参数估计和假设检验(精)

参数估计和假设检验 一． 参数估计 估计的原理：

在前面我们已经得到样本统计量的如下分布： （1）X 2

(,)n

σμ

（2）

2

2(1)2

n n s χσ-⨯ （3） p (,

)pq

p n

（4）22

12

12121

2

()(,)X X n n σσμμ--+

（5） 1122

121212

()(,

)p q p q p p p p n n --+ （6）

2

12

12

12222

(1,1)s F n n s σσ--

（7）当总体的方差2σ

(1)n t - 对于事先确定的置信概率，我们可以构造一个不等式区间，利用这一不等式区间来进行估计，例如已知样本容量和样本均值以及总体的方差，要求以95％的置信概率来估计总体的均值，利用统计量

X 2

(,

)n

σμ，则我们知道X 落入μ±

这一区间的概率是95％，

也就是X μμ-≤≤+这一不等式成立的概率是95％，由

于在这一不等式中σ、X 、n 为以知，故可得出：

X X μ-≤≤+则估计完毕。

同样在知道样本容量及样本方差的情况下可以利用2

2(1)

2

n n s χσ-⨯ 来对总体的方差进行估计

在知道样本容量和样本比例的情况下利用 p (,)pq

p n

来对总体比例进行估计

利用22

12

12121

2

()(,)X X n n σσμμ--+

来估计12μμ-

利用 1122

121212

()(,

)p q p q p p p p n n --+ 来估计12p p - 利用

2

12

12

12222

(1,1)s F n n s σσ-- 来估计2

122

σσ

在总体的方差2σ

(1)n t - 来估计μ

利用匹配样本来估计两个总体均值的差：见书P194页

样本容量的确定：

在估计总体的均值、比例和两个总体的均值之差和比例之差时，估计的误差E ，主要由置信概率所决定的区间长度确定的，例如在利用样本均值来估计总体均值时，假设置信概率为95％，则

利用这一等式，显然在E 、σ确定时，也就可以计算出n 。

在估计总体的比例和两个总体的均值之差和比例之差时，样本容量的确定也可以以此类推。

二.假设检验

假设的建立：我们将希望出现的结果作为备择假设

H,而将与备择

1假设对立的结果作为原假设

H。

假设检验的原理：从证实的角度看要证明备择假设

H是很困难的，

1而一旦原假设

H成立，则1H就肯定不会成立，但如果0H不成立，

也并不意味着

H就肯定会成立，在这种情况下，我们只能说1H可

1

能会成立。因此我们是通过检验原假设

H来对备择假设的命题是

否成立进行检验。

检验的方法：首先是利用原假设

H确定总体的参数服从某一分布，

然后在假定总体的参数服从这一分布的情况下，利用上面的（1）－（7）个统计量求样本出现的概率，如果样本落在大概率区间，则接受原假设，备择假设肯定不成立，如果样本落在小概率区间就拒绝原假设，则备择假设有成立的可能性。

检验一个假设：一枚硬币是均匀的，采用如下的决策规则：（1）如果在投掷100次的一个样本中，正面出现的次数在40-60之间，就接受假设，（2）否则，就拒绝假设

求：A.当假设正确时，拒绝假设的概率？

B.用图形解释决策规则，和A中的结果

C．如果在100次的投掷中，产生了53次正面、60次正面，

是否支持原假设？

D.在C中，你的结论会犯错误吗？请解释

E．如果真实情况是正面出现的概率为0.7时，接受硬币是均匀的这一假设的概率是多少？

应用范围：可以检验总体的均值、总体的方差、总体的比例、两个总体的均值之差、两个总体的比例之差、两个总体的方差比。

两类错误与α的确定：在假设检验中存在着两个类型的错误，弃真和取伪（见书P214页），如果要减少弃真错误，就要增加大概率区间1α

-，而增加大概率区间也就增加了取伪错误，因此要减少一种类型的错误，势必要增加另一种类型的错误，一般的原则是首先控制犯α错误的概率。

单侧检验和双侧检验：要根据备择假设的形式来确定，

H可以是

1

不等于、大于、小于，而相应的就是双侧、左侧、右侧检验。

匹配样本的检验：见书P238页

两个总体比例之差检验中，原假设的差异所带来的检验方法的差异：见书P235页

练习：

1．在测量反映时间中，一位心理学家估计的标准差是0.05秒，

他必须取多大容量的样本才能保证以95%的置信水平使他的反应时间的均值的估计误差不超过0.01秒

2．一个球的直径的10个测量样本给出的均值为4.38厘米，样本的标准差为0.06厘米，求实际直径的95%的置信区间3．在一个社区中，随机选择100个投票者，发现有55%是支持特定候选人的，求全体投票者支持该候选人的95%的置信区间

4．在看某一个电视节目的400个成年人和600个青少年的随机样本里，发现有100个成年人和300个青少年表明喜欢，以95%的置信概率求青少年和成年人喜欢该电视节目的比例之差。

5．某校有100个男生，从中随机挑选16个男生，其身高的标准差为2.4厘米，要求以95%的置信概率求该校男生身高标准差的置信区间。

6．一种专利药物的制造者宣称在8小时内该药物减轻病情的有效率为90%，今以200个病人为样本，发现该药对160人有效，要求以0.01的显著性水平检验厂商的说法是否正确7．两个班分别有40和50个学生，进行一场测验，第一班平均成绩为74分，标准差为8，第二班的平均成绩为78分，标准差为7，要求以0.05的显著性水平检验这两个班的成绩是否有显著的差异

8．A、B两群人，每群各有100个病人，给A群一种药，而不