数学分析定义,定理,推理一览表

定义1 给定两个非负实数 012

..,n x a a a a = 012..,n

y b b b b =

其中00,a b 为非负整数，(),1,2,k k a b k =为整数，若有

09,09.k k a b ≤≤≤≤ 则称x 与y 相等，记为x y =.

()0011,0,1,2,

,

,.

k k l l a b l a b k l a b x y y x x y y x ++>==>><若或存在非负实数使得而则称大于或小于分别记为或

定义2

012012

..1

10

0,1,2,.n

n

n n n

x a a a a x a a a a x n x x x n n ===+=设为非负实数.称有理数

为实数的位不足近似，而有理数

称为的位过剩近似，

1.R 00.

2.b b,b, b.

3.b,b c, c.

4.b R,b>>0,n n >b.

5.a a a a a a a a a R >=<>>>∈实数的一些主要性质

实数集对加、减、乘、除（除数不为）四则运算是封闭的，即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为）仍然是实数实数集是有序的，即任意两个实数、必满足下述三个关系之一：实数的大小关系具有传递性，即若则有实数具有阿基米德性，即对任何、若则存在正整数，使得实数具有稠密性，即任何两个不相等的实数之间必有另一个实数，且既有有理数也有无理数.

6.如果一直线（通常画成水平直线）上确定一点o 作为原点，指定一个方向为正方向（通常把指向右边的方向为正方向），并规定一个单位长度，则称此直线为数轴.任意实数都对应数轴上唯一的一点；反之，数轴上的每一个点也都唯一地代表一个实数.于是，实数集R 与数轴上的点有着一一对应关系.

定义3

,0,

,0.

a a a a a a a a a ≥⎧=⎨

-<⎩实数的绝对值定义为从数轴上看，数的绝对值就是到原点的距离.

绝对值得一些性质

1.0;=00.

2..

3.;(0).

4..

5..

6.

(0).a a a a a a a a h h a h a h h a h h a b R a b a b a b ab a b a a

b b b

=-≥=-≤≤<⇔-<<≤⇔-≤≤>∈∈-≤±≤+==≠当且仅当时有对于任何、有如下三角形不等式：

定义4

区间和邻域

(){}[]{}[){}{}{}{}{}(),,,,,

,,.,],

(,),(,),(,),,0.;,(),(a b x a x b a b x a x b a b x a x b a b R a x x a a x x a a x x a x x R a R x a x a U a U a U δδδδ⎧⎧=<<⎪⎪⎪

=≤≤⎪⎨

⎪⎪

=≤<⎪⎪⎩⎪

∈⎧-∞=≤⎨⎪⎪

+∞=>⎪⎪

⎨⎪-∞=<⎪⎪

⎪⎪-∞+∞=-∞<<+∞=⎩⎩∈>-<开区间:，有限区间闭区间：半开半闭区间:区间（无限区间邻域：满足的全体实数的集合称为点的邻域，记作或即有;){|||}(,).(;){|0||}.(;)[,);(;),];(;)(,);(;)(,);(){|||}(){|a x x a a a a U a x x a a U a a a a U a a a a U a a a a U a a a U X x M M U X δδδδδδδδδδδδδδδδδδ+-+

-

=-<=-+=<-<=+=

-=+=-∞∞=>+∞+∞=。。

。

点的空心邻域：

点的右邻域：点的左邻域：（点的空心右邻域：点的空心左邻域：邻域，其中为充分大正数；邻域}(){|}x M M U X x M M >-∞-∞=<-，其中为充分大正数；邻域，其中为充分大正数；

定义5 有界的定义

(),(),(),0,,S R M L x S x M x L S M L S S R M x S x M S S S S ∈≤≥⊆∃>∀∈⇒≤设为中的一个数集.若存在,使得对一切都有则称为有上界（下界）的数集，数称为的一个上界（下界）.

简记：称有界.若数集既有上界又有下界，则称为有界集.若不是有界集，

则称为无界集.

定义6 确界的定义

()()()()00001..,,,,,=sup ..,,,,,S R i x S x S ii x S x S S S S R i x S x S ii x S x S S ηηηαηαηηηξξξβξβξξ⊆∀∈≤∀<∃∈>⊆∀∈≥∀>∃∈<设若数满足：

有即是的上界；

使得即又是的最小上界，

则称为数集的上确界，记作

2.设若数满足：

有即是的下界；

使得即又是的最大下界，

则称为数集的下确界，记作

=S

ξ inf

定理1

min .

S S S S S S S ηηξξ∈⇔∈⇔=设数集有上确界.

i)=sup =max .ii)=inf 定理一 确界原理

.S S S S 设为非空数集若有上界，则必有上确界；若有下界，则必有下确界.

定理2

.sup inf .

A B x A y B x y A B A B ∈∈≤≤设、为非空数集，满足：对一切和有数集有上确界，数集有下确界，且

推广的确界原理 任一非空数集必有上、下确界（正常的或非正常的）.