边际效用



是边际效用，而不是消费，才用来作为我们感 觉的程度的基本度量。 资产定价理论的大部分有关怎样从边际效用走 向可观察的指标。当边际效用高时，消费就低， 消费当然就是一个有用的指标。 当投资者的其他资产不值钱时，消费也低，并 且边际效用高；这样我们可以期待，价格对于 与诸如市场组合那样的大指数正协变的资产来 说是低的。
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均值－方差前沿

下列不等式称为 Cauchy 不等式：
等式当且仅当 因此，
时成立。
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均值与标准差之间的关系

这一不等式意味着 在两条射线之间。
作为
的函数总
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有意义的经典含义
1.
2.
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股权溢价之谜的解释
1. 2.
3.
4.
投资者比我们想象的更厌恶风险。 最近50年来股票收益大大高于对于风险 的均衡补偿。 模型有一些深刻的错误，其中包括效用 函数的选取和总体消费数据的运用。 本书的最后一章要对此作专门讨论。
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消费增长服从对数正态分布

如果考虑不确定因素，假定消费增长服 从对数正态分布，即
服从正态分布，那么由 可得
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消费增长服从对数正态分布（续）
前两项仍然说明前面的三点，但现在多 了第三项它反映预防储蓄的影响。同时， 有风险厌恶的含义。
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