数学分析-第22章 曲面积分

§1 第二型曲线积分

1. 计算下列第一型曲面积分：

（1）⎰⎰+S dS y x

,)(22其中S 为立体0,122≥≤≤+a z y x 的边界曲面；

（2）

,22⎰⎰+S y x dS 其中S 为柱面222R y x =+被平面H z z ==,0所截取的部分； （3）⎰⎰S

xyzdS ,其中S 为平面1=++z y x 在第一卦限中的部分.

2. 求均匀曲面0,0,0,2222≥≥≥=++z y x a z y x 的重心.

§2 第二型曲面积分

1. 计算下列第二型曲面积分：

（1）⎰⎰+++-S dxdy xz y dzdx x dydz z x y )()(2

2，其中S 为由a

z y x z y x ======,0六个平面所围的立方体表面并取外侧为正向；

（2）⎰⎰++S xzdxdy yzdzdx xydydz

，其中S 是由平面1,0=++===z y x z y x 所围的

四面体面并取外侧为正向；

(3) ⎰⎰S yzdzdx ,其中S 是球面1222=++z y x

的上半部分并取外侧为正向;

2．设某流体的流速为)0,,(y k v =，求单位时间内从球面4222=++z y x 的内部流过球面

的流量。

3．计算第二型曲面积分

⎰⎰++=S

dxdy z h dzdx y g dydz x f I )()()(，

其中S 是平行六面体)0,0,0(c z b y a x ≤≤≤≤≤≤的表面并取外侧为正向， )(),(),(z h y g x f 为S 上的连续函数。

§3 高斯公式与斯托克斯公式

1. 应用高斯公式计算下列曲面积分：

（1）⎰⎰++S

dxdy z dzdx y dydz x 222，其中S 是锥面222z y x =+与平面z=h 所围空间区域)0(h z ≤≤的表面，方向取外侧；

（2）⎰⎰++S

dxdy z dzdx y

dydz x 333，其中S 是单位球面1222=++z y x 的外侧； （3）⎰⎰++S zdxdy ydzdx xdydz ，其中S 是单位球面222y x a z +-=

的外侧。 2．应用斯托克斯公式计算下列曲线积分： （1）dz y x dy z x dx z y L )()()(222222+++++⎰

，其中L 为1=++z y x 与三坐标面的交线，它的走向使所围平面区域上侧在曲线的左侧；

(2) dz x y dy z x dx y z L

)()()(-+-+-⎰,其中L 为以),0,0(),0,,0(),0,0,(a C a B a A 为顶点的三角形沿ABCA 的方向.

3. 求下列全微分的原函数:

(1) xydz xzdy yzdx ++;

(2) dz xy z dy xz y dx yz x )2()2()2(222-+-+-.