管理运筹学 排队论

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第十章 排队论
.如果货轮到达时间间隔是随机变量,码头卸货时间也为随 机变量,则构成一个随机服务系统。即便货轮到达时间间 隔的平均时间还为6小时，但每一个间隔时间Xi（i=1、 2……）并不都是6小时，只是指：
n
xi / n 6小时
i 1
同理，平均服务时间为4小时，从而会产生排队或服务空 闲时间。但事先无法确定。
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第十章 排队论
• 1、输入过程 刻划顾客按怎样的规律到达 服务系统，主要有以下几方面：
• 1）顾客总体（顾客源）数可能是有限的（例 厂内故障设备数）也可能是无限的（到达售票 窗口前的顾客总体）；
• 2）顾客可能是单个到达，也可能是成批到达； • 3）顾客相继到达的间隔时间分布可以是确定
型，也可以是随机型； • 4）顾客的到达可以是相互独立的，即以前的
到达情况对以后顾客的到来没有影响；
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第十章 排队论
• 5）输入过程可以是平稳的（指描述相继到达的
• 间隔时间分布和所含参数（如 x和 2等）
• 都与时间无关，否则称为非平稳的； • 6）具有不耐烦顾客的输入 • a）弃长队而去 • b）排队太久而去 • c）转队
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第十章 排队论
• 2、排队规则（到达的顾客按什么样的规则接受服务） • 1）损失制 即服务台一旦占用，顾客随即离去； • 2）等待制 顾客到达后须等待服务，服务次序为： • a）先到先服务 • b）后到先服务 • c）随机服务 • d）有优先权的服务 • 3）混合制（损失制与等待制的混合） • a）队长有限制的情形 • 队长<k，排队;队长>k，离去
• W总= 32W 32 1 32小时
•病人逗留时间和排队超过1小时的概率分别为：
P（W 1) e (1 )t e5(10.8)1 0.3679
P（Wq 1) e(1)t 0.8 e5(10.8)1 0.29424
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第十章 排队论
•医务室中病员大于K的概率
nk
1
k
j0
j
12 1.5
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第十章 排队论
• 服务强度：
1
1
1.5 2
0.75; 2
2
1.5 4
0.375;
3
3
1.5 12
0.125
每天实际可变费用：
V11 1000.75 75元;V22 1500.375 56.25元;
V33 2000.125 25元.
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第十章 排队论
1
20
第十章 排队论
• 4）正在接受服务的顾客平均数
• =0×0+1×（1- 0） • 2、L与Lq的关系
L
Lq
1
2
1
（1 1
）
即L Lq
•表示系统中平均人数等于队中平均人数加上正在接 •受服务顾客平均人数。
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第十章 排队论 • 3、 W与W q的关系
W
W
q
1
（1
）
（1
12
第十章 排队论
• b）等待（或逗留）时间有限制的情形 • 排队时间>t0,离去;反之排下去 • 4)从队伍的数目看,可以是单列,也可以是多列 • a)顾客可转移; • b)顾客不可转移;
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第十章 排队论
• 3、服务机构 • 1）服务员的数目 • 串列、并列、串并混合 • 2）服务方式 • 对单个顾客服务或对成批顾客服务 • 3）服务时间 • 分确定型和随机型服务时间
= / =1/4/1/3=3/4<1
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第十章 排队论
一台电机从到达到修理完毕的平均时间为：
W 1 1 12小时
1/31/ 4
一台电机排队的平均时间为：
Wq
3/ 1/31/ 4
9小时
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第十章 排队论
• 服务员空闲概率0=1- =1-3/4=1/4 • 每天空闲时间=1/4×8=2小时/天 • 系统中平均人数L= /(1- )=3/4/1/4)=3人 • 系统中平均队长Lq= 2/(1- )=3/42/1/4=9/4人
运筹学
上海应用技术学院经管学院
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第十章 排队论
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第十章 排队论
• §10.1概述
• 排队论（Queing Theory）也称随机服务 • 系统。任何一个服务系统均由客体和主 • 体组成。前者是要求服务的对象，我们 • 一律称之为“顾客”；后者是提供服务的 • 机构或人员，一律称之为“服务员”。顾 • 客可泛指机器、病人、飞机、轮船等， • 服务员可泛指机修工、医生、码头等。
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第十章 排队论
• 二、表示排队模型的符号 • D.G.Kendall 于1953 年提出排队符号: (i/j/c) • i:到达过程的分布;j:服务过程分布;c:服务员数 • 到了1971年进一步定为：
(到达分布/服务分布/服务员数/系统容量/顾客源/排队规则)
(M/M/1/∞/∞/FCFS)
常规表示法为(M/M/1)
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第十章 排队论
• 三、排队模型中常用参数 • ：到达速度（单位时间到达顾客数）； • ：服务速度（单位时间服务完成数）；
• 1/ ：相继顾客到达的平均间隔时间； • 1/ ：一个顾客的平均服务时间；
• =（1/ ：1/ ）= / 称为服务强度，指相同 时
• 间区间内顾客到达的平均数与能被服务完的平均 顾
4车 / 小时；
3
6000 袋 / 小时 500 袋 / 车
12车小时
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第十章 排队论
.
一辆车在系统中的平均停留时间为:
W1
1
1
1 2 1.5
2(小时);
W2
1
2
1 4 1.5
0.4(小时)
W3
1
3
1 12 1.5
0.095(小时)
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第十章 排队论
因此,每天货车在系统里逗留时间的平均损失费为:
7
第十章 排队论
对于随机服务系统希望知道：
1、在系统中平均队长L——从长远来看，平均等待 服务加上正接受服务的货轮期望数；
2、务在的队货中轮平期均望队数长；Lq——从长远来看，平均等待服
3、系统中平均逗留时间
——从长远看，任一
入进系统货轮用于等待服务W加上接受服务的期望时间；
4、进在队中平均等待时间W q ——从长远看，任一
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第十章 排队论
例：某港口装卸台负责货轮装卸工作，货轮即顾客以 某固定周期间隔到达港口，比如每隔a=6小时到达一艘， 而装卸台卸货需要一段时间，假定它对每艘货轮的服 务时间也是定长的，比如每艘需卸时间为s=4小时。这 一服务系统的特征是到达和服务时间均是确定不变的 定长。 结论： 如果s<a,则服务员的空闲时间为总时间的 a s倍； 如果s=a，则服务员得到充分利用，且无货轮等待a ； 如果s>a，则形成等待卸货队伍，且队长不断增加。
入系统货轮用于等待服务的期望时间。
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第十章 排队论
• 一、服务系统的结构 • 假如将要求服务的对象统称为“顾客”， • 进行服务的统称为“服务机构”或“服务员”，
一 • 个排队系统就能抽象地描述为： • 为了获得某种服务而到达的顾客，若不能立即 • 获得服务，而又允许排队等待，则加入等待队 • 伍，获得服务之后离开系统。 • 作为服务系统基本上由三个部分组成：
1
k j 1
j (1 )
1 (1 ) 1 k1 1
k1
• 若要计算系统中大于10个病人的概率,则:
• n>10= 11=0.811=0.086 • 即医务室中大于10个病人的概率仅为8.6%
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第十章 排队论
例2、某电机修理车间，每天平均有2台电机到达修理。 负责修理的是1名修理工，平均每3小时修完1台。若到 达为泊松分布，修理时间为负指数分布，求1台电机从 到达到修理完毕的平均时间及修理工人每天的平均空 闲时间（每天以8小时计） 解：本问题属(M/M/1/∞/∞/FCFS)模式 到达速度=2台/8小时=1/4 台/小时 服务速度=1台/3小时=1/3 台/小时
1 小时 / 车 10元 / 小时 15车 / 天
方案1： 1 1 ; 2 10 15 300 元 / 天
1 2 1.5
方案2： 1 1 0.4,0.410 15 60元 / 天;
2 4 1.5
方案3 : 1 1 0.095,0.095 10 15 14.25元 / 天
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第十章 排队论
• 例3、某装卸台装卸设备的设计方案中，有三个 • 方案可供选择，有关费用见下表：
方 案 每天固定费 每天可变操 每小时装卸率 用Fi（元） 作费Vi（元） μi（袋）
1 60
100
1000
2 130
150
2000
3 250
200
6000
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第十章 排队论
设货车按Poisson流到达，平均每天（按10小时计算）到达15 车，每车平均装货500袋，卸装时间遵从负指数分布，每辆车
• 客数之比；
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第十章 排队论
• 四、系统的稳态性态
• 1、 j——稳态概率 • j定义为稳态系统中有j个顾客（包括正在服务
的）
•
的概率。
j
j 0
j 0
0=1- ——称为系统空闲的概率
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第十章 排队论
• 2、
L
j0
j j
（系统人数） 1
•
3、 Lq
（j 1） j
j 1
2
（排队人数）
若在某一时刻有一顾客到达时，如系统中已有K个顾客， 那个顾客就被拒绝进入系统
当系统已满（N=K），则到达率=0，所以有必要找出
有效的到达率e
e=（1-Pk）
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第十章
• 系统的状态概率：
3
•.
服 务 系 统
第十章 排队论
顾客:机器、飞机、轮船、病人…… 顾客到达——等待服务——接受服务——顾客离去
服务员：机修工、码头设备、医生……
到达时间>服务时间
系统空闲
到达时间=服务时间 充分利用,无排队
到达时间<服务时间
排队越来越长
4
第十章 排队论
问题是: 到达间隔、服务时间均为随
机变量，这也是随机服务系统 的基本特征。所以难以确定系 统状态，只能求期望值。我们 希望借助随机服务系统理论来 揭示这些规律。
1
•
4、
W
1
（1
）
1 （逗留时间）
•
5、
Wq
（1
）
（等待时间）
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第十章 排队论
进入系统的顾客逗留时间超过t的概率。
• 6、 •{w s t} e（1）t
进入系统的顾客等待时间超过t的概率。
• 7、 • P{wq t} e（1）t
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第十章 排队论
• 五、稳态性态中各量值的分析 • 1、 =/ 的意义 • 1）平均到达速度与平均服务速度之比； • 2）服务员利用率 • =1- 0 • 3）一个平均服务时间内到达的顾客平均数
）
1
•系统逗留时间减排队时间恰为服务时间的期望值。
W
W q
1
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第十章 排队论
• 4、
L W
L W
1
/
1
（1
）
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第十章 排队论
• 5、
Lq W q
Lq Wq
2
1
/
（1
）
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第十章 排队论
• §10.2 M/M/1模型实例 • 例1、某厂有几千名工人，医务室平均每小时约有4 • 位工人来看病，医生每小时平均诊断约5个病人，若 • 到达时间间隔服从普阿松（Pisson）分布，服务时间 • 服从负指数分布，试分析该系统。 • 解：本例属标准(M/M/1/∞/∞/FCFS)问题， • 已知=4人/小时； =5 人/小时， =/ =4/5=0.8 • 系统队长L= /(1- )=0.8/(1-0.8)=4人; 平均4人排队和看病 • 队长Lq= 2/(1- )=0.82/(1-0.8)=3.2人;平均有3.2人在排队 • 或 Lq= L- =4-0.8=3.2人
停留一小时的损失费为10元，问该选择哪个方案？ 解：本系同属M/M/1模型
平均到达率=15/10=1.5车/小时 服务率1=(1000袋/小时)/(500袋/车)=2车/小时 或=1.5×500=750袋/小时; 1=(1000袋/小时)
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第十章 排队论
2
2000 袋 / 小时 500 袋 / 车
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第十章 排队论
•工人在医务室平均逗留时间：
W 1 1 1小时
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•病人平均在医务室内排队和看病时间约为1小时。 •工人在医务室平均排队时间：
Wq
0.8 54
0.8小时
•病人平均在医务室内排队时间约为0.8小时。
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第十章 排队论
• 系统空闲概率0=1- =1-0.8=0.2 • 系统忙的概率1- 0= =0.8 • 以该厂每天工作8小时计,则每天平均来看病的人数为: • L总=8 =8×4=32人/天; • 全体病人每天平均等待看病所化时间为:
.
各方案总费用:
方案
1
固定费用Fi 可变费用Vi
(元)
(元)
60
75
逗留费用 (元)
300
2 130 56.25 60
3 250
25 14.25
总费用 (元)
435
246
289.25
结论:应选方案2。
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第十章 排队论
§10.3容量有限的M/M/1/K/∞/FCFS模型
本模型与前相比为系统容量有限。