工程力学(李卓球) 第12 章压杆稳定

故Pmax 0.267 2 EI
23
12 压杆的稳定性分析
（2）平衡 A
FN AB P tana
FN BC
B
P cos a
两杆同时失稳时得以充分利用 P C
cr cr FN AB FAB 且FN BC FBC
P tana
2 EI
2.56
FN AB
P
P 2 EI cosa 2.25
F 其 中: k EI
2
20
12 压杆的稳定性分析 ③、微分方程的通解：y
④、确定积分常数：
Asin kx B cos kx
A 0 B 0 Asinkl 0
B0
a: b:
x 0, y 0 x l,y 0
A0
sinkl 0
kl n l
i
I min 2.5 109 5 mm 6 A 30010 3
L
z
y
0.7 500 3 121 p i 5 2 2 2.5 200 I min E
Pcr ( 1l )
2
L

(0.7 0.5)
2
40.3kN
8 4 图（b） Imin I z 3.8910 m
12 压杆的稳定性分析
1
12 压杆的稳定性分析
第十二章
12.1 压杆稳定性概念
压杆的稳定
12.2 两端铰支细长压杆的临界力 12.3 其他约束条件下细长压杆的临界力 12.4 压杆的临界应力总图 12.5 压杆的稳定性校核
2 2
12 压杆的稳定性分析
12.１ 压杆稳定性概念
工程构件的强度、刚度和稳定问题 强度—构件抵抗破坏的能力。 刚度—构件抵抗变形的能力。 稳定性—构件保持原有平衡状态的能力。
二、此公式的应用条件
1、理想压杆；
2、线弹性范围内；
3、两端为球铰支座
22
12 压杆的稳定性分析 例 12-2-1 铰接平面桁架，两杆均为抗弯刚度为EI的细长杆。 (1)若a=1.2m，b=0.9m，确定水平力的最大值 ； (2)保持杆的长度不变，确定充分发挥两杆承载能力的a角。
A 1.6m 解：(1) 平衡分析 FN AB
E 即： cr 2
2
i
I — —惯性半径。 A
3、柔度：

l
i
— — 杆 的 柔 度 （ 或 长 细） 比
29
12 压杆的稳定性分析

讨论：
l
i
2E cr 2
（1）是无量纲的量。 （2）集中反映：两端约束（）、杆长（l)、压杆截 面形状与尺寸（i）对欧拉临界应力的影响。 （3）越大，临界应力越小。 （4）判断失稳平面。 （5）判断欧拉公式能否适用，确定压杆的类型。 二、判断失稳平面： 1. 若压杆在各平面内约束相同，则在Imin平面内容易失稳。 2. 若压杆在各平面内约束不同，则在 max平面内容易失稳。
cr 临界力 FAB
4P 5P ，FN BC 3 3
2
P
C
2 EI
a
b
B
a
2.56 l AB 2 EI 2 EI cr FBC 2 2.25 lBc

2 EI
FN AB
cr 令FN AB FAB , 得P 0.293 2 EI
P
a
FN BC
B
cr 令FN BC FBC , 得P 0.267 2 EI
高压输电线路保持相间距离的受压构件
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12 压杆的稳定性分析
火箭发射架中的压杆
10
12 压杆的稳定性分析
压杆稳定性实验
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12 压杆的稳定性分析
P
12
12 压杆的稳定性分析
1983年10月4日，北京的一幢正在施工的高层建筑 的高54.2m、长17.25m、总重565.4kN大型脚手架屈曲 坍塌，5人死亡、7人受伤 。
为求最小临界力， “ n”应取除零以外的最小值，即取：
4 2 EI 2 EI Fcr 2 2 l (0.5l )
26
12 压杆的稳定性分析
二、各种支承情况下，欧拉公式的一般形式
EI Fcr 2 ( l )
2
—相当长度因数 l—相当长度
相当长度为各种支承条件下的细长压杆失稳时，挠曲线 中相当于半波正弦曲线的一段长度。
30
12 压杆的稳定性分析
三、欧拉公式的适用范围及压杆的类型：
E cr 2 p
2
E p p
2
满足 P 的杆称为大柔度杆（或 长细杆），其临界力用 欧拉公式求。
P 的杆为中小柔度杆，其 临界力不能用欧拉公式 求。
四、中小柔度杆的临界应力计算 1、直线型经验公式 ①、p<<s 时：
3. 压杆材料不均匀。
所以压杆实际上除了发生压缩变形外，还伴随着弯曲变形。 当外力很小时，压缩变形为主要变形，弯曲变形为次要变形 。随着压力的增大，次要变形转化为主要变形，使压杆丧失 工作能力。
6
12 压杆的稳定性分析
二、压杆工程实例
压杆
7
12 压杆的稳定性分析
桁架中的压杆
8
12 压杆的稳定性分析
图（a）
图（b）
2 500 113.6 p i 8.8 2 I min E 2 38.9 200 Pcr 7633 kN .8 2 2 ( 2l ) ( 2 0.5)
L
12 压杆的稳定性分析
§11.5
压杆的稳定计算
一、压杆的稳定许用应力:
16
12 压杆的稳定性分析
2.压杆的稳定平衡与不稳定平衡
稳 定 平 衡
不 稳 定 平 衡
17
12 压杆的稳定性分析 3.压杆的临界压力（Critical load）与失稳
F<F cr F=Fcr F>Fcr
压杆： 扰动消除后，杆轴线恢复直线。
--- 稳定平衡 扰动消除后，杆越来越弯。
越来 越弯 稳定 临界 失稳
强度计算：F＝ [] A＝3920N 但当F＝40N时，钢卷尺就因为明显的弯曲而无法继 F 续承载。 例2：在自重作用下的纸张压弯
影响压杆承载力的因素？
5
F
12 压杆的稳定性分析
实际压杆往往存在被压弯的初始因素
1. 压杆本身轴线不可避免地存在初始曲率。
2. 外力与杆的轴线也不可能毫无偏差地与杆的轴线重合。
F EI
n EI F l2
2 2
临界力 Fc r 是杆微弯下的最小压
Fcr
EI
2
力，故只能取n=1。
21
l2
12 压杆的稳定性分析
Fcr
2 EI
L2
2
两端铰支压杆临界力 的欧拉公式
Fcr 与杆长l 成反比， 杆长的影响很大； 与杆的抗弯刚度EI成正比，细杆EI小，更 易发生屈曲失稳。 细长压杆易失稳！
75
1 1 80 3000
2
75

2
35
12 压杆的稳定性分析 （2） 树种强度等级为TC13, TC11, TB15:
91
1 1 65 2800
3
12 压杆的稳定性分析
一、问题的提出
在轴向拉压杆的强度计算中 ，认为杆的失效是由于强度 不足而引起的。 但在工程中，当细长杆承受轴 向压力时，作用力远未达到强 度破坏时的数值，杆就变弯而 失效了。
丧失稳定而失效
4
12 压杆的稳定性分析
例1：钢卷尺, l=300mm, A=201mm2, []=196MPa
M0 EIy k y k P
2 2
边界条件为:
x 0，y y 0；x L y y 0 ，
25
12 压杆的稳定性分析
P 2 M0 k y A sin kx B cos kx EI F x 0，y y 0 x L y y 0 ； ， M0 x 0, y 0 : B F y M 0 cos kx M 0 F F M0 M0 x l, y 0 : cos kl 0, cos kl 1 F F x l , y 0 : sin kl 0, kl n kl 2n
---失稳
扰动消除后，在微弯状态下平衡。 --- 临界平衡状态
临界压力Fcr : 压杆由稳定平衡转化为不稳定平衡时所受轴向 压力的界限值。 中心受压直杆在临界压力作用下,其直线状态下的平衡开始丧 18 失稳定性,简称失稳。
12 压杆的稳定性分析
必须指出：通常我们所说的压杆的稳定性及其在临界力Fcr作 用下的失稳，是就中心受压直杆的力学模型而言的。 对于实际的压杆，由于存在前述几种导致压杆受压时弯曲的因 素，通常可用偏心受压直杆作为其力学模型。实际压杆的平衡 稳定性问题是在偏心压力作用下，杆的弯曲变形是否出现急剧 增大而丧失正常的承载能力。
st
cr [ ] [ ] nst nst [ ]
nst 稳定安全因数，大于 1
cr
稳定因数，是柔度 的函数
引入稳定因数，以反映压杆的稳定许用应力随压杆柔度的 改变而改变
34
12 压杆的稳定性分析 关于稳定因数
1. 我国钢结构设计规范根据国内常用构件的截面形式、尺 寸和加工条件，规定了相应的残余应力变化规律，并考虑 了l/1000的初始曲率，计算了96根压杆的稳定因数与柔 度间的关系值，然后把承载力相近的截面归结为a，b，c 三类截面在不同柔度下的值。（对于Q235钢，见表9－ 2，3） 2. 木制压杆的稳定因数： （1） 树种强度等级为TC17, TC15, TB20:
地面未夯实，局部杆受力大； 横杆之间的距离太大 2.2m>规定值1.7m; 与墙体连接点太少； 安全因数太低：1.11-1.75<规定值3.0。
13
12 压杆的稳定性分析
三、稳定平衡与不稳定平衡的概念
1. 稳定平衡 外界的微小 干扰消除后， 若能恢复原 来的平衡状 态，则该平 衡状态是稳 定平衡
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12 压杆的稳定性分析
2. 不稳定平衡 外界的微 小干扰消 除后，若 不能恢复 原来的平 衡状态， 则该平衡 状态是不 稳定平衡
15
12 压杆的稳定性分析
四、压杆失稳与临界压力的概念
1、压杆的力学模型：中心受压直杆
材料绝对均匀、杆件绝对直、压力绝对与轴线重合 中心受压直杆的临界压力、稳定性问题
19
12 压杆的稳定性分析
12.2 两端铰支细长压杆的临界力
一、两端铰支压杆的临界压力的推导 假定压力已达到临界值，杆处于微弯状态，如图，从挠曲线 入手，求临界力。
y
①、弯矩： M ( x) Fy ( x)
x
F
A
M
l
B
F
②、挠曲线近似微分方程：
y
F
x
F
A
M F y y EI EI F y y y k 2 y 0 EI
cr a b

cr a b s
s a
b
s
s P 的杆为中柔度杆，其临 界应力用经验公式求。 31
12 压杆的稳定性分析
② s 时：
cr s
cr
S P
S 的杆为小柔度杆，其临 界应力为屈服极限。
27
12 压杆的稳定性分析
Pcr Pcr l l l
Pcr
Pcr
0.25l 0.7l
0.5l
0.3l
0.25l
1
2
0.7
0.5
28
12 压杆的稳定性分析
12.4 压杆的临界应力总图
一、 基本概念
1、临界应力：压杆处于临界状态时横截面上的平均应力。
cr
Fcr A
wenku.baidu.com
Fcr 2 EI 2E 2E 2、细长压杆的临界应力： cr 2 2 2 A ( l ) A ( l / i )
a
FN BC
B
得a 61.5
24
12 压杆的稳定性分析
12.3 其他约束条件下压杆的临界力
一、两端固定的细长压杆的临界力公式
P M0 x M P
解：变形关于杆中点对称， 其挠曲线近似微分方程为： EIy M ( x) Py M0
x
P 令:k EI
2
y P
M0
y
P M0
M0 y c cos kx d sin kx P
cr a b
③、临界应力总图
2E cr 2
o

s s a
b

P

L
i
32
2E P
12 压杆的稳定性分析 例12-4-1 已知：L=0.5m, p 100 。求下列压杆的临界力。
解：图（a）
P
I min
30 103 1012 2.5 109 m 4 12