专题五 利用导数研究函数的极值、最值

利用导数研究函数的极值、最值

[A 级 基础强化训练]

1．下列函数中，既是奇函数又存在极值的是( )

A ．y ＝x 3

B ．y ＝ln(－x )

C ．y ＝x e －x

D ．y ＝x ＋2x

2．函数f (x )＝ln x －x 在区间(0，e]上的最大值为( )

A ．1－e

B ．－1

C ．－e

D ．0

3．若商品的年利润y (万元)与年产量x (百万件)的函数关系式为y ＝－x 3＋27x ＋123(x >0)，则获得最大利润时的年产量为( )

A ．1百万件

B ．2百万件

C ．3百万件

D ．4百万件

4．(2019·河南南阳月考)已知函数f (x )＝13x 3－12

ax 2＋x 在区间⎝⎛⎭⎫12，3上既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围是( )

A ．(2，＋∞)

B ．[2，＋∞)

C ．⎝⎛⎭⎫2，52

D ．⎝

⎛⎭⎫2，103 5．(2019·福建漳州月考)已知函数f (x )＝ln x －ax 存在极大值0，则a 的值为( )

A ．1

B ．2

C ．e

D ．1e

6．(2018·山东临沂期中)若函数f (x )＝x 3－mx 2＋4恰有两个零点，则实数m ＝( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

7．(2019·河北三市联考)若函数f (x )＝13

x 3－⎝⎛⎭⎫1＋b 2x 2＋2bx 在区间[－3，1]上不是单调函数，则函数f (x )在R 上的极小值为( )

A ．2b －43

B ．32b －23

C ．0

D ．b 2－16

b 3 8．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4在x ＝2处取得极值，若m ∈[－1，1]，则f (m )的最小值为________.

9．(2019·山东省实验中学诊断)已知f (x )是奇函数，当x ∈(0，2)时，f (x )＝ln x －ax ，⎝⎛⎭

⎫a ＞12，当x ∈(－2，0)时，f (x )的最小值为1，则a 的值为________.

10．(2019·山东菏泽月考)设函数f (x )＝x 2＋1－ln x .

(1)求f (x )的单调区间；

(2)求函数g (x )＝f (x )－x 在区间⎣⎡⎦⎤12，2上的最小值．

11．(2018·山东临沂期中)某同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产一小型电子产品需投入固定成本2万元，每生产x 万件，需另投入流动成本C (x )万元，当年产量小于7万件时，

C (x )＝13x 2＋2x (万元)；当年产量不小于7万件时，C (x )＝6x ＋ln x ＋e 3x

－17(万元)．已知每件产品售价为6元，假若该同学生产的产品当年全部售完．

(1)写出年利润P (x )(万元)关于年产量x (万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)

(2)当年产量约为多少万件时，该同学的这一产品所获年利润最大？最大年利润是多少？(取e 3≈20)

[B 级 能力提升训练]

12．(2019·山东临沂月考)已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )．

(1)讨论f (x )的单调性；

(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围．

13．(2019·海南海口检测)已知函数f (x )＝ln x ＋x 2－2ax ＋a 2，a ∈R .

(1)若a ＝0，求函数f (x )在[1，e]上的最小值；

(2)根据a 的不同取值，讨论函数f (x )的极值点情况．

14．(2018·山东日照期末)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c e x

(a ＞0)的导函数y ＝f ′(x )的两个零点为－3和0. (1)求f (x )的单调区间；

(2)若f (x )的极小值为－e 3，求f (x )在区间[－5，＋∞)上的最大值．

15．(2019·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝2sin x －x cos x －x ，f ′(x )为f (x )的导数．

(1)证明：f ′(x )在区间(0，π)存在唯一零点；

(2)若x ∈[0，π]时，f (x )≥ax ，求a 的取值范围．

16．(2019·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝(x －1)ln x －x －1.证明：

(1)f (x )存在唯一的极值点；

(2)f (x )＝0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．

17．(2019·东北四市联合体模拟(一))已知函数f (x )＝2x

＋a ln x (a ＞0)． (1)若函数y ＝f (x )图象上各点切线斜率的最大值为2，求函数f (x )的极值点；

(2)若关于x 的不等式f (x )＜2有解，求a 的取值范围．

18．(2019·兰州市诊断考试)已知函数f (x )＝12

x 2－(a 2＋a ＋2)x ＋a 2(a ＋2)ln x ，a ∈R . (1)当a ＝－1时，求函数y ＝f (x )的单调区间；

(2)试判断当a ∈[－1，1]时，函数y ＝f (x )的零点的个数，并说明理由．