初二数学-尺规作图总结

初二数学
尺规作图
一、理解“尺规作图”的含义
1•在几何中，我们把只限定用直尺（无刻度）和圆规来画图的方法，称为尺规作图•其中直尺只能用来作直线、线段、射线或延长线段；圆规用来作圆和圆弧•由此可知，尺规作图与一般的画图不同，一般画图可以动用一切画图工具，包括三角尺、量角器等，在操作过程中可以度量，但尺规作图在操作过程中是不允许度量成分的.
2•基本作图：（1）用尺规作一条线段等于已知线段；（2）用尺规作一个角等于已知角.利
用这两个基本作图，可以作两条线段或两个角的和或差
二、熟练掌握尺规作图题的规范语言
1•用直尺作图的几何语言：
①过点X、点X作直线XX;或作直线XX;或作射线XX；
②连结两点XX；或连结XX;
③延长XX到点X;或延长（反向延长）XX到点X,使XX = XX ;或延长XX交X X于点X;
2•用圆规作图的几何语言：
①在XX上截取XX = XX;
②以点X为圆心，XX的长为半径作圆（或弧）；
③以点X为圆心，XX的长为半径作弧，交XX于点X;
④分别以点X、点X为圆心，以XX、XX的长为半径作弧，两弧相交于点X、X
三、了解尺规作图题的一般步骤
尺规作图题的步骤:
1•已知：当作图是文字语言叙述时，要学会根据文字语言用数学语言写出题目中的条件；
2•求作：能根据题目写出要求作出的图形及此图形应满足的条件；
3•作法：能根据作图的过程写出每一步的操作过程•当不要求写作法时，一般要保留作图
痕迹•对于较复杂的作图，可先画出草图，使它同所要作的图大致相同，然后借助草图寻找作法•
在目前，我们只要能够写出已知，求作，作法三步（另外还有第四步证明）就可以了，而且在许多中考作图题中，又往往只要求保留作图痕迹，不需要写出作法，可见在解作图题
时，保留作图痕迹很重要•
尺规作图的定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。

最基本，最常用的尺规作图通常称基本作图。

一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的。

五种基本作图：
1、作一条线段等于已知线段；
2、 作一个角等于已知角；
3、 作已知线段的垂直平分线;
4、 作已知角的角平分线；
5、 过一点作已知直线的垂线;
题目一：作一条线段等于已知线段。

已知 求作 作法 （1） （2） 如图，线段a . 线段AB,
使AB = a . 作射线AP; 在射线AP 上截取AB=a . 则线段AB 就是所求作的图形。

题目二：作已知线段的中点。

已知： 求作： 作法： （1） 如图，线段MN. 点0,使M0=NQ 即0是MN 的中点）. 分别以M N 为圆心，大于划二 的相同线段为半径画弧， 两弧相交于P ，Q; 连接PQ 交MN 于O. （2） 则点0就是所求作的MN 的中点 （试问：PQ 与MN 有何关系？） a.
(己知)
B P
〔作线段尊于已知线段）
、P
1 --- M
C
N
（作线段的中点）
题目三：作已知角的角平分线。

已知 求作 作法 （1）
如图，/ A0B 射线 0P,使/A0圧/ B0P （即0P 平分/ A0B 。

以0为圆心，任意长度为半径画弧， 分别交0A 0B 于 M N; 分别以M N 为圆心，大于 的相同线段为半径画弧，两弧交/ A0B 内于P; (2) （3）作射线0P 则射线0P 就是/ A0B 的角平分线。

题目四：作一个角等于已知角。

（请自己写出“已知” “求作”并作出图形，不写作法） （作角平分
统）
题目五：已知三边作三角形。

已知：如图，线段a ，b ，c. 求作：△ ABC 使 AB = c ，AC = b ，BC = a. 作法： （1）作线段AB = c ; （已知）
(2)以A为圆心b为半径作弧，以B为圆心a为半径作弧与前弧相交于C;
(3)连接AC, BC。

则厶ABC就是所求作的三角形。

题目六：已知两边及夹角作三角形。

已知：如
图，线段m n, / .
求作：△ ABC 使/ A=z , AB=m 作法：
(1)作/ A=Z ;
(2)在AB上截取AB=m ,AC=n
(3)连接BC
则厶ABC就是所求作的三角形。

:已
知两边及夹角作三角形)
题目七：已知两角及夹边作三角形。

已知：如图，/ ，/ ,线段m .
求作：△ ABC 使/ A=Z ，/ B=Z ,AB=m \ ・1 m
作法：
r(已知)1
(1)作线段AB=m
(2) 在AB的同旁
作/ A=Z ，作/ B=Z ，
/ A与/ B的另一边相交于Co A m B 则厶ABC就是所求作的图形(三角形)。

(已知两角及夹边作三角形)
初中尺规作图典型例题归纳
典型例题一
例已知线段a、b,画一条线段，使其等于a 2b .
a b
分析所要画的线段等于a 2b ,实质上就是abb.
ABC
画法：1•画线段AB a • 2•在AB的延长线上截取BC 2b •线段AC就是所画的线段.
说明
1.尺规作图要保留画图痕迹，画图时画出的所有点和线不可随意擦去.
2 •其它作图都可以通过画基本作图来完成，写画法时，只需用一句话来概括叙述基本作图.
典型例题二
例如下图，已知线段a和b,求作一条线段AD使它的长度等于2a — b •
错解如图(1),
(1)作射线AM; (2)在射线AM上截取AB=BC=a, CD=b，则线段AD即为所求. 错解分析主要是作图语言不严密，当在射线上两次截取时，要写清是否顺次，而在求线段差时，要交待截取的方向.
,°, 吐 . h a M—a ---------- 1■■■■I I I N R° M 幷R 0 b C M
图(1) 图(2)
正解如图(2),
(1)作射线AM ; ( 2)在射线AM上，顺次截取AB=BC=a;
(3)在线段CA上截取CD=b，则线段AD就是所求作的线段.
典型例题三
例求作一个角等于已知角/ MON (如图1) •
错解如图(2),
(1)作射线O1M1; (2)在图(1),以0为圆心作弧，交0M于点A,交ON于点B;
(3)以01为圆心作弧，交O1M1于C; ( 4)以C为圆心作弧，交于点D; (5)作射线O1D
•
则/ CO1D即为所求的角.
错解分析作图过程中出现了不准确的作图语言，在作出一条弧时，应表达为：以某点为圆心，以其长为半径作弧.
正解如图（2），
（1）作射线O1M1；（2）在图（1）上，以0为圆心，任意长为半径作弧，交0M于点A，交ON于点B；（3）以为圆心，0A的长为半径作弧，交O i M 1于点C；
（4）以C为圆心，以AB的长为半径作弧，交前弧于点D；（5）过点D作射线0,D .
则/ CO,D就是所要求作的角.
典型例题四
例如下图，已知/a及线段a,求作等腰三角形，使它的底角为a,底边为a.
分析先假设等腰三角形已经作好，根据等腰三角形的性质，知两底角/ B=/ C= /a,
底边BC=a，故可以先作/ B=/a，或先作底边BC=a.
作法如下图
（1）/ MBN = /a；（2）在射线BM上截取BC=a；（3）以C为顶点作/ PCB= /a,射线CP交BN 于点A.A ABC就是所要求作的等腰三角形.
说明画复杂的图形时，如一时找不到作法，一般是先画出一个符合条件的草图，再根据这个草图进行分析，逐步寻找画图步骤.
典型例题五
例如图（1）,已知直线AB及直线AB外一点C,过点C作CD // AB （写出作法，画出图形）.
分析根据两直线平行的性质，同位角相等或内错角相等，故作一个角/ ECD = / EFB 即可.
作法如图（2）.
典型例题六
例如下图，△ ABC 中，a=5cm, b=3cm, c=3.5cm,/ B= 36，/ C= 44，请你从中选择适当的数据，画出与厶ABC全等的三角形（把你能画的三角形全部画出来，不写画法但要在所画的三角形中标出用到的数据）
分析本题实质上是利用原题中的5个数据，列出所有与△ ABC全等的各种情况，依
据是SSS、SAS、AAS、ASA .
解与厶ABC全等的三角形如下图所示.
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
说明
过点
以点
以点
以点
过点
图（1）
EF，交AB于点F;
以任意长为半径作弧，交
C作直线
F为圆心，
C为圆心，以FP为半径作弧，交
M为圆心，以PQ为半径作弧，交前弧于点
D作直线CD，CD就是所求的直线.
FB于点P,交EF于点Q;
CE于M点；
D ；
作图题都应给出证明，但按照教科书的要求，一般不用写出，但要知道作图的原由
.
典型例题七
例正在修建的中山北路有一形状如下图所示的三角形空地需要绿化.拟从点A出发, 将厶ABC分成面积相等的三个三角形，以便种上三种不同的花草，请你帮助规划出图案（保留作图痕迹，不写作法）.
（2003年，桂林）分析这是尺规作图在生活中的具体应用•要把△ABC分成面积相等的三个三角形，
且都是从A点出发，说明这三个三角形的高是相等的，因而只需这三个三角形的底边也相等，所以只要作出BC边的三等分点即可.
作法如下图，
找三等分点的依据是平行线等分线段定理.
典型例题八
例已知/ AOB，求作/ AOB的平分线OC.
错解如图（1）
作法（1 ）以O为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA、OB于D、E两点；
1
（2）分别以D、E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧相交于C点；
2
（3）连结OC,则OC就是/ AOB的平分线.
错解分析对角平分线的概念理解不够准确而致误.作法（3）中连结OC,则OC是
一条线段，而角平分线应是一条射线.
图（1）图（2）
正解
（1
）
(2)
(3)
如图（2）
以点0为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA、OB于D、E两点；
1
分别以D、E为圆心，以大于—DE的长为半径作弧，两弧交于C点;
2
作射线0C,贝y 0C为/ AOB的平分线.
典型例题九
例如图（1）所示，已知线段a、b、h （h v b）. 求
作△ ABC，使BC=a, AB=b, BC边上的高AD=h.
图
（1）
如图（2）,
作线段BC=a;
作线段BA=b，使AD丄BC且AD=h.
则厶ABC就是所求作的三角形.
错解分析①不能先作BC;②第2步不能同时满足几个条件，完全凭感觉毫无根据；
③未考虑到本题有两种情况. 对于这种作图题往往都是按照由里到外的顺序依次作图，如本题先作高AD，再作AB ,最后确定BC .
错解
(1)
(2)
(1)
(2)
(3)
正解
作直线PQ,在直线PQ上任取一点D，作DM丄PQ; 在
DM上截取线段DA=h;
以A为圆心，以b为半径画弧交射线DP于B ；
(4)以B为圆心，以a为半径画弧，分别交射线BP和射线BQ于C1和C2;
(5)连结AC i、AC2，则△ ABC i （或△ ABC?）都是所求作的三角形.
典型例题十
例如下图，已知线段a, b，求作Rt A ABC，使/ ACB=90° , BC=a, AC=b （用直尺和圆规作图，保留作图痕迹）.
分析本题解答的关键在于作出/ ACB=90 °，然后确定A、B两点的位置，作出△ ABC .
作直线MN :
在MN 上任取一点 C ,过点C 作CE 丄MN ；
在CE 上截取CA=b ，在CM 上截取CB=a ； 连结AB , △ ABC 就是所求作的直角三角形. 利用基本作图画出所求作的几何图形的关键是要先分析清楚作图的顺序. 不好作图顺序，要先画出假设图形.
求作：（1） BC 边上的高；（2） BC 边上的中线（写出作法，画出图形） （1 ）作BC 边上的高，就是过已知点 作BC 边上的中线，要先确定出 BC 边的
中点，即作出 BC 边的垂直平分线. 如下图
①
在直线CB 外取一点P ,使A 、P 在直线CB 的两旁； ② 以点A 为圆心，AP 为半径画弧，交直线 CB 于G 、H 两点； 1 ③ 分别以G 、H 为圆心，以大于
GH 的长为半径画弧，两弧交于 E 点；
2
④ 作射线AE ，交直线CB 于D 点，则线段AD 就是所要求作的厶ABC 中BC 边上的高.
1
（2）①分别以B 、C 为圆心，以大于一BC 的长为半径画弧，两弧分别交于 M 、N 两点;
2
② 作直线MN ，交BC 于点F ；
③ 连结AF ，则线段AF 就是所要求作的厶 ABC 中边BC 上的中线.
说明 在已知三角形中求作一边上的高线、 中线、角平分线时，首先要把握好高线、
中
作法 如下图
典型例题十
例如下图，已知钝角△
（1） （2）
（3
） 若把握 分析
（2）
F C
K
令
A 作BC 边所在直线的垂线;
(1)
线、角平分钱是三条线段；其次，高线、中线的一个端点必须是三角形中这边所对的顶点, 而关键是找出另一个端点.
典型例题十二
由题意知，点C 不仅要在/ M0N C 应是/ M0N 的平分线与线段 0A
的垂直平分线的交点. 如图(2)所示
(1) 作/ M0N 的平分线 0P ;
(2) 作线段0A 的垂直平分线EF ，交0P 于点C ,则点C 就是所要求作的点. 说明(1)根据题意弄清要求作的点的特征是到各直线距离相等，还是到各端点距离相等.
(2)两条直线交于一点.
典型例题十三
例如下图，已知线段 a 、b 、/a 、/B.
分是△ ABE ，另一部分是一AECD .在△ ABE 中，已知/ B=Za,Z AEB= / 卩,BE=b-a , 所以，可以首先把它作出来，而后作出
二AECD .
作法如下图. A [)
(1) 作线段BC=b ;
(2) 在BC 上截取BE = b-a ;
(3) 分别以B 、E 为顶点，在 BE 同侧作/ EBA= Za,Z AEB = Z3, BA 、EA 交于A ;
(4) 以EA 、EC 为邻边作一AECD .
四边形ABCD 就是所求作的梯形.
使得C 是/ M0N 平分线上的点，且 AC=0C
. 分析 等，所以点 作法 的平分线上，且点 C 到0、A 两点的距离要相
例如图(1 求作梯形 ABCD ，使AD=a , BC=b ,
分析 假定梯形已经作出，作 AE // DC 交BC 于E ,则AE 将梯形分割为两部分,
说明 基本作图是作出较简单图形的基础，三角形是最简单的多边形，它是许多复杂 图形的基础•因此，要作一个复杂的图形，常常先作一个比较容易作出的三角形，然后以此 为基础，再作出所求作的图形.
典型例题十四
例 如下图，在一次军事演习中,
路的距离相等，且离铁路与公路交叉处
的作战图上标出蓝方指挥部的位置. （2002年，青岛）
分析 依据角平分线的性质可以知道，蓝方指挥部必在
A 区内两条路所夹角的平分线 上，然后由蓝方指挥部距
B 点的距离，依据比例尺，计算出图上的距离为
3.5cm ，就可以确 定出蓝方指挥部的位置.
解 如下图，图中C 点就是蓝方指挥部的位置.
典型例题十五
例 如图（1）,已知有公共端点的线段 AB 、BC .求作O O ,使它经过点 A 、B 、C （要 求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2002年，大连）
图（1）
分析 因为A 、B 、C 三点在O O 上，所以
OA=OB=OC=R •根据到线段 AB 、BC 各端点 距离相等的点在线段的垂直平分线上，故分别作线段
AB 、BC 垂直平分线即可.
解如图（2）
说明 角平分线的性质、线段垂直平分线的性质在作图题中的应用是近几年中考中的 又一道风景，它往往与实际问题紧密联系在一起. 红方侦察员发现蓝方指挥部在 A 区内，到铁路与公 B 点700米，如果你是红方的指挥员，请你在图示
比例尺1: 20000
典型例题十六
例 如图，是一块直角三角形余料， C 90 .工人师傅要把它加工成一个正方形零
件，使C 为正方形的一个顶点，其余三个顶点分别在
AB 、BC 、AC 边上.试协助工人师傅 用尺规画出裁割线.
① 作 ACB 的角平分线CD ，交AB 于点G ;
② 过G 点分别作AC 、BC 的垂线，垂足为E 、F .则四边形ECFG 就是所要求作的正方形.
巩固练习
1.某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的 半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面.
(1 )请你补全这个输水管道的圆形截面；
(2)若这个输水管道有水部分的水面宽
AB = 16cm ,水面最深地方的高度为 4cm ，求这个
圆形截面的半径.
分析要作出符合条件的正方形，可先作出有三个角为 的
一组边相等即可.
作法如图.
90°的四边形，并设法让相邻
2•如图花坛△ ABC为一等边三角形，现要将其扩建为一圆形花坛覆盖在△ABC上，且使A、B、C依然在花坛的边缘上（1）请你帮忙画出设计方案•
（2）若等边三角形的边长为6米，则花坛的面积增加了多少？
3•如图，有一块三角形材料（△ABC）,请你画出一个圆，使其与厶ABC的各边都相切解:
结论:
4•某市要建一个圆形公园，要求公园刚好把植物园使这个圆形的面积最小，请你作出这个圆，圆心用A.动物园B和人工湖C包括在内，又要P 表示•（A、B、C不在同一直线上）。