1月浙江自考试题及答案解析近世代数

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浙江省2018年1月高等教育自学考试

近世代数试题

课程代码：10025

一、单项选择题(在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的序号

填在题干的括号内。每小题3分，共15分)

1. 设集合A 含有n 个元素，那么A 的子集共有多少个?( )

A. n!

B. n 2

C. 2n

D. 2

1)n(n + 2. 下列法则，哪个是集A 的代数运算( )。 A. A=N a οb=a-b B. A=Z a οb=

2ab C. A=Q a οb=b

a D. A=R a οb=a+π 3. 设

则S 关于所给代数运算作成的代数体系中的可逆元素为( )。

A. a 与b

B. b 与c

C. c 与d

D. d 与a

4. 以下命题中，正确的是( )。

A. 任意一个环R ，必含有单位元

B. 环R 中至多有一个单位元

C. 环R 有单位元，则它的子环也有单位元

D. 一个环与其子环都有单位元，则两个单位元一定相同

5. p(素数)阶有限群的子群个数为( )。

A. 0

B. 1

C. 2

D. p

二、填空题(每空3分，共27分)

1. 设A={a,b,c,d}，则A 到A 的一一映射共有____________个。

2. 设G 是6阶循环群，则G 的生成元有____________个。

3. 非零复数乘群C*中由-i 生成的子群是____________。

4. 剩余类环Z 7的零因子个数等于____________。

5. 素数阶有限群G 的非平凡子群个数等于____________。

6. 剩余类环Z 6的子环S={［0］,［3］},则S 的单位元是____________。

2 7. 整环与主理想环的关系是____________。

8. 设Q 是有理数集，S={所有整数}∪{2},则Q(S)=____________。

9. 1+i 在实数域R 上的极小多项式是____________。

三、(第1、2小题各10分，第3小题14分，共34分)

1.设群G={(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23)}

i)写出G 中每个元素的阶；

ii)找出G 的所有子群。

2.设G 是整数加群Z ，H={mk|k ∈Z},商群G/H 含哪些元?G/H 中的零元是什么?G/H 中的运算是怎样的规定的?

3.求模8的剩余类环Z 8的所有子环。

四、(每小题8分，共24分)

1.设R=⎪⎭

⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛z b ,a b 00a ，那么R 关于矩阵的加法和乘法构成环，问： i)R 是否交换环?有没有单位元?

ii)找出R 的零因子和可逆元。

2.证明一个有限非交换群至少要有6个元。

3.高斯整数环Z ［i ］={a+bi|a 、b ∈Z}的子集S={a+bi|a 、b ∈2Z}，

i)证明S 是Z ［i ］的理想子环；

ii)求出Z ［i ］关于S 的一切陪集；

iii)说明Z ［i ］/S 不是域。