数学建模作业8 牙膏销售量模型

b=polyfit(x2,y,2); x3=5.00:0.05:7.25; y2=polyval(b,x3);

subplot(2,1,1);plot(x1,y,'*',x1,y1,'b');title('ͼ1 y¶Ôx1µÄÉ¢µãͼ'); subplot(2,1,2);plot(x2,y,'o',x3,y2,'b');title('ͼ2 y¶Ôx2µÄÉ¢µãͼ')

从图1可以发现，随着1x 的增加，y 的值有比较明显的线性增长趋势，图中的直线是用线性模型

011(1)y x ββε

=++

拟合的（其中ε是随机变量）。而在图2中，当2x 增大时，y 有向上弯曲增加的趋势，图中的曲线是用二次函数模型

2

01222(2)y x x βββε

=+++

拟合的。

综合上面的分析，结合模型（1）和（2）建立如下的回归模型

2

0112232(3)y x x x ββββε

=++++

（3）式右端1x 和2x 称为回归变量（自变量），2

0112232x x x ββββ+++是给定价差1x ，广告费

用2x 时，牙膏销售量y 的平均值，其中的参数0123,,,ββββ称为回归系数，由表1的数据估计，影响y 的其他因素作用都包含在随机误差ε中。如果模型选择合适，ε应该大致服从均值为0的正态分布。

五、模型求解

（显示模型的求解方法、步骤及运算程序、结果） 2）、确定回归模型系数，求解出教程中模型（3）： 建立程序chengxu2.m 如下：

x1=[-0.05 0.25 0.60 0 0.25 0.20 0.15 0.05 -0.15 0.15 0.20 0.10 0.40 0.45 0.35 0.30 0.50 0.50 0.40 -0.05 -0.05 -0.10 0.20 0.10 0.50 0.60 -0.05 0 0.05 0.55]'; x2=[5.50 6.75 7.25 5.50 7.00 6.50 6.75 5.25 5.25 6.00 6.50 6.25 7.00 6.90 6.80 6.80 7.10 7.00 6.80 6.50 6.25 6.00 6.50 7.00 6.80 6.80 6.50 5.75 5.80 6.80]';

X=[ones(30,1) x1 x2 x2.^2];

Y=[7.38 8.51 9.52 7.50 9.33 8.28 8.75 7.87 7.10 8.00 7.89 8.15 9.10 8.86 8.90 8.87 9.26 9.00 8.75 7.95 7.65 7.27 8.00 8.50 8.75 9.21 8.27 7.67 7.93 9.26]'; [b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X); b,bint,stats

结果如下： b = 17.3244

1.3070

-3.6956

0.3486

bint =

5.7282 28.9206

0.6829 1.9311

-7.4989 0.1077

0.0379 0.6594

stats =

0.9054 82.9409 0.0000 0.0490

表2模型（3）的计算结果

参数参数估计值参数置信区间

β17.3244 [5.7282，28.9206]

β 1.3070 [0.6829，1.9311]

1

β-3.6956 [-7.4989,0.1077]

2

β0.3486 [0.0379,0.6594]

3

2

R=0.9054 F=82.9409 p<0.0001 2s=0.0490

R=0.9054指因变量y（销售量）的90.54%可由模型确定，F值远远超结果分析：表2显示，2

过F检验的临界值，p远小于α，因而模型（3）从整体来看是可用的。

表2

的回归系数给出了模型（3）中0123,,,ββββ的估计值，即

17.3244,

1.3070,

3.6956,

0.34860

31

2

ββββ∧

∧

∧

∧

===-=。检查他们的置信区间发现，只有

2β的置信区间包含零点（但区间右端点距零点很近），表明回归变量2x （对因变量y 的影响）

不是太显著，但由于2

2x 是显著的，我们仍将变量2x 保留在模型中。

六、模型改进

3）对模型进行改进，确定回归模型系数，求解出教程中模型（5）：

模型（3）中回归变量1x 和2x 对因变量y 的影响是相互独立的，即牙膏销售量y 的均值与广告费用2x 的二次关系由回归系数2β和3β确定，而不依赖于价格差1x ，同样，y 的均值与1x 的线性关系由回归系数1β确定，而不依赖于2x 。根据直觉和经验可以猜想，1x 和2x 之间的交互作用会对y 有影响，不妨简单地用1x ，2x 的乘积代表它们的相互作用，于是将模型（3）增加一项，得到

2

0112232412(5)y x x x x x βββββε

=+++++

在这个模型中，y 的均值与2x 的二次关系为2

241232()x x x βββ++，由系数234,,βββ确定，

并依赖于价格1x 。

建立程序chengxu3.m 如下：

x1=[-0.05 0.25 0.60 0 0.25 0.20 0.15 0.05 -0.15 0.15 0.20 0.10 0.40 0.45 0.35 0.30 0.50 0.50 0.40 -0.05 -0.05 -0.10 0.20 0.10 0.50 0.60 -0.05 0 0.05 0.55]'; x2=[5.50 6.75 7.25 5.50 7.00 6.50 6.75 5.25 5.25 6.00 6.50 6.25 7.00 6.90 6.80 6.80 7.10 7.00 6.80 6.50 6.25 6.00 6.50 7.00 6.80 6.80 6.50 5.75 5.80 6.80]';

X=[ones(30,1) x1 x2 x2.^2 x1.*x2];

Y=[7.38 8.51 9.52 7.50 9.33 8.28 8.75 7.87 7.10 8.00 7.89 8.15 9.10 8.86 8.90 8.87 9.26 9.00 8.75 7.95 7.65 7.27 8.00 8.50 8.75 9.21 8.27 7.67 7.93 9.26]'; [b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X); b,bint,stats

结果如下：