现代控制理论离散

一、离散系统的状态空间描述
–简记为 x k 1 Gx k hu k
y k cx k du k
–式中G为系统矩阵，h、G是能控标准形。由 此可见
• 离散系统状态方程描述了(k+1)T时刻的状态与 kT时刻的状态、输入量之间的关系；
• 离散系统输出方程描述了 kT时刻的输出量与 时刻的状态、输入量之间的关
一、离散系统的状态空间描述
–利用z反变换关系
Z1 xi z xi k, Z 1 zxi z xi k 1
–可得
x1 k 1 x2 k
x2 k 1 x3 k
M
xn1 k 1 xn k
xn k 1 a0x1 k a1x2 k L an1xn k u k
yk 0x1 k 1x2 k L n1xn k
r(t)
r* (t )
0
t 0
t
y(t )
u( t )
0
t
0
t
二、连续系统的时间离散化
3、三点基本假设
– 离散方式是普通的周期性采样
• 采样是等间隔进行的，采样周期为T；采样脉冲 宽度远小于采样周期，因而忽略不 计；在采样 间隔内函数值为零值
– 采样周期T的选择满足香农采样定理
• 离散函数可以完满地复原为连续函数的条件为 s 2c 或 T / c ，其中 s 2 / T 为采样频 率，c 为连续函数频谱的上限频率
一、离散系统的状态空间描述
–经典控制理论中，线性离散系统的动力学方 程是用标量差分方程或脉冲传递函数来描述 的。线性定常离散系统差分方程一般形式为
y k n an1y k n 1 L a1y k 1 a0 y k bnu k n bn1u k n 1 L b1u k 1 b0u k
a0Q
0Q
z
z
u
z
一、离散系统的状态空间描述
–定义如下一组状态变量：
x1 z Q z
x2 z zQ z zx1 z
M
wk.baidu.com
xn z zn1Q z zxn1 z
–于是
znQz zxn z a0x1 z a1x2 z L an1xn z uz
y z 0x1 z 1x2 z L n1xn z
式中 k表示 kT 时刻，T 为采样周期；yk为 kT 时刻的输出量， uk为时刻 kT 的输入量；ai ,bi 是与系统特性有关的常系数。
一、离散系统的状态空间描述
–初始条件为零时，离散函数的z变换关系为
z y k y z, z y k i zi y z
–对式(1)进行z变换，整理为
r(t)
T r*(t)
u(t )
零阶保持器
y(t ) 连续系统
r*(t) r(t) (t kT ) r(kT ) (t kT )
k0
k0
其中： (t kT )称为单位移位脉冲，作为取样函数。t kT表示采样值
采样器：将连续信号r(t)调制成离散信号r*(t)。
零阶保持器：将离散信号r*(t)转为阶梯信号u(t)
Gz
yz uz
bn zn bn1zn1 L b1z b0 zn an1zn1 L a1z a0
bn
zn1 n1
L
zn an1zn1 L
1z 0
a1z a0
bn
N z Dz
– G(z)称为脉冲传递函数
一、离散系统的状态空间描述
G(Z)称为脉冲传递函数。显见G(z)与
G(s)
z2 z 1
W (z) z3 2z2 5z 6 ， 2 z3 2z2 5z 6
于是直接写出它的一个状态空间描述（标准I型）为
这里
0
x(k)
0
6
y(k) 1 1
1 1
0
0
1
x(k
)
0u，(k )
Gx(k)
hu(k )
5 2
1
1x(k) 2u(k) cx(k) du(k)
Y (s) U (s)
B(s) A(s)
bmsm bm1sm1 b1s b0 sn an1sn1 a1s a0
在形式上是相同的，故连续系统动态方程的建
立方法，对离散系统是同样适用的
–引入中间变量Q(z)，则有
znQ
yz
z
an1zn1Q z n1zn1Q z
L
L
a1zQ z 1zQ z
0 1 0
0
G
0
0
1
h 0
6 5 2
1
10
c 1 11 d 2
二、连续系统的时间离散化
1、离散化的必要性
–计算机所需要的输入和输出信号是数字式的 ，时间上是离散的；
–当采样周期极短时，离散系统可近似地用连 续系统特性来描述
二、连续系统的时间离散化
2、离散化方法：(采样器+保持器)
–进一步可推广到MIMO系统（G,H,C,D）
例 离散系统的差分方程为
y(k 3) 2 y(k 2) 5 y(k 1) 6 y(k) 2u(k 3) 3u(k 2) 11u(k 1) 13u(k)
试写出该离散系统的一个状态空间描述 。 解 由差分方程写出相应的脉冲传递函数 ：
2z3 3z2 11z 13
一、离散系统的状态空间描述
–其矢量-矩阵形式为
x1 k 1 0 1 0 L
x2
k
1
0
0
1
L
M M M M O
xn1
k
1
0
0
0
L
xn k 1 a0 a1 a2 L
0
0
M
1
an1
x1(k) 0
x2 (k )
0
M M u k
xn
1
(k
)
0
xn (k) 1
y k 01L n1 x k bnu k
– 保持器为零阶保持器
二、连续系统的时间离散化
4、连续时间系统的离散化模型
x Ax Bu
线性定常系统：
y
Cx
Du
离散化模型为：
x[(k
y(kT
)
1)T] G(T )x(kT) Cx(kT) Du(kT)
H (T
)u(kT )
G(T ) (T ) e AT
其中： H (T ) T (t)dt B T e Atdt B
离散系统状态空间法
一、离散系统的状态空间描述
➢完全离散的系统，其输入量、中间传递的信号、输出 量等都是离散信息；
➢局部离散的系统，其输入量、受控对象所传送的信号 、输出量等都是连续信息。唯有系统中的计算机传送 处理离散信号，这时，连续部分在采样点上的数据才 是有用信息，故需将连续部分离散化；
➢ 为研究方便，不论完全或局部的离散系统，均假定采 样是等间隔的；在采样间隔内，其变量均保持常值