广东省七校联合体2020届高三第一次联考数学(理)试题含答案

七校联合体2020届高三第一次联考试卷（8月）

理科数学

命题学校：中山市第一中学

命题人：

审题人：

本试卷6页，23小题，满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域

内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合

题目要求。

1.已知集合2{|60}A x x x =+->，集合{|13}B x x =-<<，则A B = （

）A．(2,3)

B．(1,2)

-C．(3,3)

-D．(1,3)

-2.已知i 为虚数单位，(1)3z i i +=-，则在复平面上复数z 的共轭复数对应的点位于（

）

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

3.为比较甲、乙两名高中学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验（指标值满分为5分，分值高者为优），根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述正确的是（

）

A．乙的数据分析素养优于甲

B．乙的数学建模素养优于数学抽象素养C．甲的六大素养整体水平优于乙D．甲的六大素养中数据分析最差4.已知1cos(),63πα+

=则sin(2)6

π

α-=（）

A．79-

B．

79

C．

89

D．89

-

5.已知抛物线2

1:12C y x =与双曲线22

22:13

x y C a -=的焦点相同，双曲线2C 的离心率为（

）

A.

2

B.

6

C.

62

D.

52

6.若函数()sin()(0)3f x x πωω=+

>的最小正周期为π，若将其图象向左平移12

π

个单位，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的解析式为（

）

A．1()sin()26g x x π=+

B．1()sin()2

3

g x x π=-C．()sin(2)

6

g x x π

=+D．()cos 2g x x

=7.在直角梯形ABCD 中，4,2AB CD ==，//,AB CD AB AD ⊥，E 是BC 的中点，则

()AB AC AE ⋅+=

（

）

A．B．C．

D．

8.设函数2

1()ln

1x

f x x x

+=-，则函数()f x 的图象可能为（）

A．B．

C．D．

9.已知长方体1111ABCD A B C D -中，14,2AB CC ==，长方体的体积是32，则直线1BC 和平面

11DBB D 所成角的正弦值为（

）

A.

32

B.

52

C.

105

D.

1010

10.已知抛物线2:4C y x =,过焦点F 且斜率为3的直线与C 相交于,P Q 两点,且,P Q 两点在准线上的投影分别为,M N 两点,则MFN S ∆=（

）

A.

83

B.

833

C.

163

D.

1633

11.图中长方形的总个数中，其中含阴影部分的长方形个数的概率为（

）

A.124

B.

1235C.

115

D.

31210

12.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1a 为函数()()3sin cos f x x x x =+∈R 的最大值，且满

足1

12

n n n n n a a a S a S +-=

-，则数列{}n a 的前2019项之积2019A =（）

A．20192B．12

C．1

-D．1

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若,x y 满足约束条件210

2--100x y x y x -+≥⎧⎪

≤⎨⎪≥⎩

，则32z x y =-的最大值是_______．

14．4

4

1(1)(1)

x x

-+的展开式中，常数项是______．

15．已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，3AB =，PAB ∆是等边三角形，且平面PAB ⊥平面ABCD ，若四棱锥P ABCD -的外接球的表面积为28π，则AD =__________．16.已知1x ，2x 是函数()2sin 2cos 2f x x x m =+-在[0，]2

π

内的两个零点，则12sin()x x +=__________．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足1111,(1)1(2,)2

1

n n a n a n n N na -=+=-≥∈+．

（1）求2a 、3a ；（2）求证：数列

1

(1)n

n a +为等差数列；

（3）求数列2

{(21)}n n a +的前n 项和n S ．