工程力学09-圆轴扭转的应力

计算轴的最大切应力 Mx 1500 N.m 6 tmax= = -6m3 = 51×10 Pa =51MPa ≤[t ] WP 29.4×10 故：传动轴满足强度条件 2）将轴该实心，在相同条件下确定轴的直径 ∵ M实(=[t ]WP实)=M空(= [t ]WP空) ∴ WP实= WP空
3 pD1 WP实= = WP空 = 29.4×10-6m3
9.1 工程中上传递功率的圆轴 及其扭转变形
工程实例
M
扭转变形
Me γ Me
j
受力特点：横截面上作用有一对力偶Mx
变形特点：相邻横截面发生绕轴线相对力学》
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pD4(1-a4)
32
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9.3 圆轴扭转时的切应力分析
Me Me x
j
dx
公式推导（略） 截面上任意点切应力 Mxr (9-8) t(r)= Ip
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9.4 承受扭转时圆轴的 强度设计与刚度设计
9.4.1 扭转实验与扭转破坏现象 韧性材料：以达到屈服强度ts为破 坏标志；试件断口为横截面。 破坏表现为受切应力作用而 被剪切断裂 脆性材料：以达到强度极限tb为破 坏标志；试件断口为45°螺旋面。 破坏表现为微元体受拉断裂
9.1 工程中上传递功率的圆轴 及其扭转变形
微元体变形
Me
Me γ
Me γ Me
j
t’ t t’
j
t
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9.2 切应力互等定理
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圆轴扭转概念
圆轴受扭转时的内力、变形、应力
扭转切应力计算 圆轴扭转时的强度和刚度设计
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(9-16)
(9-15)
[t ]=(0.5~0.577)[s ](9-16)
3)强度设计应用举例
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例9-3 由无逢钢管制成的汽车传动轴，外径 应用举例 D=90mm，壁厚d=2.5mm，材料为45钢，许用切应 力[t ]=60MPa，工作时最大外扭矩Me=1.5kNm。 1）试校核该轴的强度
同材料的质量比等于体积比；同长度轴的体积比等于面积比
实心圆轴面积 2 pD1 p(0.0531m)2 A1 = = 22.2×10-4m2 = 4 4 Me 空心圆轴面积 A2 =
Me
p(D2-d2)
4
= 6.87×10-4m2
A2 6.87×10-4m2 = -4m2 = 0.31 A1 22.2×10 讨论：……
(9-18)
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9.5 结论与讨论
9.5.1 关于圆轴强度与刚度设计 Mxr Mx 180 (9-8) t(r)= q= × p ≤[q ] (9-18) Ip GIp Mxrmax Mx (9-11) tmax= 仅适用于圆形截面 = Ip Wp 9.5.2 矩型截面杆扭转时的应力
Me Me
16
D1 = 0.0531m = 53.1mm
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3）比较实心轴和空心轴的质量
D1 = 0.0531m , D = 0.090m , d=0.085m,
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例9-1 牙嵌离合器传递功率P=7.5kW，转速 应用举例 n=100r/min。若已知实心轴直径d1=45mm；空心 轴内、外直径之比a=0.5，D2=46mm。试确定实心 轴与空心轴横截面上的最大切应力。
16
×(1 – 0.9444)
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Mx=Me=1.5kN.m
应用举例 WP= 29.4×10-6m3 [t ]=60MPa
解： 2)计算两段轴最大应力 空心轴： M 16Mx x tmax= = pD 3(1–a4) Wp 2 16×716.2N.m = p(46×10-3m)3 (1–0.54) = 40×106Pa=40MPa 3)讨论（用料比）
D2 d2 d1
452 W1 A1 d 12 = = D 2(1–a2) = 462(1–0.52) =1.28 W2 A2 2 #
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9.4 承受扭转时圆轴的 强度设计与刚度设计
9.4.2 抗扭强度设计 1)圆轴扭转强度设计准则 tmax≤[t ] 2)设计准则中的许用切应力[t ] 脆性材料： [t ]= tb nb 韧性材料： [t ]= ts ns 且有： [t ]=[s ]
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9.4 承受扭转时圆轴的 强度设计与刚度设计
9.4.3 抗扭刚度设计（简介） 1)圆轴扭转刚度设计准则 q = dj ≤[q ] (rad/m) dx Mx d j = Mx ≤[q ] q= dx GIp GIp 2)工程中常用计算公式 Mx 180 q= × p ≤[q ] (°/m) GIp 3)应用举例（略）
M M
翘曲变形
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结束
微元体受力平衡
y
Me
t’ t
z
y
Me γ
t’ t
j
t
x
t
O
t’
t’
x
切应力互等定理
t = t’
(9-1)
如果在微元的一对面上存在切应力，另一对与 切应力作用线相互垂直的面上必然有大小相等、方 向相反或相对或相背的一对切应力，以使微元保持 平衡。——切应力互等定理
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例9-1 牙嵌离合器传递功率P=7.5kW，转速 应用举例 n=100r/min。若已知实心轴直径d1=45mm；空心 轴内、外直径之比a=0.5，D2=46mm。试确定实心 轴与空心轴横截面上的最大切应力。
9.3 圆轴扭转时的切应力分析
Me Me x
j
dx
公式推导（略） 截面上任意点切应力 Mxr (9-8) t(r)= Ip 式中： Mx—截面扭矩 r—应力到轴线距离 IP—截面极惯性矩 Ip =
r
g
d
R
r
gr
e
e’
c
O a dj a’ b b’
dx
O
dj
r
tr
∫ r2dA
A
pd4 IP =
32
IP =
2）如将轴该为实心轴，试在相同条件下确定 轴的直径 3）比较实心轴和空心轴的质量 解：1）校核该轴的强度 轴的截面扭矩：Mx=Me=1.5kN.m 抗扭截面系数： a = d/D = 85/90 =0.944 WP=
Me Me
pD3(1-a4)
16 = 29.4×10-6m3
=
p(90×10-3m)3
#
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应用举例 例9-4 木制圆轴受扭。直径为d=150mm，圆轴沿 木材顺纹方向的许用切应力[t ]顺=2MPa；沿横纹 方向许用切应力[t ]横=8MPa。求：轴传递的许可 Me Me 力偶矩。 解：1）分析 由切应力互等定理知： 圆轴工作时同一处微元体上 (tmax)顺=(tmax)横 2）计算许可力偶矩 Mx 16Mx tmax= ∵ =1.325×103N.m = pd3 ≤[t ]顺 Wp pd3[t ]顺 =1.325kN.m ∴ [Me]=Mx= 16 p (150×10-3m)3×(2×106Pa) = 16 #
截面上最大切应力 r x 当r→rmax时，tr→ tmax，有： Mxrmax Mx (9-11) tmax tr tmax= = Ip Wp Ip 令： (9-12) —截面的抗扭截面系数（模量） WP = r Ip pd3 WP = R = 16
max
Mx
tmax
Ip pD3(1-a4) WP = R = 16
解： 1)计算外力偶矩及扭矩 P Mx= Me= 9549 n 7.5 =9549× 100 N.m = 716.2N.m 2)计算两段轴最大应力 实心轴： Mx 16Mx 16×716.2N.m tmax= = pd 3 = p(45×10-3m)3 Wp 1 = 40×106Pa=40MPa
D2 d2 d1