应用多元统计分析课后习题答案高惠璇第五章部分习题解答

或取B ( (1) (2) )( (1) (2) )
1105
2250 10,
10 110000
100 100
(组间)
类似于例5.3.1的解法, A-1B的特征根就等于
d 2 ( (1) (2) ) A1( (1) (2) )
(10,10)
37 5
5 38
1100
1 1381
P(2 | x 2.5) 0.0304 0.0984, P(3 | x 2.5) 0.1174 0.3798,
0.3091
0.3091
因0.5218>0.3798>0.0984,所以样品x=2.5判归G1.
8
第五章 判别分析
5 3 设总体Gi 的均值为 (i) (i 1,2),同协差阵.
5
第五章 判别分析
(2)按Bayes准则
解一:广义平方距离判别法
样品X到Gt的广义平方距离的计算公式为
Dt2 ( X ) dt2 ( X ) g1(t) g2 (t),(t 1,2,3).
其中g 1
(t
)
ln
|
2 t
|,
g2
(t)
0.
当样品x=2.5时,
D12 (x) 1 ln(0.5)2 0.3863 ,
时,
u(
X
(
2)
)
1 89765
(32,33)1250
3.8050
因u( X (2) ) 3.8050 u* 判X (2) G1.
15
第五章 判别分析
(2)Bayes 准则(假设1 2 解 :由定理5.2.1,只须计算
1128
1322
)
h1( X ) q2L(1| 2) f2 ( X ), h2 ( X ) q1L(2 |1) f1( X ), 并比较大小, 判X属损失最小者.考虑
P(2 |1)
P{X
*
|
X
~
N
(
(1)
,
2 1
)}
P{X
*
|
X
~
N
(
(1)
,
2 1
)}
P
X
(1) 1
*
1
(1)
P
X
(1) 1
*
1
(1)
2
第五章 判别分析
记 b
* (1) 1
(2)
1
1
2 2
(1)
(1)
1
(2) (1) , 1 2
a * (1) 1
• 皮肌炎是一种引起皮肤、肌肉、 心、肺、肾等多脏器严重损害的， 全身性疾病，而且不少患者同时 伴有恶性肿瘤。它的1症状表现如 下：
• 1、早期皮肌炎患者，还往往伴 有全身不适症状，如-全身肌肉酸 痛，软弱无力，上楼梯时感觉两 腿费力；举手梳理头发时，举高 手臂很吃力；抬头转头缓慢而费 力。
第五章 判别分析
2
类似可证 :
E(aX
| G2)
1 2
( (1)
(2) )1( (1)
(2) )
0,.
即 E(aX | G1) , E(aX | G2) .
9
第五章 判别分析
由此题的结论可得出判别法:
aX 判X G1 , aX 判X G2 .
W ( X ) 0 判X G1, W ( X ) 0 判X G2 ,
应用多元统计分析
第五章部分习题解答
1
第五章 判别分析
5-1 已知总体Gi (m=1)的分布为:
N
(
(i)
,
2 i
)(i=1,2)
,按距
离判别准则为(不妨设μ(1)>μ(2),σ1<σ2)
xxGG21,,
若 若x
* x *或x
* , *,
其中
解:
*
1 (2) 1
2 2
(1)
试.求错判概率P(2|1)和P(1|2).
(2) )1( (1)
(2) )
1 d 2 [其中d 2 ( (1) (2) )1( (1) (2) )]
2
2 1
D(W
(X
))
D[a( X
)]
aD( X
)a
aa
( (1) (2) )1 • • 1( (1) (2) ) d 2
P(2 |1)
P{W ( X
)
0|
X
G1}
2
(1) 2
1 1
(
2)
(1)
1
(2) (1)
,
2 1
P(2 |1) P{U b} P{U a} (U ~ N (0,1)) (b) (a)
3
第五章 判别分析
P(1| 2)
P{ *
X
*
|
X
~
N
(
(2
)
,
2 2
)}
P
X
(2) 2
*
2
(
2)
P
X
(2) 2
* (2)
h1( X ) L(1| 2) f2 ( X ) 75 • f2 ( X ) h2 ( X ) L(2 |1) f1( X ) 10 f1( X )
7.5 exp{ 1 ( X (2) )1( X (2) )
2
1 ( X (1) )1( X (1) )}
2 16
第五章 判别分析
7.5 exp{( X )1( (1) (2) )( 1250)
7.5exp{ 10 216
(X
)130 }.
当X (1)
2200时,
h1( X (1) ) h2 ( X (1) )
7.5 exp{125} 54
75.9229
1
因h1( X ) h2 ( X ),故判X (1) G2.
nt
X
(t ) (i)
(t
1,2))
i 1
S
n1
1 n2
2
( A1
A2 ).
试证明: a S 1( X (1) X (2) )使比值 (ad )2 达最大值, aSa
且最大值为马氏距离D2
(其中D2 ( X (1) X (2) )S 1( X (1) X (2) )).
18
第五章 判别分析
u (2) a (2)
1 89765
(32,33)
2205
1465 4.8897 89765
u (1) u (2)
当X (1)
20 20
时,
u(
X
(1)
)
1 89765
(32,33)
20 20
4.3390
因u( X (1) ) 4.3390 u* , 判X (1) G2.
当X (1)
15 20
P{W ( X ) 1 1
0 1} 1
P{U 1 d 2 / d} ( 1 d ) 1 (1 d ).
2
2
2
其中 U W ( X ) 1 ~ N (0,1).
1
22
第五章 判别分析
当X
G2时,W
(
X
)
~
N1 (
2
,
2 2
), 且
2
( (2)
)a
1 2
d
2
,
2 2
d
2
P(1| 2)
P{W ( X )
记 1 (a (1) a (2) ),(其中a 1( (1) (2) )),
2
试证明(1)E(aX | G1) ;(2)E(aX | G2 ) .
解:
E(aX
|
G1)
a (1)
1 2
(a (1)
a (2)
)
1 2
(a (1)
a (2) )
1 ( (1) (2) )1( (1) (2) ) 0, (因 0)
其中W ( X ) a( X *)
( X * )1( (1) (2) ) ,
* 1 ( (1) (2) ).
2 10
第五章 判别分析
5-4 设有两个正态总体G1和G2,已知(m=2)
(1)
1105, (2)
20 25
,
1
11Leabharlann Baidu8
12 32
,
2
20 7
7 5
.
先验概率q1 q2,而L(2 |1) 10, L(1| 2) 75.试问样品
q1
q2
q3
1 , L( 3
j
|
i)
10,,ii
j j
解:(1)按距离准则,当样品x=2.5时,
d12 (x)
(2.5 2)2 0.52
1,
d
2 2
(
x)
(2.5 0)2 22
1.5625 ,
d32 (x)
(2.5 3)2 12
0.25,
因0.25<1<1.5625,所以样品x=2.5判归G3.
2
PU a PU b
(1) 2
(2) 1
(1) 1
(2) 2
.
.
(b) (a)
4
第五章 判别分析
5-2 设三个总体的分布分别为: G1为N(2,0.52), G2为
N(0,22),G3为N(3,12).试问样品x=2.5应判归哪一类?
(1) 按距离准则；
(2) 按Bayes准则
X (1)
20 20
及X
(2
)
1250 各应判归哪一类?
(1) 按Fisher准则
解 : 取A 1 2
1128
12 32
20 7
7 5
38 5
5 37
(组内)
B 2 ( (i) )( (i) ) 1 ( (1) (2) )( (1) (2) )
i 1
2
11
皮肌炎图片——皮肌炎的症状表现
D22 (x) 1.5625 ln 22 2.9488 ,
D32 (x) 0.25 ln 1 0.25,
因样品到G1的广义平方距离最小,所以将样品
x=2.5 判归G1.
6
第五章 判别分析
解二:利用定理5.2.1的推论,计算 qt ft (x), (t 1,2,3)
当样品x=2.5时,
f1(x)
1
2
2 1
exp
1
2
2 1
(
x
(1)
)2
1 1.2533
exp
1 2
1
1 0.6065 0.4839 1.2533
所以 q1 f1(x) 0.1613, 类似可得
q2 f2 (x) 0.0304, q3 f3(x) 0.1174,
因0.1613>0.1174>0.0304,所以样品x=2.5判归G1.
6500 1381
4.7067
取a 1 A1( (1) (2) )
d
1 65 1381
3323 , 则aAa
1,
且a满足 : Ba Aa ( d 2 ).
13
第五章 判别分析
14
第五章 判别分析
u (1) a (1)
1 89765
(32,33)1105
815 2.7202 89765
当X (2)
1250 时,
h1( X (2) ) h2 ( X (2) )
7.5 exp{0}
7.5
1
因h1( X ) h2 ( X ),故判X (2) G2.
17
第五章 判别分析
55
已知X
(t ) (i)
(t
1,2; i
1,2...,ni
)为来自Gt的样本.
记d X (1) X (2) , (其中X (t) 1 nt
判X G2 , 当W ( X ) 0, 试求错判概率P(2 |1)和P(1| 2).
解 : 记a 1 ( (1) (2) ),W ( X ) ( X )a是X的
线性函数,当X
G1时,W
(X
)
~
N1
(
1
,
2 1
),
且
21
第五章 判别分析
1
E(W ( X
))
( (1)
)a
1 2
( (1)
20
第五章 判别分析
5 6 设两个p维正态总体N p ( (i) , )(i 1,2).设
(1) , (2) , 已知.线性判别函数
W ( X ) ( X )1( (1) (2) ), 1 ( (1) (2) ),
2 判别准则为 判X G1 , 当W ( X ) 0,
解 : (a) (ad )2 (ad )(ad )
aSa
aSa
a( X
(1)
X
(2) )( X aSa
(1)
X
(2) )a
def
aBa aSa
1
其中1为S 1B的最大特征值,且仅当a 1对应的
特征向量时等号成立.
又S 1B ( X (1) X (2) )( X (1) X (2) )S 1与
7
第五章 判别分析
解三:后验概率判别法,
计算样品x已知,属Gt的后验概率:
P(t | x)
qt ft (x)
3
(t 1,2,3)
qi fi (x)
i 1
当样品x=2.5时,经计算可得
P(1| x 2.5)
0.1613
0.1613 0.5218,
0.1613 0.0304 0.1174 0.3091
D2 ( X (1) X (2) )S 1( X (1) X (2) )
有相同的特征值.故1 D2;
19
第五章 判别分析
以下来验证a就是D2对应的一个特征向量 : S 1Ba S 1( X (1) X (2) )( X (1) X (2) )S 1( X (1) X (2) )
S 1( X (1) X (2) ) • D2 D2a. 故当取a S 1( X (1) X (2) )时,比值(a) D2达最大值.
0|
X
G2}
P{W ( X ) 2 2
0 2 } 2
P{U 1 d 2 / d} 1 (1 d ).
2
2
其中 U W ( X ) 2 ~ N (0,1). 2
23