理论力学_动力学复习
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B、动量大小有变化，但方向不变 C、动量大小无变化，但方向有变化 D、动量大小、方向都有变化
（3）一均质杆长为 l，重为P，以角速度 绕O轴转动。试确
定在图示位置时杆的动量。（ ）C
A、杆的动量大小 p Pl ，方向朝左
2g
B、杆的动量大小 p Pl ，方向朝右
B
3g
C、杆的动量大小 p Pl ，方向朝左
L]2}
2
（4）如图所示，平板A以匀速v沿水平直线向右运动，质量为 m，半径为r的均质圆轮B在平板上以匀角速度ω朝顺时针方向 滚动而不滑动，则轮的动能为（ ）B
A. T 1 mv2 1 3 mr 2 2
2
22
B.T 1 m(v r)2 1 1 mr 2 2
2
22
C.T 1 mv2 1 1 mr 2 2
O
zC
z1
C
d
C
m
l
动力学普遍定理
1、物理
（5）力的功 ● 常力的功
M1
FM
v
W F cos S
S
M2
M2
● 变力的功 W12 F dr F cos ds
M1
M1
● 重力的功
W12 mg(z1 z2 )
● 弹性力的功
W12
k 2
(12
2 2
)
动力学普遍定理
（6）平面运动微分方程
mxC Fx
i
myC Fy
i
JC M C (Fie )
i
动力学普遍定理
（7）动能定理
T2－T1＝W12
（8）机械能守恒
T V E 常数
2．定理
【思考题】
1．选择题
（1）如图所示，质量为m的质点受力F作用，沿平
面曲线运动，速度为v。试问下列各式是否正确？
)
2
v2 2
sin 2
]
B
v2
v
A
（3）如图所示，质量可以忽略的弹簧原长为2L，刚度系数为 k，两端固定并处于水平位置，在弹簧中点挂一重物，则重物 下降x路程中弹性力所作的功 。（ C）
A.
W
k {02
[(L
1
x) 2
L]2 }
2
1
B. W k{02 [( L2 x2 ) 2 L]2}
dp dt
FRe
（p mvC
（2）质心运动定理
m aC
FRe
（3若）若动量F定FReR理e＝＝、00质心运则则动定vpC理＝＝守CC恒
动力学普遍定理
（4）动量矩定理
dLO dt
M
e O
2．定理
（LOz J z
（5）定轴转动微分方程
J z
M
e z
k
L
L
1
C. W 2k{02 [( L2 x2 ) 2 L]2} A
1
x
B
D.W 2k{02 [( L2 x 2 ) 2 L]2 }
C
W
1 2
k (12
2 2
)
1 2
k{02
[2(L2
1
x2)2
2L]2}
1
k
4{02
[( L2
x2
1
)2
注意定轴转动刚体的惯性力虚加于转轴上。
FIR
ml
2
FIRn man 0 , M IA J A m
根据动静法，有
F 0 , FA mg cos0 FIA 0
Fn 0 , FAn mg sin0 FInA 0
M A(F ) 0 , mgcos0 l/ 2 MIA 0
l
acy acn sin ac cos l2 sin l cos
y 由质心运动定理计算约束反力
Macx Fx
C
l
P
Macy
FOy o FOx
acn l
C
l
P (l 2 cos
g
xP
g
l
(l 2
sin ) Fox
Fox
Pl g
30
如图所示，均质杆AB质量为m，长为l，由图示位置（
度地倒下，求该瞬时A端所受到地面的约束反力。
动力学的主要内容
研究物体的机械运动 与作用力之间的关系
动力学所涉及的研究Hale Waihona Puke Baidu容包括：
1. 动力学第一类问题 —— 已知系统的运动，求作用 在系统上的力。
2. 动力学第二类问题 —— 已知作用在系统上的力， 求系统的运动。
动力学普遍定理
动量定理 动量矩定理 动能定理
动力学普遍定理
1、物理量
2
22
D.T 1 m(r)2 1 1 mr 2 2
2
22
r
O
例9-8 如图所示，均质杆OA，长2l ,重为P ，绕O 轴在铅
垂面内转动。杆与水平线成 角时，其角速度和角加速度
分别为 和 ，求该瞬时轴O 的约束反力。
【解】取杆OA为研究对象，受力如（b）图所示。
aac建xcn立坐al标cn c系2oosxya，c 杆acOslAin质心方加向速l如度2图为c所o：s示。则l：siOn
vi
mi
mO
y
x
动力学普遍定理
1、物理
② 简单形体的转动惯量
● 均质细圆环 JC mr2
m Cr
● 均质薄圆盘
JC
1 2
mr 2
● 均质细长杆
JC
1 12
ml 2
C rm
C
m
l
动力学普遍定理
1、物理
③ 平行移轴定理
m
J z1 J zC md 2
JO
JC
m( l )2 2
1 ml2 3
1 2
1 3
ml2 (vA l
)2
T2 0
W12
mg
l 2
k 2
(l
2 l)2 2
vA
3kl2 (2 4m
2)2 3gl
vA
A
C k
O 450
例11-5 如图所示，质量为m，半径为r的均质圆盘，可绕通过O 点且
直于盘平面的水平轴转动。设盘从最高位置无初速度地开始绕O轴
动。求当圆盘中心C和轴O点的连线经过水平位置时圆盘的角速度、
1、物理
（6）动能
● 质点 T 1 mv2 2
● 定轴转动刚体
T
1 2
J z 2
●
平移刚体
T
1 2
mvC2
●
平面运动刚体
T
1 2
m
vC2
1 2
J
（7）势能
M0
V F dr
T
1 2
J P 2
M
M0作为基准位置，势能为零，称为零势能点。
动力学普遍定理
2．定理
（1）动量定理
mg
FOy
FOy
1 mg 3
mg
C
aCn
aC
(b)
FO FOy
【思考与讨论】
1．选择题
（1）如图所示，半径为R，质量为m的均质圆轮，在水平地面上只
滚不滑，轮与地面之间的摩擦系数为f。试求轮心向前移动距离s的
程中摩擦力的功WF。 （ ）
D
A． WF=fmgs B． WF<fmgs
C． WF=Fs
平向左。
A
（2）AB作瞬时平动，在图示瞬时其质心速
度也只有水平分量 v2cx vA l1，方向水
平向左。
B
O
（3）轮B作平面运动，其质心B的运动轨迹为水平直线，所以B点的
度方向恒为水平，在图示瞬时
vB ，v方A 向水l1平向左。
所以
px
mv1x
py 0
mv2x mv3x
代入JO，有
JO
d
dt
mgr
2g
法二：用动能定理求角速度及角加速度。
T1 0
T2
1 2
J0 2
1 2
(1 2
mr 2
mr2 )2
3 4
mr2 2
W12 mgr (1 cos )
由T2－T1＝W12，得 3 mr22－0＝mgr(1 cos )
4
(*) 4 g (1 co
6g
D、杆的动量等于零
lO
3
A
[例] 基本量计算 (动量，动量矩，动能)
p
mvC
1 6
mL
LO
J O
[ 1 12
mL2
m( L )2 ]
6
p mR
LO
J O
3 2
mR2
p mv
LC
JC
1 2
m
1 mL2
9
LO rC mvC L
LO
mv R
a.m
dv dt
F
, b.m
dv dt
F
(A)
v
M
F
A、a、b都正确； B、a、b都不正确。
C、a正确，b不正确；D、a不正确，b正确。
n
(2)重量为G的汽车，以匀速v驶过凹形路面。试问汽车过路 面最低点时，对路面的压力如何 ? （ B ）
A、压力大小等于G； B、压力大小大于G。 C、压力大小小于G； D、已知条件没给够，无法判断。
JC
3 2
m
T
1 2
JO 2
1 mL2 2
18
T
1 2
JO 2
3 4
mR2 2
T 1 mv2 1 m
2
4
A
O
图示行星齿轮机构，已知系杆OA长为2r，
质量为m，行星齿轮可视为均质轮，质量
为m，半径为r，系杆绕轴O转动的角速度
为。则该系统动量主矢的大小为（ 3mr
），对轴O的动量矩大小为（13 mr 2）
3r
两边对（*）式求导 （3）求O处约束反力
3 mr2 ＝mgr sin
2
＝2g sin
3r
作圆盘的受力分析和运动分析，有
aCn aC
r 2 r r 2 g
3
4g 3r
4g 3
由质心运动定理，得
maCn
FOx
FOx
4 mg 3
maC
( 2
cos
sin l cos) Foy P
Foy
P
Pl g
( 2
sin
ac
P
A
[例12-1] 均质杆长l ,质量m, 与水平面铰接, 杆从与平面成0角位置静
落下。求开始落下时杆AB的角加速度及A点支座反力。 解：（法1）选杆AB为研究对象，虚加惯性力系：
角加速度及O处的反力。
y
【解】（1）用动能定理求角速度。
T1 0
T2
1 2
J0 2
1 2
(1 2
mr 2
mr2 )2
3 4
mr2 2
r C
W12 mgr
由T2－T1＝W12，得
3 mr22－0＝mgr
4 g
C
O
4
3r
(a)
（2）当OC在同一水平位置时，由动量矩定理有：
5 2
ml1
()
所以
p
px
5 2
ml1
A
方向水平向左
B
O
动力学普遍定理
[例 题
图示均质细直杆OA长为l，质量为m，质心C处连接一刚度系数
为k 的弹簧，若杆运动到水平位置时角速度为零，则初始铅垂位
（此时弹簧为原长）时，杆端A的速度vA为 多少？
T2－T1＝W12
T1
1 2
J O 2
【思考题】
1.选择题
（1）设刚体的动量为 P ，其质心的速度为vc，质量为M，
则式 P Mvc 。（ ）D A、只有在刚体作平动时才成立； B、只有在刚体作直线运动时才成立； C、只有在刚体作圆周运动时才成立； D、刚体作任意运动时均成立；
（2）质点作匀速圆周运动，其动量。（ C）
A、无变化；
3g 2l
cos0
t 0时
,
0
,
3g 2l
cos 0
3 ,
此时
0
由质心运动定理：
ma
C
FA
mg cos0
这里
aC
l
2
3g 4
cos0
0
ma
n C
mg
sin 0
FAn
所以
FAn mg sin 0 ,
FA
mg 4
c os0
（1）动量
（2）冲量
p mv
t
I 0 F dt
p
mi vi
mvC
i
（3）动量矩 LO MO (mivi ) ri miv
LOz J z
动力学普遍定理
1、物理
（4）转动惯量
z
① 定义
J z ri2mi
i
Jz
m
2 z
回转半径
ri
为m，OA 杆的长度为l1，AB杆的长度为l2，轮的半径为R，轮沿水平
作纯滚动。在图示瞬时，OA 的角速度为，则整个系统的动量为多
？
【解】因为按图示机构，系统可分成3个刚块：OA、AB、和轮B。 首先需找出每个刚块的质心速度：
（1）OA作定轴转动，其质心速度在图示
瞬时只有水平分量v1cx 1 2 l1，方向水
D． WF=0
s
MW
v
C
F
FN
(2)如图所示，楔块A向右移动速度为v1,质量为m的物块B沿斜面下滑
它相对于楔块的速度为v2，求物块B的动能TB。（ ）
D
A.
TB
m 2
v12
m 2
v2
2
B. TB
m 2
v
2
2
C. TB
D. TB
m
2m(v1 2 [(v1
v
2 )2
v2
c
os
，
3
系统动能为（ 11 mr2 2）。
3
质量为m长为l的均质细长杆，杆端B
置于水平面，A端铰接于质量为m，
为r的轮O边缘点A,已知轮沿水平面
小为的角速度作纯滚动，系统的动
大小为（ 3mr）0 ，对点P的动量矩
为（ ）。
7 2
mr
2）0，系统动能为（141
m
例
如图所示系统中，均质杆OA、AB与均质轮的质量均
由(2)得: FAn mg sin 0 ;
由(3)得: 代入(1)得:
3g
2l FA
cos0 ;
mg 4
c os0
。
29
法2：用动量矩定理+质心运动定理再求解此题：
解：选AB为研究对象， 由动量矩定理，得：
J A
mg
cos0
l 2
mg
l 2
cos0
1 ml 2
（3）一均质杆长为 l，重为P，以角速度 绕O轴转动。试确
定在图示位置时杆的动量。（ ）C
A、杆的动量大小 p Pl ，方向朝左
2g
B、杆的动量大小 p Pl ，方向朝右
B
3g
C、杆的动量大小 p Pl ，方向朝左
L]2}
2
（4）如图所示，平板A以匀速v沿水平直线向右运动，质量为 m，半径为r的均质圆轮B在平板上以匀角速度ω朝顺时针方向 滚动而不滑动，则轮的动能为（ ）B
A. T 1 mv2 1 3 mr 2 2
2
22
B.T 1 m(v r)2 1 1 mr 2 2
2
22
C.T 1 mv2 1 1 mr 2 2
O
zC
z1
C
d
C
m
l
动力学普遍定理
1、物理
（5）力的功 ● 常力的功
M1
FM
v
W F cos S
S
M2
M2
● 变力的功 W12 F dr F cos ds
M1
M1
● 重力的功
W12 mg(z1 z2 )
● 弹性力的功
W12
k 2
(12
2 2
)
动力学普遍定理
（6）平面运动微分方程
mxC Fx
i
myC Fy
i
JC M C (Fie )
i
动力学普遍定理
（7）动能定理
T2－T1＝W12
（8）机械能守恒
T V E 常数
2．定理
【思考题】
1．选择题
（1）如图所示，质量为m的质点受力F作用，沿平
面曲线运动，速度为v。试问下列各式是否正确？
)
2
v2 2
sin 2
]
B
v2
v
A
（3）如图所示，质量可以忽略的弹簧原长为2L，刚度系数为 k，两端固定并处于水平位置，在弹簧中点挂一重物，则重物 下降x路程中弹性力所作的功 。（ C）
A.
W
k {02
[(L
1
x) 2
L]2 }
2
1
B. W k{02 [( L2 x2 ) 2 L]2}
dp dt
FRe
（p mvC
（2）质心运动定理
m aC
FRe
（3若）若动量F定FReR理e＝＝、00质心运则则动定vpC理＝＝守CC恒
动力学普遍定理
（4）动量矩定理
dLO dt
M
e O
2．定理
（LOz J z
（5）定轴转动微分方程
J z
M
e z
k
L
L
1
C. W 2k{02 [( L2 x2 ) 2 L]2} A
1
x
B
D.W 2k{02 [( L2 x 2 ) 2 L]2 }
C
W
1 2
k (12
2 2
)
1 2
k{02
[2(L2
1
x2)2
2L]2}
1
k
4{02
[( L2
x2
1
)2
注意定轴转动刚体的惯性力虚加于转轴上。
FIR
ml
2
FIRn man 0 , M IA J A m
根据动静法，有
F 0 , FA mg cos0 FIA 0
Fn 0 , FAn mg sin0 FInA 0
M A(F ) 0 , mgcos0 l/ 2 MIA 0
l
acy acn sin ac cos l2 sin l cos
y 由质心运动定理计算约束反力
Macx Fx
C
l
P
Macy
FOy o FOx
acn l
C
l
P (l 2 cos
g
xP
g
l
(l 2
sin ) Fox
Fox
Pl g
30
如图所示，均质杆AB质量为m，长为l，由图示位置（
度地倒下，求该瞬时A端所受到地面的约束反力。
动力学的主要内容
研究物体的机械运动 与作用力之间的关系
动力学所涉及的研究Hale Waihona Puke Baidu容包括：
1. 动力学第一类问题 —— 已知系统的运动，求作用 在系统上的力。
2. 动力学第二类问题 —— 已知作用在系统上的力， 求系统的运动。
动力学普遍定理
动量定理 动量矩定理 动能定理
动力学普遍定理
1、物理量
2
22
D.T 1 m(r)2 1 1 mr 2 2
2
22
r
O
例9-8 如图所示，均质杆OA，长2l ,重为P ，绕O 轴在铅
垂面内转动。杆与水平线成 角时，其角速度和角加速度
分别为 和 ，求该瞬时轴O 的约束反力。
【解】取杆OA为研究对象，受力如（b）图所示。
aac建xcn立坐al标cn c系2oosxya，c 杆acOslAin质心方加向速l如度2图为c所o：s示。则l：siOn
vi
mi
mO
y
x
动力学普遍定理
1、物理
② 简单形体的转动惯量
● 均质细圆环 JC mr2
m Cr
● 均质薄圆盘
JC
1 2
mr 2
● 均质细长杆
JC
1 12
ml 2
C rm
C
m
l
动力学普遍定理
1、物理
③ 平行移轴定理
m
J z1 J zC md 2
JO
JC
m( l )2 2
1 ml2 3
1 2
1 3
ml2 (vA l
)2
T2 0
W12
mg
l 2
k 2
(l
2 l)2 2
vA
3kl2 (2 4m
2)2 3gl
vA
A
C k
O 450
例11-5 如图所示，质量为m，半径为r的均质圆盘，可绕通过O 点且
直于盘平面的水平轴转动。设盘从最高位置无初速度地开始绕O轴
动。求当圆盘中心C和轴O点的连线经过水平位置时圆盘的角速度、
1、物理
（6）动能
● 质点 T 1 mv2 2
● 定轴转动刚体
T
1 2
J z 2
●
平移刚体
T
1 2
mvC2
●
平面运动刚体
T
1 2
m
vC2
1 2
J
（7）势能
M0
V F dr
T
1 2
J P 2
M
M0作为基准位置，势能为零，称为零势能点。
动力学普遍定理
2．定理
（1）动量定理
mg
FOy
FOy
1 mg 3
mg
C
aCn
aC
(b)
FO FOy
【思考与讨论】
1．选择题
（1）如图所示，半径为R，质量为m的均质圆轮，在水平地面上只
滚不滑，轮与地面之间的摩擦系数为f。试求轮心向前移动距离s的
程中摩擦力的功WF。 （ ）
D
A． WF=fmgs B． WF<fmgs
C． WF=Fs
平向左。
A
（2）AB作瞬时平动，在图示瞬时其质心速
度也只有水平分量 v2cx vA l1，方向水
平向左。
B
O
（3）轮B作平面运动，其质心B的运动轨迹为水平直线，所以B点的
度方向恒为水平，在图示瞬时
vB ，v方A 向水l1平向左。
所以
px
mv1x
py 0
mv2x mv3x
代入JO，有
JO
d
dt
mgr
2g
法二：用动能定理求角速度及角加速度。
T1 0
T2
1 2
J0 2
1 2
(1 2
mr 2
mr2 )2
3 4
mr2 2
W12 mgr (1 cos )
由T2－T1＝W12，得 3 mr22－0＝mgr(1 cos )
4
(*) 4 g (1 co
6g
D、杆的动量等于零
lO
3
A
[例] 基本量计算 (动量，动量矩，动能)
p
mvC
1 6
mL
LO
J O
[ 1 12
mL2
m( L )2 ]
6
p mR
LO
J O
3 2
mR2
p mv
LC
JC
1 2
m
1 mL2
9
LO rC mvC L
LO
mv R
a.m
dv dt
F
, b.m
dv dt
F
(A)
v
M
F
A、a、b都正确； B、a、b都不正确。
C、a正确，b不正确；D、a不正确，b正确。
n
(2)重量为G的汽车，以匀速v驶过凹形路面。试问汽车过路 面最低点时，对路面的压力如何 ? （ B ）
A、压力大小等于G； B、压力大小大于G。 C、压力大小小于G； D、已知条件没给够，无法判断。
JC
3 2
m
T
1 2
JO 2
1 mL2 2
18
T
1 2
JO 2
3 4
mR2 2
T 1 mv2 1 m
2
4
A
O
图示行星齿轮机构，已知系杆OA长为2r，
质量为m，行星齿轮可视为均质轮，质量
为m，半径为r，系杆绕轴O转动的角速度
为。则该系统动量主矢的大小为（ 3mr
），对轴O的动量矩大小为（13 mr 2）
3r
两边对（*）式求导 （3）求O处约束反力
3 mr2 ＝mgr sin
2
＝2g sin
3r
作圆盘的受力分析和运动分析，有
aCn aC
r 2 r r 2 g
3
4g 3r
4g 3
由质心运动定理，得
maCn
FOx
FOx
4 mg 3
maC
( 2
cos
sin l cos) Foy P
Foy
P
Pl g
( 2
sin
ac
P
A
[例12-1] 均质杆长l ,质量m, 与水平面铰接, 杆从与平面成0角位置静
落下。求开始落下时杆AB的角加速度及A点支座反力。 解：（法1）选杆AB为研究对象，虚加惯性力系：
角加速度及O处的反力。
y
【解】（1）用动能定理求角速度。
T1 0
T2
1 2
J0 2
1 2
(1 2
mr 2
mr2 )2
3 4
mr2 2
r C
W12 mgr
由T2－T1＝W12，得
3 mr22－0＝mgr
4 g
C
O
4
3r
(a)
（2）当OC在同一水平位置时，由动量矩定理有：
5 2
ml1
()
所以
p
px
5 2
ml1
A
方向水平向左
B
O
动力学普遍定理
[例 题
图示均质细直杆OA长为l，质量为m，质心C处连接一刚度系数
为k 的弹簧，若杆运动到水平位置时角速度为零，则初始铅垂位
（此时弹簧为原长）时，杆端A的速度vA为 多少？
T2－T1＝W12
T1
1 2
J O 2
【思考题】
1.选择题
（1）设刚体的动量为 P ，其质心的速度为vc，质量为M，
则式 P Mvc 。（ ）D A、只有在刚体作平动时才成立； B、只有在刚体作直线运动时才成立； C、只有在刚体作圆周运动时才成立； D、刚体作任意运动时均成立；
（2）质点作匀速圆周运动，其动量。（ C）
A、无变化；
3g 2l
cos0
t 0时
,
0
,
3g 2l
cos 0
3 ,
此时
0
由质心运动定理：
ma
C
FA
mg cos0
这里
aC
l
2
3g 4
cos0
0
ma
n C
mg
sin 0
FAn
所以
FAn mg sin 0 ,
FA
mg 4
c os0
（1）动量
（2）冲量
p mv
t
I 0 F dt
p
mi vi
mvC
i
（3）动量矩 LO MO (mivi ) ri miv
LOz J z
动力学普遍定理
1、物理
（4）转动惯量
z
① 定义
J z ri2mi
i
Jz
m
2 z
回转半径
ri
为m，OA 杆的长度为l1，AB杆的长度为l2，轮的半径为R，轮沿水平
作纯滚动。在图示瞬时，OA 的角速度为，则整个系统的动量为多
？
【解】因为按图示机构，系统可分成3个刚块：OA、AB、和轮B。 首先需找出每个刚块的质心速度：
（1）OA作定轴转动，其质心速度在图示
瞬时只有水平分量v1cx 1 2 l1，方向水
D． WF=0
s
MW
v
C
F
FN
(2)如图所示，楔块A向右移动速度为v1,质量为m的物块B沿斜面下滑
它相对于楔块的速度为v2，求物块B的动能TB。（ ）
D
A.
TB
m 2
v12
m 2
v2
2
B. TB
m 2
v
2
2
C. TB
D. TB
m
2m(v1 2 [(v1
v
2 )2
v2
c
os
，
3
系统动能为（ 11 mr2 2）。
3
质量为m长为l的均质细长杆，杆端B
置于水平面，A端铰接于质量为m，
为r的轮O边缘点A,已知轮沿水平面
小为的角速度作纯滚动，系统的动
大小为（ 3mr）0 ，对点P的动量矩
为（ ）。
7 2
mr
2）0，系统动能为（141
m
例
如图所示系统中，均质杆OA、AB与均质轮的质量均
由(2)得: FAn mg sin 0 ;
由(3)得: 代入(1)得:
3g
2l FA
cos0 ;
mg 4
c os0
。
29
法2：用动量矩定理+质心运动定理再求解此题：
解：选AB为研究对象， 由动量矩定理，得：
J A
mg
cos0
l 2
mg
l 2
cos0
1 ml 2