2021届高三数学一轮复习——破解导数压轴题微训练

2021届高三数学一轮复习——破解导数压轴题微训练

[经验分享]

通过对以函数与导数为核心命制的压轴题的分析与研究，发现大多数需构造辅助函数才能顺利解决，构造辅助函数对学生的创造性与创新性思维能力的要求较高，那么辅助函数的构造有规律可循吗？构造辅助函数解决压轴题的具体策略有哪些呢？

策略一观察分析构造

观察是科学研究的重要方法，也是数学解题的首要心理活动，更是构造辅助函数最为直接的策略．

例1已知函数f (x)＝(x－2)e x＋a(x－1)2有两个零点．

(1)求a的取值范围；

(2)设x1，x2是f (x)的两个零点，证明：x1＋x2<2.

(1)解a的取值范围为(0，＋∞)；

(2)证明求导得f′(x)＝(x－1)(e x＋2a)，由(1)知a>0.

所以函数f (x)的极小值点为x＝1.

结合要证结论x1＋x2<2，即证x2<2－x1.若2－x1和x2属于某一个单调区间，那么只需要比较f (2－x1)和f (x2)的大小，即探求f (2－x)－f (x)的正负性．

于是通过上述观察分析即可构造辅助函数F (x)＝f (2－x)－f (x)，x<1，代入整理得F (x)＝－x e－x＋2－(x－2)·e x.求导得F′(x)＝(1－x)(e x－e－x＋2)．即x<1时，F′(x)<0，则函数F (x)是(－∞，1)上的单调减函数．于是F (x)>F (1)＝0，则f (2－x)－f (x)>0，即f (2－x)>f (x)．

由x1，x2是f (x)的两个零点，并且在x＝1的两侧，所以不妨设x1<1

由(1)知函数f (x)是(1，＋∞)上的单调增函数，且x2，2－x1∈(1，＋∞)，所以x2<2－x1.

故x1＋x2<2得证．

点评此题的压轴问以函数零点为依托，看似证明不等式，实则是极值右偏问题，解决的核

心是通过观察分析构造辅助函数F (x )＝f (2－x )－f (x )，建立抽象不等式“f (x 2)

策略二 整体构建

整体思路是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，把某些式子或图形看成一个整体，进行有目的、有意识的整体处理．整体构造辅助函数就是立足这一思想来解决函数综合题的一种策略．

例2 (2017·全国Ⅱ)已知函数f (x )＝ax 2－ax －x ln x ，且f (x )≥0.

(1)求a ；

(2)证明：f (x )存在唯一的极大值点x 0，且e －2

2.

(1)解 a ＝1；

(2)证明 由(1)知f (x )＝x 2－x －x ln x ，

求导得f ′(x )＝2x －2－ln x .

整体构造辅助函数g (x )＝2x －2－ln x ，

求导得g ′(x )＝2－1x

. 当g ′(x )>0时，x ∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞；

当g ′(x )<0时，x ∈⎝⎛⎭⎫0，12.即函数g (x )在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上单调递增，在⎝⎛⎭

⎫0，12上单调递减． 又g (e －2)>0，g ⎝⎛⎭⎫12<0，g (1)＝0，所以g (x )在⎝⎛⎭⎫0，12内有唯一零点x 0，在⎣⎡⎭

⎫12，＋∞内有唯一零点1，且当x ∈(0，x 0)时，g (x )>0；当x ∈(x 0,1)时，g (x )<0；当x ∈(1，＋∞)时，g (x )>0.因为f ′(x )＝g (x )，所以x ＝x 0是f (x )的唯一极大值点．

由f ′(x )＝0得ln x 0＝2(x 0－1)，故f (x 0)＝x 0(1－x 0)．

又由x 0∈⎝⎛⎭⎫0，12得f (x 0)<14

. 又因为x ＝x 0是f (x )在(0,1)上的最大值点，结合e －1∈(0,1)，f ′(e －1)≠0，得f (x 0)>f (e －1)＝e －2. 所以e －2