无穷小与无穷大

1.4 无穷小与无穷大

1.4.1 无穷小

1．无穷小量的定义

定义：如果x → x 0 （或x → ∞ ）时, 函数f (x ) 的极限为零 ,那么把f (x ) 叫做当x → x 0（或x → ∞ ）时的无穷小量，简称无穷小。 例如：因为

0)1(lim 1

=-→x x ，所以函数x-1是x →1时的无穷小。

因为

01lim =∞

→x x ，所以函数x 1

是当x →1时的无穷小。 因为

011

lim

=--∞

→x

x ，所以函数x -11是当x →－∞时的无穷小。

以零为极限的数列｛x n ｝，称为当n →∞时的无穷小，

n 1，n 3

2

都是n →∞时的无穷小。

注：⑴不能笼统的说某函数是无穷小，说一个函数f(x)是无穷小，必须指明自变量的变化趋向。

⑵不要把绝对值很小的常数说成是无穷小，因为这个常数在x →x 0（或x →∞）时，极限仍为常数本身，并不是零。

⑶常数中只有零可以看作是无穷小，因为零在x →x 0（或x →∞）时，极限是零。 2.无穷小的性质

在自变量的同一变化过程中，无穷小有以下性质：

⑴有限个无穷小的代数和仍是无穷小（无穷多个无穷小之和不一定是无穷小）。 ⑵有限个无穷小的乘积仍是无穷小。 ⑶有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小。（常数与无穷小的乘积仍是无穷小）。 ⑷无穷小除以具有非零极限的函数所得的商仍为无穷小。 例1．求

x x

x sin lim ∞

→ 解：∵1sin ≤x ，是有界函数， 而

01

lim =∞→x

x

∵有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小。 ∴

x x

x sin lim ∞

→＝0 3．函数极限与无穷小的关系

定理：具有极限的函数等于它的极限与一个无穷小之和；反之，如果函数可表示为常数与无穷小之和，那么该常数就是该函数的极限。 4．无穷小的比较

例：当x →0时，x, 3x ， x 2, sinx, x

x 1

sin 2

都是无穷小。 观察各极限：

032

0lim =→x

x x x 2比3x 要快得多 1sin lim 0

=→x x

x sinx 与x 大致相同 ∞=⋅=→→x x x

x x x x sin 1sin lim lim 020 sinx 比x 2慢的多 x x x x x x 1sin 1

sin

lim lim

220

→→= 不存在 不可比

极限不同，反映了无穷小趋于0的“速度”是多样的。

得到以下结论：设α和β都是在同一个自变量的变化过程中的无穷小

⑴如果αβlim

＝0，则称β是比α高阶的无穷小 ⑵如果αβ

lim

＝∞，则称β是比α低阶的无穷小 ⑶如果αβ

lim

＝k （k ≠0），则称β与α是同阶的无穷小 ⑷如果α

β

lim

＝1，则称β与α是等价无穷小，记为α～β。

例2．比较当x →0时，无穷小x x

---111

与x 2阶数的高低。 解：因为

111)1()1()1)(1(1111

lim lim lim lim 02202020=-=---+-=---→→→→x

x x x x x x x x x

x x x x x 所以

x x

---111

～x 2

例3．当x →1时，无穷小1－x 与1-x 3是否同阶，是否等价？ 解：

31

)1)(1(11121

31lim lim =++--=--→→x x x x x x x x 故同阶但不等价。

常用的等价无穷小：

当x →0时，sinx ～ x ； arcsinx ～x ； tanx ～x ；arctanx ～ x ； 1-cosx ～

2

2

1x ，ln(1+x)～x ; e x -1～x ；(1+x)a ～1-ax 1.4.2无穷大

1．无穷大量的定义

如果当x → x 0 （或x → ∞ ）时, 函数f (x ) 的绝对值无限增大,那么函数f (x ) 叫做当x → x 0（或x → ∞ ）时的无穷大量，简称无穷大。

注：⑴说一个函数是无穷大，必须指明自变量的变化趋向。如函数

x

1

是当x → 0 时的无穷大，当x → ∞时，它就不是无穷大，而是无穷小了。

⑵不要把绝对值很大的常数说成是无穷大，因为常数在x →x 0(或x →∞)时极限为常数本身，并不是无穷大。 2．无穷小与无穷大的关系

定理：在自变量的同一变化过程中，若f(x)为无穷大，则

)

(1

x f 为无穷小；反之，若f(x)为无穷小，且f(x)≠0，则

)

(1

x f 为无穷大。

例4．求

4

53

221lim +--→x x x x 解：当x →1时，分母x 2

-5x+4→0，因此不能直接使用商的极限法则，但f(x)的倒数

的极限

0324

5)(121

1

lim lim

=-+-=→→x x x x f x x 由无穷大与无穷小的关系可得

∞=→)(lim 1

x f x

1．5函数的连续性

1.5.1函数连续性的概念

1．函数的增量

定义：在函数y=f (x )中，当x 由x 0（初值）变化到x 1（终值）时，终值与初值之差x 1-x 0叫做自变量的增量（或改变量），记为Δx= x 1-x 0.

相应的，函数终值f (x )与初值 f (x 0)之差Δy ，叫做函数的增量。 注意：增量Δx 可正、可负；增量Δy 可正、可负或为零。 2．函数y=f (x ) 在x 0的连续性 先观察两个函数的图像的特点

当Δx →0时，Δy →0。 当Δx →0时，Δy 不趋向于零。

定义：设函数y=f(x)在点x 0及其近旁有定义，如果当自变量x 在点x 0处的增量Δx 趋近于零时，函数y=f(x)相应的增量)()(00x f x x f y -∆+=∆也趋近于零，那么就叫做函数y=f(x)在点x 0连续。用极限表示，就是