对称性与守恒量
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不随时间变化
福州大学 物理与信息工程学院
11
∂L & qi ∑ ∂q − L = E i i
推导仅仅利用了L不显含时间，因此， 能量守恒不仅对封闭系统成立，对常 外场中的系统也成立.
& L = T ( q, q ) − U ( q )
速度的二次函数
∂L ∂T & & ∑ qi ∂q = ∑ qi ∂q = 2T i i i i & E = T ( q, q ) + U ( q ) ——守恒量
ψ (τ ) ( t ) = U (τ ) ψ ( t ) = ψ ( t − τ )
福州大学
物理与信息工程学院
21
Schrodinger方程： 方程： 方程
n
d H ψ (t ) = ψ (t ) dt ih
n
d H ψ (t ) = ψ (t ) dt ih
ψ (t − τ ) = ∑
n =0
∞
( −τ )
1 iτ d ψ (t ) = ∑ H ψ (t ) n! dt n =0 n! h
n ∞ n
n
泰勒展开
ψ (t − τ ) = e
时间平移算符
福州大学
i
Hτ h
ψ (t )
——幺正变换 幺正变换
物理与信息工程学院
A ( t ) = (ψ ( t ) , Aψ ( t ) )
∂A + ψ , ψ ∂t
物理与信息工程学院
d ∂ψ ∂ψ A (t ) = , Aψ + ψ , A dt ∂t ∂t
福州大学
17
利用Schrodinger方程 方程 利用
Quantum Physics
对称性与守恒量
物理与信息工程学院 曾永志
主要参考文献： 主要参考文献：
《量子力学》第二版 张永德 科学出版社 《量子力学》第四版 曾谨言 科学出版社 《力学》第五版 朗道等 高等教育出版社 《量子力学》（非相对论理论）第六版 朗道 《费曼物理学讲义》第三卷 世界图书出版社 《Modern Quantum Mechanics》 Sakurai 《Principles of Quantum Mechanics》 Shankar 《The Principles of Quantum Mechanics》 Dirac
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2
经典物理学
牛顿力学（包括后来建立的相对论力学）：只限于 研究物体在其外在时空中的机械运动，一旦涉及物 质结构、物质的内禀属性就一筹莫展。 其物理系统是以实物粒子为其主要体系。 光学（包括电磁波理论）：只限于研究光的传导， 一旦进入光的产生和吸收、光与物质相互作用领域， 就显得捉襟见肘、漏洞百出。 其物理系统是以波为其主要体系。
1 2 r r E 笛卡尔坐标系中： = ∑ mvα + U ( ri , r2 , ⋅ ⋅⋅) α 2
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12
空间均匀——动量守恒 动量守恒 空间均匀
d ∂L ∂L − =0 & dt ∂qα ∂qα
将系统中所有质点平移，即广义坐标： qα → qα + ε
∂L ∂L δ qα = ε ∑ L改变量： δ L = ∑ α ∂qα α ∂qα
Hψ k = Ekψ k , Aψ k = Akψ k
体系的任意态
ψ ( t ) = ∑ ak ( t )ψ k , ak ( t ) = (ψ k ,ψ ( t ) )
k
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19
态下， 时刻测量 时刻测量A得 在 ψ ( t )态下，在t时刻测量 得Ak的概率为 | ak ( t ) |2
U (τ ) = e
i
Hτ h
22
态的变化： 态的变化：
ψ ( t ) → ψ (τ ) ( t ) = U (τ ) ψ ( t ) = ψ ( t − τ )
算符点变化
Ω→Ω
(τ )
= U (τ ) ΩU (τ )
−1
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23
空间均匀性和动量守恒定律
r 平移算符 U ( a ) ： r r r r (a) r ψ ( r , t ) = U ( a ) ψ ( r , t ) = ψ ( r − a, t )
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3
M. Planck Einstein
N. Bohr de Broglie Schrodinger Heisenberg
Pauli
M. Born
Dirac
1900 福州大学
1910
1920
1930
物理与信息工程学院
4
一、无处不在的对称
福州大学
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5
对称无处不在
∂ ih ψ = Hψ ∂t
d Hψ Hψ A (t ) = , Aψ + ψ , A dt ih ih
∂A + ψ , ψ ∂t 1 1 ∂A = − (ψ , HAψ ) + (ψ , AHψ ) + ψ , ψ ih ih ∂t 1 ∂A 1 ∂A = (ψ , [ A, H ]ψ ) + = < [ A, H ] > + < > ih ∂t ih ∂t
∂L ∑ ∂q = 0 的物理含义 α α
α
∂L / ∂qα = −∂U / ∂qα = Fα
——广义力 广义力
∑ Fα = 0 α
如果只有两个力： 如果只有两个力：
合外力为零
r r F1 + F2 = 0
福州大学
作用与反作用互等定律
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14
空间各向同性——角动量守恒 角动量守恒 空间各向同性
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10
时间均匀——能量守恒 能量守恒 时间均匀
时间均匀，意味着L不显含时间
d ∂L ∂L − =0 & dt ∂qα ∂qα
dL ∂L ∂L & && =∑ qi + ∑ qi & dt i ∂qi i ∂qi
拉氏方程
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
dL d ∂L ∂L d ∂L & && & = ∑ qi +∑ qi = ∑ qi & & & dt dt ∂qi i i ∂qi i dt ∂qi d ∂L & − L = 0 ∑ qi dt i ∂qi
qα 为广义坐标， qα 为广义速度. &
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9
最小作用量原理： Least Action
& S = ∫ L ( q, q, t ) dt
t2 t1
取最小值.
奥卡姆剃刀：“如无必要，勿增实体”， 即“简单有效原理” 。
奥卡姆
由最小作用量原理，得到：
d ∂L ∂L − = 0 ——拉格朗日方程 & dt ∂qα ∂qα
如果A不显含时间， 如果 不显含时间， 不显含时间
d 1 A ( t ) = < [ A, H ] > dt ih
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18
如果A和 对易 如果 和H对易
[ A, H ] = 0,
A称为守恒量 称为守恒量
dA =0 dt
——平均值不随时间变化 平均值不随时间变化
概率分布随时间变化 可以选择包括H和 在内的力学 由于 [ A, H ] = 0 ，可以选择包括 和A在内的力学 量完全集， 量完全集，本征态为ψ k
θ
r r r r & 由：∂L / ∂vα = pα , ∂L / ∂rα = pα
r r r r r r & ⋅ (δϕ × r ) + p ⋅ (δϕ × v ) = 0 ∑ pα α α α
α
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15
δϕ ⋅ ∑ (
r
α
r r r r r r r & + v × p = δϕ ⋅ d rα × pα α ∑ rα × pα =0 α dt α d r r ∑ rα × pα =0 dt α
r r 1 r ∂ ψ ( r − a , t ) = ∑ ∑ −ai ψ (r ,t ) ∂xi n =0 n ! i =1
∞ 3
n
=e
r − a ⋅∇
ir r − a⋅ p r r h ψ (r ,t ) = e ψ (r ,t )
量子体系的守恒量，无论在什么态（定态或非定态） 量子体系的守恒量，无论在什么态（定态或非定态） 平均值或测值的分布概率都不随时间改变. 下，平均值或测值的分布概率都不随时间改变
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20
1、时间均匀性和能量守恒定律 、
时间流逝本身是均匀的， 时间流逝本身是均匀的，并不存在与众不同的绝对 的时间标架， 的时间标架，一个孤立的没有任何外界参照物的量 子系统的Hamilton量中不能显含时间参量 量中不能显含时间参量——否则 子系统的 量中不能显含时间参量 否则 就可以观测系统的绝对时间坐标， 就可以观测系统的绝对时间坐标，违背时间轴的均 匀性质。 匀性质。 设想将系统的描述沿时间轴向未来平移τ 设想将系统的描述沿时间轴向未来平移τ。
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6
数学世界最悲情的斗士
1832年5月30日，伽罗华死于一次近乎自杀的 决斗。决斗前的那个晚上，伽罗华在天亮之前 那最后几个小时写出的东西，为一个折磨了数 学家们几个世纪的问题找到了真正的答案，并 且开创了数学的一片新的天地——群论。
伽罗华(1811-1832）
在手稿的最后，他说：“请雅可比或高斯公开提出他们的意 见，不是对这些定理的正确性，而是对它们的重要性。”
r δ r = r sin θ ⋅ δϕ r r r δ v = δϕ × v
r r r δ r = δϕ × r
δϕ
r
δr
r r
r
δϕ
L变化量为： 变化量为： 变化量为 ∂L r ∂L r δ L = ∑ r ⋅ δ rα + r ⋅ δ vα = 0 ∂vα α ∂r α
临死前，他对在他身边哭泣的弟弟说：“不要哭，我需要足 够的勇气在20岁的时候死去”.
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7
2、对称性的分类
对称性是指系统某种不可分辨性，某种属性的不可观测. 变换连续性：相应变换是连续还是离散的来分类。 比如，空间平移、时间平移是连续变换，而空间反 射、时间反演、全同粒子置换是离散变换. 变换属性：按照对称性涉及的是系统的内禀属性还 是外在属性来分类。空间平移、时间平移、空间旋 转是系统所处的时空性质对系统运动方式提出的要 求，是时空固有属性在系统行为中的体现；全同粒 子置换和同位旋空间旋转对称性是系统内部对称性； 空间反射、时间反演对称性，也根源于系统内部的 动力学性质，反映了系统的内禀属性.
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8
二、经典力学
经典力学有3种不同的理论形式：牛顿（矢量）力学、 拉格朗日力学和哈密顿力学。 从矢量力学的角度看，机械能守恒、动量守恒、角动 量守恒是耗散力做功、外力和外力矩为零的缘故；而 从拉氏方程从另一角度揭示了守恒的更深刻原因—— 时空对称性。
& 拉格朗日函数： L ( qα , qα , t ) = T − U
r r r M = ∑ rα × pα
α
)
角动量（或动量矩） 角动量（或动量矩）为守恒量
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16
量子力学中力学量随时间的演化
在经典力学中，每一个力学量 作为时间的函数 作为时间的函数， 在经典力学中，每一个力学量A作为时间的函数，在 每一时刻都有确定值. 量子力学中， 每一时刻都有确定值 量子力学中，并不是所有的力 学量都具有确定值，一般说来， 学量都具有确定值，一般说来，一个力学量的观测值 只具有确定的概率分布和平均值. 只具有确定的概率分布和平均值 力学量平均值随时间变化 平均值
* ∂ψ ( t ) d | ak ( t ) |2 dak = ak + cc = ∂t ,ψ k (ψ k ,ψ (t ) ) + cc dt dt H = ψ ( t ) ,ψ k (ψ k ,ψ (t ) ) + cc 复共轭项 ih 1 = − (ψ ( t ) , Hψ k ) (ψ k ,ψ (t ) ) + cc ih 2 Ek = − ψ ( t ) ,ψ k + cc = 0 ih
对于任意ε , δ L = 0
速度与平移无关
∂L ∑ ∂q = 0 α α
d ∂L d ∂L ∑ dt ∂q = dt ∑ ∂q = 0 &α &α α α
∂L P=∑ 广义动量为守恒量） （广义动量为守恒量） & α ∂qα
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13
笛卡尔坐标系下： 笛卡尔坐标系下： P = ∑ mα vα
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11
∂L & qi ∑ ∂q − L = E i i
推导仅仅利用了L不显含时间，因此， 能量守恒不仅对封闭系统成立，对常 外场中的系统也成立.
& L = T ( q, q ) − U ( q )
速度的二次函数
∂L ∂T & & ∑ qi ∂q = ∑ qi ∂q = 2T i i i i & E = T ( q, q ) + U ( q ) ——守恒量
ψ (τ ) ( t ) = U (τ ) ψ ( t ) = ψ ( t − τ )
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Schrodinger方程： 方程： 方程
n
d H ψ (t ) = ψ (t ) dt ih
n
d H ψ (t ) = ψ (t ) dt ih
ψ (t − τ ) = ∑
n =0
∞
( −τ )
1 iτ d ψ (t ) = ∑ H ψ (t ) n! dt n =0 n! h
n ∞ n
n
泰勒展开
ψ (t − τ ) = e
时间平移算符
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i
Hτ h
ψ (t )
——幺正变换 幺正变换
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A ( t ) = (ψ ( t ) , Aψ ( t ) )
∂A + ψ , ψ ∂t
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d ∂ψ ∂ψ A (t ) = , Aψ + ψ , A dt ∂t ∂t
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利用Schrodinger方程 方程 利用
Quantum Physics
对称性与守恒量
物理与信息工程学院 曾永志
主要参考文献： 主要参考文献：
《量子力学》第二版 张永德 科学出版社 《量子力学》第四版 曾谨言 科学出版社 《力学》第五版 朗道等 高等教育出版社 《量子力学》（非相对论理论）第六版 朗道 《费曼物理学讲义》第三卷 世界图书出版社 《Modern Quantum Mechanics》 Sakurai 《Principles of Quantum Mechanics》 Shankar 《The Principles of Quantum Mechanics》 Dirac
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2
经典物理学
牛顿力学（包括后来建立的相对论力学）：只限于 研究物体在其外在时空中的机械运动，一旦涉及物 质结构、物质的内禀属性就一筹莫展。 其物理系统是以实物粒子为其主要体系。 光学（包括电磁波理论）：只限于研究光的传导， 一旦进入光的产生和吸收、光与物质相互作用领域， 就显得捉襟见肘、漏洞百出。 其物理系统是以波为其主要体系。
1 2 r r E 笛卡尔坐标系中： = ∑ mvα + U ( ri , r2 , ⋅ ⋅⋅) α 2
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空间均匀——动量守恒 动量守恒 空间均匀
d ∂L ∂L − =0 & dt ∂qα ∂qα
将系统中所有质点平移，即广义坐标： qα → qα + ε
∂L ∂L δ qα = ε ∑ L改变量： δ L = ∑ α ∂qα α ∂qα
Hψ k = Ekψ k , Aψ k = Akψ k
体系的任意态
ψ ( t ) = ∑ ak ( t )ψ k , ak ( t ) = (ψ k ,ψ ( t ) )
k
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态下， 时刻测量 时刻测量A得 在 ψ ( t )态下，在t时刻测量 得Ak的概率为 | ak ( t ) |2
U (τ ) = e
i
Hτ h
22
态的变化： 态的变化：
ψ ( t ) → ψ (τ ) ( t ) = U (τ ) ψ ( t ) = ψ ( t − τ )
算符点变化
Ω→Ω
(τ )
= U (τ ) ΩU (τ )
−1
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空间均匀性和动量守恒定律
r 平移算符 U ( a ) ： r r r r (a) r ψ ( r , t ) = U ( a ) ψ ( r , t ) = ψ ( r − a, t )
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3
M. Planck Einstein
N. Bohr de Broglie Schrodinger Heisenberg
Pauli
M. Born
Dirac
1900 福州大学
1910
1920
1930
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一、无处不在的对称
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5
对称无处不在
∂ ih ψ = Hψ ∂t
d Hψ Hψ A (t ) = , Aψ + ψ , A dt ih ih
∂A + ψ , ψ ∂t 1 1 ∂A = − (ψ , HAψ ) + (ψ , AHψ ) + ψ , ψ ih ih ∂t 1 ∂A 1 ∂A = (ψ , [ A, H ]ψ ) + = < [ A, H ] > + < > ih ∂t ih ∂t
∂L ∑ ∂q = 0 的物理含义 α α
α
∂L / ∂qα = −∂U / ∂qα = Fα
——广义力 广义力
∑ Fα = 0 α
如果只有两个力： 如果只有两个力：
合外力为零
r r F1 + F2 = 0
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空间各向同性——角动量守恒 角动量守恒 空间各向同性
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时间均匀——能量守恒 能量守恒 时间均匀
时间均匀，意味着L不显含时间
d ∂L ∂L − =0 & dt ∂qα ∂qα
dL ∂L ∂L & && =∑ qi + ∑ qi & dt i ∂qi i ∂qi
拉氏方程
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
dL d ∂L ∂L d ∂L & && & = ∑ qi +∑ qi = ∑ qi & & & dt dt ∂qi i i ∂qi i dt ∂qi d ∂L & − L = 0 ∑ qi dt i ∂qi
qα 为广义坐标， qα 为广义速度. &
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9
最小作用量原理： Least Action
& S = ∫ L ( q, q, t ) dt
t2 t1
取最小值.
奥卡姆剃刀：“如无必要，勿增实体”， 即“简单有效原理” 。
奥卡姆
由最小作用量原理，得到：
d ∂L ∂L − = 0 ——拉格朗日方程 & dt ∂qα ∂qα
如果A不显含时间， 如果 不显含时间， 不显含时间
d 1 A ( t ) = < [ A, H ] > dt ih
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18
如果A和 对易 如果 和H对易
[ A, H ] = 0,
A称为守恒量 称为守恒量
dA =0 dt
——平均值不随时间变化 平均值不随时间变化
概率分布随时间变化 可以选择包括H和 在内的力学 由于 [ A, H ] = 0 ，可以选择包括 和A在内的力学 量完全集， 量完全集，本征态为ψ k
θ
r r r r & 由：∂L / ∂vα = pα , ∂L / ∂rα = pα
r r r r r r & ⋅ (δϕ × r ) + p ⋅ (δϕ × v ) = 0 ∑ pα α α α
α
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δϕ ⋅ ∑ (
r
α
r r r r r r r & + v × p = δϕ ⋅ d rα × pα α ∑ rα × pα =0 α dt α d r r ∑ rα × pα =0 dt α
r r 1 r ∂ ψ ( r − a , t ) = ∑ ∑ −ai ψ (r ,t ) ∂xi n =0 n ! i =1
∞ 3
n
=e
r − a ⋅∇
ir r − a⋅ p r r h ψ (r ,t ) = e ψ (r ,t )
量子体系的守恒量，无论在什么态（定态或非定态） 量子体系的守恒量，无论在什么态（定态或非定态） 平均值或测值的分布概率都不随时间改变. 下，平均值或测值的分布概率都不随时间改变
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1、时间均匀性和能量守恒定律 、
时间流逝本身是均匀的， 时间流逝本身是均匀的，并不存在与众不同的绝对 的时间标架， 的时间标架，一个孤立的没有任何外界参照物的量 子系统的Hamilton量中不能显含时间参量 量中不能显含时间参量——否则 子系统的 量中不能显含时间参量 否则 就可以观测系统的绝对时间坐标， 就可以观测系统的绝对时间坐标，违背时间轴的均 匀性质。 匀性质。 设想将系统的描述沿时间轴向未来平移τ 设想将系统的描述沿时间轴向未来平移τ。
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6
数学世界最悲情的斗士
1832年5月30日，伽罗华死于一次近乎自杀的 决斗。决斗前的那个晚上，伽罗华在天亮之前 那最后几个小时写出的东西，为一个折磨了数 学家们几个世纪的问题找到了真正的答案，并 且开创了数学的一片新的天地——群论。
伽罗华(1811-1832）
在手稿的最后，他说：“请雅可比或高斯公开提出他们的意 见，不是对这些定理的正确性，而是对它们的重要性。”
r δ r = r sin θ ⋅ δϕ r r r δ v = δϕ × v
r r r δ r = δϕ × r
δϕ
r
δr
r r
r
δϕ
L变化量为： 变化量为： 变化量为 ∂L r ∂L r δ L = ∑ r ⋅ δ rα + r ⋅ δ vα = 0 ∂vα α ∂r α
临死前，他对在他身边哭泣的弟弟说：“不要哭，我需要足 够的勇气在20岁的时候死去”.
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2、对称性的分类
对称性是指系统某种不可分辨性，某种属性的不可观测. 变换连续性：相应变换是连续还是离散的来分类。 比如，空间平移、时间平移是连续变换，而空间反 射、时间反演、全同粒子置换是离散变换. 变换属性：按照对称性涉及的是系统的内禀属性还 是外在属性来分类。空间平移、时间平移、空间旋 转是系统所处的时空性质对系统运动方式提出的要 求，是时空固有属性在系统行为中的体现；全同粒 子置换和同位旋空间旋转对称性是系统内部对称性； 空间反射、时间反演对称性，也根源于系统内部的 动力学性质，反映了系统的内禀属性.
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二、经典力学
经典力学有3种不同的理论形式：牛顿（矢量）力学、 拉格朗日力学和哈密顿力学。 从矢量力学的角度看，机械能守恒、动量守恒、角动 量守恒是耗散力做功、外力和外力矩为零的缘故；而 从拉氏方程从另一角度揭示了守恒的更深刻原因—— 时空对称性。
& 拉格朗日函数： L ( qα , qα , t ) = T − U
r r r M = ∑ rα × pα
α
)
角动量（或动量矩） 角动量（或动量矩）为守恒量
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16
量子力学中力学量随时间的演化
在经典力学中，每一个力学量 作为时间的函数 作为时间的函数， 在经典力学中，每一个力学量A作为时间的函数，在 每一时刻都有确定值. 量子力学中， 每一时刻都有确定值 量子力学中，并不是所有的力 学量都具有确定值，一般说来， 学量都具有确定值，一般说来，一个力学量的观测值 只具有确定的概率分布和平均值. 只具有确定的概率分布和平均值 力学量平均值随时间变化 平均值
* ∂ψ ( t ) d | ak ( t ) |2 dak = ak + cc = ∂t ,ψ k (ψ k ,ψ (t ) ) + cc dt dt H = ψ ( t ) ,ψ k (ψ k ,ψ (t ) ) + cc 复共轭项 ih 1 = − (ψ ( t ) , Hψ k ) (ψ k ,ψ (t ) ) + cc ih 2 Ek = − ψ ( t ) ,ψ k + cc = 0 ih
对于任意ε , δ L = 0
速度与平移无关
∂L ∑ ∂q = 0 α α
d ∂L d ∂L ∑ dt ∂q = dt ∑ ∂q = 0 &α &α α α
∂L P=∑ 广义动量为守恒量） （广义动量为守恒量） & α ∂qα
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笛卡尔坐标系下： 笛卡尔坐标系下： P = ∑ mα vα