两角和与差的三角函数

2. 两角和与差的三角函数 知识网络 两角和与差的三角函数结构简图

画龙点晴

公式

两角和与差的余弦:

cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β, cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β.

证明: 在直角坐标系xOy 内作单位圆O, 并作出角βα,与-β, 使角α的始

边为O x ,交圆O 于点P 1 ,终边交圆O 于点P 2 ;角β的始边为OP 2, 终边交圆O

于点P 3 , 角-β的始边为OP 1, 终边交圆O 于点P 4, 这时点P 1 ,P 2, P 3, P 4的坐标

分别是P 1(1,0), P 2(ααsin ,cos ) , P 3()sin(),cos(βαβα++),

P 4())sin(),cos(ββ--.由|P 1P 3|=|P 2P 4|及两点间距离公式, 得

2222]sin )[sin(]cos )[cos()(sin ]1)[cos(αβαββαβα--+--=++-+.

展开并整理, 得2-2),sin sin cos (cos 22)cos(βαβαβα--=+所以cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β. 这个公式对于任意的角βα,都成立. 在公式中用-β代替β,

就得到cos(α-β)=cos αcos(-β)-sin αsin(-β), 即cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β.

[活用实例]

[例1] 计算：(1) cos65︒cos115︒-cos25︒sin115︒;

(2)-cos70︒cos20︒+sin110︒sin20︒.

[题解] (1)原式= cos65︒cos115︒-sin65︒sin115︒=cos(65︒+115︒)=cos180︒= -1;

(2)原式= -cos 70︒cos20︒+sin70︒sin20︒=-cos(70︒+20︒)=0.

[例2] 已知sin α=5

3，cos β=1312求cos (α-β)的值. [题解] ∵sin α=5

3>0，cos β=1312>0 ∴α可能在一、二象限，β在一、四象限 若α、β均在第一象限，则cos α=54，sin β=135 cos(α-β)=65

6313553131254=⋅+⋅; 若α在第一象限，β在四象限，则cos α=54，sin β= -135 cos(α-β)=65

33)135(53131254=-⋅+⋅; 若α在第二象限，β在一象限，则cos α=-54，sin β=135 cos(α-β)=65

33135531312)54(-=⋅+⋅-; 若α在第二象限，β在四象限，则cos α=-

54，sin β= -135 cos(α-β)=6563)135(531312)54(-=-⋅+⋅-. [例3] 已知锐角α,β满足cos α=5

3 cos(α+β)=135-求cos β. [题解] ∵cos α=5

3 ∴sin α=5

4 又∵cos(α+β)=135-<0 ∴α+β为钝角 ∴sin(α+β)=1312, ∴cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α =65

3354131253135=⋅+⋅-. 两角和与差的正弦: sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β , sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β.

证明: 在两角和的余弦公式中, 利用诱导公式, 可得到

sin(α+β)=])2cos[()](2cos[βαπβαπ--=+-=βαπβαπsin )2

sin(cos )2cos(-+-=sin αcos β+cos αsin β, 即sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β.

用β-代替上面公式中的β,可得到sin(α-β)=sin αcos(-β)+cos αsin(-β),

即sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β.

[活用实例]

[例4] 已知 sin α+cos β=5

3 ① , cos α+sin β=5

4 ②，求sin (α+β). [题解] ①2: sin 2α+2sin αcos β+cos 2β=

259 ③ ②2: cos 2α+2cos αsin β+sin 2β=25

16 ④ ③+④: 2+2(sin αcos β+cos αsin β)=1 即：sin(α+β)=-

21. [例5] 已知sin(α+β)=

32,sin(α-β)=52 求βαtan tan 的值. [题解] ∵sin(α+β)=32 ∴sin αcos β+cos αsin β=3

2 ①

sin(α-β)=52 ∴sin αcos β-cos αsin β=5

2 ② ①+②：sin αcos β=

158 ①-②：cos αsin β=152 [例6] 已知432παβπ<<<，1312)cos(=-βα，53)sin(-=+βα，求sin2α的值. [题解] ∵013

12)cos(>=-βα 432παβπ<<< ∴40π

βα<

-< ∴135)sin(=-βα ∴23πβαπ<+< 又：53)sin(-=+βα ∴5

4)cos(-=+βα ∴sin2α=)sin()(0)cos()sin()]()sin[(βαβαβαβαβαβα-++-+=-++s c =6556135

54131253-=⨯-⨯-. 两角和与差的正切:

tan(α+β)=βαβαtan tan 1tan tan -+, tan(α-β)=β

αβαtan tan 1tan tan +-. 变形：tan α+tan β=tan(βα+)(1-tan αtan β).

证明: Θcos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β, sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β,

当0)cos(≠+βα时, 将两式的两边分别相除, 即tan(α+β)=β

αβαtan tan 1tan tan -+, 用-β代替上面公式中的β, 得到tan(α-β)=β

αβαtan tan 1tan tan +-. [活用实例]

[例7] 已知tan α=3

1，tan β= -2 求cot(α-β)，并求α+β的值，其中0︒<α<90︒, 90︒<β<180︒ . [题解] cot(α-β)=7

1tan tan tan tan 1)tan(1=-+=-βαβαβα ∵ tan(α+β)=1)2(3

11231tan tan 1tan tan -=-⨯--=-+βαχα,且∵0︒<α<90︒, 90︒<β<180︒ ∴90︒<α+β<270︒ ∴α+β=135︒.

[例8] 求下列各式的值：(1)ο

ο

75tan 175tan 1-+ ; (2)tan17︒+tan28︒+tan17︒tan28︒. [题解] (1)原式=3120tan )7545tan(75

tan 45tan 175tan 45tan -==+=-+οοοοοο

ο. (2) ∵οοο

οο

ο28tan 17tan 128tan 17tan )2817tan(-+=+ , ∴tan17︒+tan28︒=tan(17︒+28︒)(1-tan17︒tan28︒)=1- tan17︒tan28︒,

⇒βαtan tan =415

2158sin cos cos sin ==βαβα.