分析,质量法

在形成运动方程, 要先实现约束边界条件。对
于本算例的悬臂梁, 第五个和第六个自由度被约束, 因此 u5 = u6 = 0, 这样就把 6 @ 6的矩阵 (刚度和质 量 )中的第五、第六列去掉, 然后建立体系的运动方
程
[M ] { } + [K ] { u } = { 0} 具体形式为
156 mL 54 840 - 11L
第 17卷第 3期 2010年 9月
辽东学院学报 (自然科学版 ) Journal o f Eastern L iaon ing U n iversity ( N a tura l Sc ience)
V o.l 17 N o. 3 Sept. 2010
=规划与建筑 >
一致质量法和集中质量法的比较分析
( 2) ( 4) ( 1) ( 3)
12 3L - 12 3L ( 2)
K2=
8EI L3
3L - 12
L2 - 3L
- 3L 12
L2 /2 (4) - 3L ( 1)
3L L2 / 2 - 3L L2 ( 3)
矩阵各行和各列旁边括号中的数字是与单元自
由度对应的整体自由度, 以便能被集装。
§ 把单元刚度矩阵转换成整体自由度的刚度
{
Du
}
T e
Q
1 0
[B ]T EI
(x)
[B]
dx
{u}
梁单元节点的外力虚功可表示为
WE = { Du }Te { f } e
由虚功原理可知, WE = W 1
可得单元节点力和节点位移的关系为,
{ f }e =
Q
1 0
[B ]T EI
(x)
[B]
dx
{ u}
=
[K ] e {u}
可以推 导出 kij 的一 般性公 式 kij = Q L0E I ( x ) Wdi
截面悬臂梁的固有频率, 以简化计算。 采用一致质量矩阵 ¥ 识别整体自由度和单元自由度。有限单元
集合体的六个自由度和两个有限单元及其局部自由
度如图所示。 ¦ 形成单元刚度矩阵。将导得弯曲梁单元的
刚度矩阵中的 L 用 L / 2代替, 得出两个有限单元沿 其局部自由度的刚度矩阵 K 1 和 K 2.
由于单元局部自由度和体系整体自由度都是按
值的固有频率为
X1 = 3. 156 23
EI mL4
X2 = 16. 258 0
EI mL4
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辽东学院学报 ( 自然科学版 )
第 17卷
有限单元解与精确解的比较 算例给出的结果对应于 N e = 2的情况, N e 为其 他值结果可用类似的, 方法得出把梁离散化为 N 个 长度相等的有限单元, 并用有限单元法进行分析, 得
关键词: 有限单元法; 一致质量法; 集中质量法; 悬臂梁; 固有频率 中图分类号: TU311. 文献标志码: A 文章编号: 1673- 4939 ( 2010) 03- 0207- 04
类似悬臂构件的工程结构进行分析, 都是运用 近似的计算方法。尤 其采用有限单 元法进行分析
时, 可以取得满意的结果。为我们解决类似工程结 构 提 供 参 考, 比 如 超 高 层 建 筑 物、 高 耸 结 构 等 [ 1- 4] 。结构动力分析和静力分析不同之处是考虑
© 形成单元质量矩阵。将导得弯曲梁单元的
一致质量矩阵中的 L 用 L / 2代替, 与刚度矩阵的情 况相同, m1 = m1 和 m 2 = m2, 得
( 5) ( 6) ( 2) ( 4)
156
mL
11L
m 1 = 840
54
- 6. 5L
11L
2
L
6. 5L - 0. 75L 2
54 - 6. 5L ( 5) 6. 5L 0. 75L 2 ( 6)
确定运动方程
mL /4 mL /2
1 2
+
48E I 7L 3
2 -5 - 5 16
u1 =
u2
0则 0
k-
X2m
=
48E I 7L 3
2- K - 5 =0
- 5 16- 2K
式中 K= 7mL 4 X2 192E I
即 2K2 - 20K+ 7= 0
解得 K1 = 0. 363 19 K2 = 9. 636 8, 则相应于 K两个
了惯性力, 即考虑了质量, 因为质量矩阵的形成及 性质是动力问题中的一个较大的影响因素, 因此下 面将讨论集中质量法和一致质量法, 并比较它们的 特点及优缺点 [ 5] 。
1 计算原理
设 {f } c = [ f1 f 2 f3 f 4 ] T 为梁单元广义坐
标 { u} = { u1 u2 u3 u4 }T 对 应的节 点力向
54 312 - 6. 5L
0 54 6. 5L
2
2
mL - 11L - 6. 5L L - 0. 75L 0
0
m= 840 6. 5L
2
2
2
0 - 0. 75L 2L - 6. 5L - 0. 75L
0 54
0 - 6. 5L 156 11L
0 6. 5L
2
2
0 - 0. 75L 11L L
« 建立运动方程。
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辽东学院学报 ( 自然科学版 )
第 17卷
当单元质量矩阵按计算单元刚度矩阵的同样插
值函数计算时, 所得到的质量矩阵称为 / 一致质
量矩阵 0。结构的质量影响系数 m ij是因第 j 自由度 的单位加速度而在第 i自由度上产生的力。同理利
用虚功原理可以推导出 m ij的一般性公式 m ij = Q L0m
单元集中质量矩阵是把单元分布的质量集中成
质量块放在梁单元的两个端点上。 质量块的体积等于零, 质量之和等于梁单元的
总质量 mL, 此时再按质量阵元素 m ij的定义, 可得 到梁单元的集中质量矩阵为
0. 5 0 0 0
[M]
L e
=
mL
00 00 0 0 0. 5 0
00 00 在结构动力反应分析中, 集中质量法最主要的 优点是节省计算量和计算时间。而在采用同样的单
( x ) Wdj (x ) dx,
当梁是等截面时, 由式 ( 1) 可导得弯曲梁单元的
刚度矩阵为
6 - 6 3l 3l
[K
]e
=
2E I L3
-6 3l
6 - 3l
- 3l 2l2
- 3l l2
3l - 3l l2 2l2
单元质量矩阵
¥ 一致质量矩阵
¹ 收稿日期: 2010- 01- 05 作者简介: 刘相 ( 1981) ), 男, 辽宁丹东人, 硕士, 研究方向: 结构抗震与加固。
有 限单元的数目, N e
2
3
3. 517 72
3. 516 37
22. 221 5
22. 106 9
75. 157 1
62. 465 9
218. 138
140. 671
264. 743
527. 796
4 3. 516 13 22. 060 2 62. 174 9 122. 657 228. 137 366. 390 580. 849 953. 051
刘 相¹
( 辽东学院 城市建设学院, 辽宁 丹东 118003)
摘 要: 固有频率是计算主振型的基础, 对于类似于等截面悬臂梁的振动系统, 分别运用一致质量法 和集中质量法进行分析, 说明在结构动力反应分析中, 集中质量法最主要的优点是节省计算量和计算时 间; 而在采用同样的单元数目时, 一致质量法的计算精度相对较高。两种有限单元法分析的结果与精确解 进行比较, 一致质量法给出的自振频率高于实际值, 而集中质量法给出的自振频率低于精确解, 为解决实 际工程类似结构的固有频率提供参考。
mL /4 0 0 0
[M ] =
0 mL /2 0 0 0 0 00
0 0 00 因为与转动自由度和相关的质量为零, 所以通 过静力凝聚, 他们可以从刚度矩阵中被消去。所得 的用平动自由度表示的 2 @ 2刚度矩阵和质量矩阵 为
k=
48EI 7L 3
2 -5 , m=
- 5 16
mL /4 mL /2
置于整体刚度矩阵中。 ¨ 组装单元刚度矩阵。
12 - 12 - 3L - 3L 0 0
- 12
k=
8E I
3
- 3L
L - 3L
24 3L 0 - 12 - 3L
3L
L2 L 2 /2 0
0
0 L2 /2 2L2 3L L2 /2
0 - 12 0 - 3L
0 3L 12 3L 0 L2 /2 3L L2
3、4和 5的有限单元, 用一致质量矩阵和集中质量 矩阵得出的系数 An 的结果分别列于表 1和表 2中, 并将有限元法与精确解绘于图 3。
出近似结果。记 Xn, An EI / (mL4 )对于 N e = 1、2、
表 1 一致质量有限单元解和精确解
振型
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 3. 532 73 34. 806 9
156 - 11L ( 2) - 11L L 2 ( 4)
1 156
11L
54
m
2
=
mL 840
11L
L2
6. 5L
54 6. 5L
156
- 6. 5L - 0. 75L 2 - 11L
ª 组装单元质量矩阵。
- 6. 5L ( 5) 0. 75L 2 ( 6)
- 11L ( 2)
2
L
( 4)
156 54 - 11L 6. 5L 0 0
矩阵。与有限单元集合体节点位移对应的单元刚度
矩阵由下式给出: K^ e = aTe ke ae。
单元 ( 1) 及单元 ( 2) 的节 点位移与整体位
移的关系为
(u1 )1 = u5 (u2 )1 = u6 (u3 )1 = u2 (u4 )1 = u4 (u1 )2 = u2 (u2 )2 = u4 (u3 )2 = u1 (u4 )2 = u3 对于这两个单元, 这 些关系可以表示成 u1 = au u2 = a2 u 式中, 转换矩阵为
元数目时, 一致质量法的计算精度高。
2 工程算例 [ 6- 8]
一座以广播电视信号发射为主的广播电视发射 塔, 其截面的 弯曲刚 度为 EI, 单位长 度质量 为 m。 分别利用一致质量矩阵和集中质量矩阵求此发射塔 的固有频率。
解: 因为发射塔是高度较大、横断面相对较小的 高耸结构, 所以计算其固有频率可近似看做计算等
0 00 01 0
0 00 00 1 a1 = 0 1 0 0 0 0
0 00 10 0
0 10 00 0
0 00 10 0 a2 = 1 0 0 0 0 0
0 01 00 0 这样, 矩阵 a1 和 a2 方便地把 k1 和 k2 的元素
第 3期
刘 相: 一致质量法和集中质量法的比较分析
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( x ) Wi ( x ) Wj ( x ) dx。
对于 均 布 质 量 m ( x ) = m 时, 单 元 质 量 矩 阵
156 22L 54 - 13L
[M]
c e
=
mL 420
22L 54
4L 2 1 3L
13L - 3L3 156 - 22L
- 13L - 3L3 - 22L 4L2
¦ 集中质量矩阵
相同的直角坐标系定义的, 不需要坐标转换, 因此
有 K 1 = K 1, K 2 = K 2; 这样
( 5) ( 6) ( 2) ( 4)
12 3L - 12 3L ( 5)
K1=
Baidu Nhomakorabea
8EI L3
3L - 12
L2 - 3L
- 3L 12
L2 /2 ( 6) - 3L ( 2)
3L L 2 /2 - 3L L2 ( 4)
6. 5L
54 - 11L 6. 5L 312 - 6. 5L 0 - 6. 5L L2 - 0. 75L2 0 - 0. 75L2 2L2
1 2
+ 3 4
12 - 12 - 3L - 3L u1 0
8EI - 12 L 3 - 3L
- 3L
24 3L
3L L2
0 0. 5L2
u2 = u3
W1=
Q
1 0
D
5 5
2u x2
EI
(x )
5 5
2u x2
dx
5 5
2u x2
=
[ Wd1 ( x )
Wd2 ( x )
Wd3 ( x )
Wd4
(x) ] {u } [B ] {u }
其中 [ B ] = [ Wd1 ( x ) Wd2 ( x ) Wd3 ( x )
Wd4 (x ) ]
_ W1=
量, 则单元刚度矩阵为
f1
ke11
ke12
k
e 13
ke14
u1
f2 =
ke21
ke22
k
e 23
ke24
u2
f3
ke31
ke32
k
e 33
ke34
u3
f4
ke41
ke42
k
e 43
ke44
u4
刚度影响系数 keij利用虚功原理求得。 当单元节点产生 一虚位移 { Du } 时, 梁的内
力虚功可表示为
0 0
0 0. 5L2 2L2 u4
0
¬ 求解特征值问题
自振频率通过求解特征方程 [K ] { 5 } = X2 [M ]
{ 5 }得到
X1 = 3. 517 72
EI mL4
X2 = 22. 221 5
EI mL4
X3 = 75. 157 1
EI mL4
X4 = 218. 138
EI mL4
采用集中质量矩阵的不同之处在于质量矩阵的 建立。对于每个单元, 采用矩阵质量矩阵时体系仅 有两个动力自由度, 结构总体质量矩阵可以容易的 确定