复数求导课件

u
y' 2 cos 2 x 2e
2x
四、小结
1、复合函数求导的关键，在于首先把复合函数分解成 初等函数或基本初等函数的和、差、积、商，然后运用 复合函数的求导法则和适当的导数公式进行计算。 2、求导之后应该把引进的中间变量代换成原来的自变量。
五、家庭作业
• 一、书上P83 练习1 ：1、2、 • 二、P84 A组：1（1）、（2） （3）、（4）
2 cos x sin x sin 2 x
练习 1、求函数
y e
tanx
的导数
练习 2、求y ln sin x的导数 u
1、解： 设 y e , u tan x
eu , u yu x
y u u 1 e tan x 1 yx u x e 2 2
u
e
sin 2 x
sin 2 x
cos 2 x 2
cos 2 x
2e
综合运用求导法则求导
例6 求下列函数的导数
y sin 2 x e 2x 解：y (sin 2 x e )
2x
(sin 2 x) (e )
2x
cos u (2 x) e (2 x)
复合函数的求 导法则
复合函数的求 导法则
一、复习引入
引例1 求 y=sinx的导数 引例2 求 y=sin2x的导数
解1
解2
y (sin x) cos x y (sin 2 x) cos 2 x
(正确) (错误)
因为 y sin x 是基本初等函数；而 y sin 2 x 是 复合函数，其中 y sin u ，u 2 x。
如设 y f (u), u (v), v ( x), 那么对于复合函 数 y f {[ ( x)]} ，我们有如下求导法则：
y x ' yu 'u v 'vx '
x 例4 求 y tan 2
2
即
y f (u) (v) ( x)
的导数
练习 求 y esin 2 x 的复合过程 并求导数
(1) y eu , u sin v, v 2 x 解： Hale Waihona Puke Baidu2) y x ' yu 'u v 'vx '
u
(sin v) (2 x) (e )
e cos v 2 sin v e cos 2 x 2
2
得
y u 2 , u tan v, v x 解： 设
由
y x yu u v v x
x (u 2 ) (tan v)(v) 2u sec2 v ( ) y 2 1 x 2x 2 2 tan v sec v tan sec 2 2 2
其中： y : 表示 y对x的导数 x
yu : 表示 y对u的导数 u : 表示 u对x的导数 x
引例：
求
y sin 2 x 的导数
解：因为 y sin u , u 2 x 于是
yx yu ux (sin u) (2 x)x u
cos u 2 2 cos 2 x
解：设
u 1 x 1 yu , u x 2 x, 因为 u 2x 1 所以 y x y u u x (2 x) 2 u x 1
则
2
y ln u
例3 求函数
解：设
y cos x
2
2
则
的导数
yu
u cos x
因为
所以
2u, u sin x yu x y x yu u x 2u ( sin x)
二、复合函数的求导法则
法则5 设 y f (u ), u ( x ) ，且 u (x ) 在点 x 处可导， y f (u ) 在相应点 u (x ) 处可导。则函数 y f [ ( x)] 在点 x 处也 x 可导. 记作 y yu u x 或 记作 yx f (u) ' ( x)
三、举例
例1 求函数
解：设
yu
y (3x 2)
5
则
5
的导数
u 3x 2,
yx yu ux 5u 4 3 5(3x 2)4 3 15(3x 2)4
例2
5u 4 , u 3, yu x
y ln(1 x 2 ) 的导数 求函数
cos x
2、解： y ln u, u sin x
1 cos 2 x
cos x
x y yu u (ln u ) (sin x)x x u
1 1 cos x cos x cot x u sin x
复合函数的求导法则可推广到有限次复合的情形。