气体扩散系数之测定

氣體擴散係數之測定

(Determination of Gaseous Diffusion coefficient )

一、實驗目的：

1.認識 Fick’s first law 。

2.求出液體表面蒸發之氣體擴散係數。

二、實驗原理：

(一)氣體擴散係數

揮發性液體之氣體擴散係數可藉由Winklemann’s method 來檢測，在有限內徑的垂直毛細管中保持固定的溫度和經過毛細管頂部的空氣流量，可確定液體表面的分子擴散到氣體中的蒸氣分壓。

已知質傳速率：

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=Bm T A

A C C L

C

D 'N (1)

D = 擴散速率 (m 2/s)

C A = A 物質於界面間的飽和濃度 (kmol/m 3)

L =質傳有效距離(mm)

C Bm =蒸氣的對數平均莫耳濃度 (kmol/m 3) C T = 總莫耳濃度＝C A +C Bm (kmol/m 3)

液體的蒸發速率：

(2)

ρL = 液體密度

因此 ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛Bm T A

L C C L C

D dt dL M ρ (3)

at t=0 , L=L 0 做積分

t C C C ρMD 2L L Bm T

A L 202⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=- (4) ()()t C C C ρMD 2L 2L L L L Bm T A L 000⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+--

(5) ()()0A T Bm L 0A T Bm L 0L C MDC C ρL L C C C MD 2ρL L t ⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛+-⎪⎪⎭⎫

⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=-

(6)

M = 分子量 、 t = 時間 其中

⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=a

abs T T T Vol kmol C 1 ， 其中 Vol ＝22.4 m 3

(7)

T 1B C C =

(8)

T a v a 2B C P P P C ⎪⎪⎭⎫

⎝⎛-=

(9) )C C ln()C (C C B2B1B2B1Bm -= (10)

T a v A C P P C ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=

(11)

⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=dt dL M ρ'N L A

(二)線型最小平方法

最小平方法或稱最小平方差法 (least-squares method) 的最基礎型──線型的 (linear)。今有一組實驗數據基本上呈現線型的態勢，則若以b ax y +=表示直線方程式，其中a 代表斜率 (slope)，b 代表截距 (intercept)，則最小平方法就是在使誤差的平方和達到最小，即使下式最小化 (minimize)

()[]2

n

1i i i b ax y E ∑+-==

因此

()()∑---==∂∂=n

1i i i i x b ax y 20a

E

()()∑---==∂∂=n

1i i i 1b ax y 20b

E

將上二式常規化 (normalize) 得

∑∑∑=+====n

1

i n

1

i n

1

i i i i 2

i

y x x b x a

∑∑=+==n

1

i n

1

i i i y bn x a

據此b ,a 可由Cramer 法則求出

斜率()

∑∑-∑∑∑-=

2

2i

i i i i i

x x n y x y x n a

截距()x

a y x n x y x y x

b 2i 2

i i

i i i 2i -=∑∑-∑∑∑∑-=

其中y 是y 的平均值，x 是x 的平均值。

一般而言，線性關係的良窈可由Ｅ值的大小來判斷，但要注意y 值本身的大小。此外，統計學家尚有一個相關係數 (correlation coefficient) 的判斷法，相關係數R 可由下式計算

yy

xx xy S S S R =

其中，()()∑∑∑-

=-=n

x x

x x S 2i

2i

2

i xx ()()∑∑∑∑-

=--=n

y x y x y y x x S i

i i i i i xy ()

()∑∑∑-

=-=n

y y

y y S 2i

2i

2

i yy 線型關係的強弱度是

1. Ｒ等於±1為完美（perfect ）的線性關係。

2. Ｒ趨近±1為強烈（strong ）的線性關係。

3. Ｒ趨近0 為微弱（weak ）的線性關係。

【例1】將此數據表示成b ax y +=時，E ,b ,a 與R 為何？ x y

1 5.1

2

3 3 6 2.48 9 2.3

4 1

5 2.18

【解】

代入公式後計算得知

=a -0.16603，=b 4.1528，=E 2.54，=R -0.753

由誤差之平方和及相關係數皆可判斷這組數據之線型關係並不強烈。

指數型（exponential form ）的關係式亦常出現在工程的實務應用上。這 類型可表為

b ax y = 或 bx ae y = 乍看之下這兩式並非線型關係，但我們祇要兩邊取對數就可將之轉換為線型關係式。即

x ln b a ln y ln += 或 bx a ln y ln += 上式在全對數（log-log ）座標上即為線型關係，下式在半對數（semi-log ）座標上亦構成線型關係。

【例2】將下列數據表成bx ae y =式 x y

1 1.5

2 1.7

3 2.1

4 2.2

5 2.7

6 3.0

7 3.5

8 4.0

【解】

因為bx a ln y ln +=，所以套入公示可計算出

斜率140.0b = 截距270.0a ln = 相關係數952.0R = 故得x 14.0e 31.1y =。