第1章电磁场理论基础

2. 矢量与标量相乘（数乘）
– 标量与矢量的积为矢量。
uA uAxe x uAye y uAzez
– 标量与矢量相乘满足交换律、结合律和分配律。
第1章 电磁场理论基础
矢量的加减 平行四边形法则
1.1.2 矢量的代数运算
3. 矢量的乘法
（1）矢量的标积 （点积 ）：为标量 。
• 等于两矢量的模与两矢量正向夹角的余弦三者之积
闭合面
n
SC
图1-1-4 开表面
第1章 电磁场理论基础
1.1.2 矢量的代数运算
1. 矢量的加减法
– 遵循平行四边形法则。 – 两矢量之和（或差）的直角坐标分量等于两矢量的
对应坐标分量的和（或差）。
A B Ax Bx ax Ay By ay Az Bz az
– 满足交换律与结合律。
（3）微分元矢量
dS ndS n
– 面微分元矢量通常称为面元矢量
dS ndS dydza x dxdza y dxdya z
dS
– 法向矢量n的确定
图1-1-3 面元矢量 dS
• dS为开表面上的面元，n的方向与围成开表面的
有向闭合曲线呈右手螺旋关系。
n
dS ndS
• dS为闭合曲面上面元，n的方向为闭合面的外法 线方向。
第1章 电磁场理论基础
1.1.3 矢量场的散度
1. 通量
– 元通量 dΨ：场矢量 F 穿过面元dS 的通量。
dΨ F •dS F cos dS
– 通量 Ψ ：场矢量 F 穿过任意曲面 S 的通量。
Ψ SF •dS S F cos dS
– 穿过闭合面的通量 ：Ψ F •dS F cos dS
物理意义明确：
S
S
若 Ψ 0，体积内存在着流体的源；
若 Ψ 0，体积内存在流体的汇（负源）；
若 Ψ 0，体积内正负源的总和为零。
第1章 电磁场理论基础
1.1.3 矢量场的散度
2. 散度
（1）散度的定义
divF lim SF • dS V 0 V （2）散度的运算
• 在直角坐标系中
divF Fx Fy Fz
– 矢量场的散度是指当体积趋向于零时，单位体 积内的矢量向外的净通量，是一个纯数值。
– 表示从一个点出发的场的通量，指出了在那个 点处的合成源。
1.1.4 矢量场的旋度
1. 环量 F • dl c
– 流速场中，无漩涡流动时 CF •dl 0
– 流体沿闭合回路作漩涡状流动时 F • dl 0 C
（3）微分元矢量
– 线微分元矢量通常称为线 元矢量
dl aldl
– 线元矢量可表示成三个坐 标分量的矢量和。在直角 坐标系中有
z
dl dl 3
O
y
dl1
x
dl 2
图1-1-2 直角坐标系中线元矢量 dl
dl dl1 dl2 dl3 axdx aydy azdz
第1章 电磁场理论基础
1.1.1 矢量和矢量场
• 在直角坐标系中 A • B A B cos
A
A • B Ax Bx Ay By Az Bz
• 满足交换律和分配律 A • B A cos
B
注：A• B 0
AB
B 图1-1-5 矢量的标积
第1章 电磁场理论基础
1.1.2 矢量的代数运算
A B
（2）矢量的矢积 （叉积 ）：为矢量。 n
第1章 电磁场理论基础
1.1 矢量分析 1.2 麦克斯韦方程 1.3 边界条件 1.4 正弦稳定状态下的场量 1.5 功率密度 1.6 无线电波的辐射 1.7 均匀平面波 1.8 惠更斯-费涅尔原理
1.1 矢量分析
1.1.1 矢量和矢量场
1. 标量（Scalar）和矢量（Vector） （1）定义
••di引散vF入度哈与a密微x尔分x顿 有算 相a子 似y 的y 运xa算z规az则xy•。xaxaFzyx
y
ay
az
Fy
z
a
z
Fz
•F
第1章 电磁场理论基础
1.1.3 矢量场的散度
（3）散度定理
V • FdV SF •dS
如 无界空间中，穿出任意闭合曲面S的电通量等
于S所围的体积中的总电荷，即 SD•dS V dV式中，
第1章 电磁场理论基础
1.1.1 矢量和矢量场
（2）矢量的表示方法
– 矢量可用其在坐标轴上的投影，即坐标分量表示 。 – 直角坐标系中
A Axa x Aya y A z a z
z Az
O
Ax x
z
A
Ay
y
Az
A
O
Ay
yΒιβλιοθήκη Baidu
Ax
x
图1-1-1 矢量A分解为直角坐标分量 第1章 电磁场理论基础
1.1.1 矢量和矢量场
A B n A B sin
A
– 在直角坐标系中
图1-1-6 矢量的矢积B
A B Ay Bz Az By ax Az Bx AxBz ay AxBy Ay Bx az
ax ay az A B Ax Ay Az
Bx By Bz
– 不满足交换律 ： A B B A
注：A B 0 A// B
o
ur
– 书写：黑斜体，如 A；或斜体字母上加一箭头，如 A 。
矢量 A的大小称为矢量A的模，记为 A 或 A 。
矢量 A的方向可用单位矢量 a（aa A A ）表示。
注：直角坐标系的基矢量用ax ，ay ，az 表示；
圆柱坐标系的基矢量用a ，a ，az 表示； 球坐标系的基矢量用 ar ，a ，a表示。
• 标量：只有大小、没有方向的量 ； 如：质量、时间、温度、功、电荷
• 矢量：既有大小又有方向的量 ； 如：力、力矩、速度、加速度、电场强度。
注：零既没有大小也没有方向，因常出现在矢量的运 算中，作为约定，将零称为零矢量。
第1章 电磁场理论基础
1.1.1 矢量和矢量场
（2）矢量的表示方法
AP
– 图示：带箭头的线段；
2. 环量面密度
lim CF • dl
S0 S
n
M S
C 图1-1-7 环量面密度定义用图
第1章 电磁场理论基础
1.1.4 矢量场的旋度
3. 旋度
（1）旋度的定义：若在点M处场矢量F在某 方向的环量面密度值最大，并记此最大环 量面密度值为R，定义旋度为
curlF R
为电荷体密度。试证明： • D。
证明 由高斯定理可得
D • dS • DdV dV
S
V
V
• D dV 0
V
•D
第1章 电磁场理论基础
1.1.3 矢量场的散度
• 散度定理：矢量场通过任意闭合面向外的 总通量等于矢量场的散度在闭合曲面所包 围的体积内的积分。体积分面积分
• 散度含义