5 平衡微分方程
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Lunar Festival
徐徐离海角 袅袅入云衢 此夜一轮满 清光何处无 释如满
露从今夜白 月是故乡明
十 五 的 月 亮 十 六 圆
弹性体的变形
• 弹性体受力之后的变形和位移都很小， 悬臂梁 • 可以用变形之前的位置和尺度表示变形之 can 后的位置和尺度。 t i l e v e r • 对于物体中的每一点，都有确定的空间位 置，用坐标表示。 • 物体受力之后，各点都会产生微小的位置 变化，也就是位移。 • 不同的点位移不同，就会引起变形。
弹性力学的平面问题
平面应力问题： 很薄的等厚薄板
受力情况： 只在板边上受平行 于板面且不沿厚度 变化的面力和约束
弹性力学的平面问题
平面应变问题： 很长的柱形体，截面形状 受力等都不沿长度变化，
注意，每一个截面都是 对称平面
z 0 z 0
虎 克 定 律 平面应变
相似之处
平面应力
弹性力学的平衡微分方程
弹性体的受力：外力和内力
物体内部材料的相互作用力称为内力， 单位面积的内力称为应力( stress ) 。
设想将物体切开，分开两部分
的相互作用可以用力来表示。
力随位置而变化。 取微小面积，将作用力除以面 积，在面积趋于零即趋于一点 时的极限，就是该点处应力。
弹性体的受力：外力和内力
物体内部材料的相互作用力称为内力， 单位面积的内力称为应力(Normal)stress stress 。
N μN T1 T2 R δ
A
θ
R B
F
W
T2 cos
2
T1 cos
2
N
θ
T2 sin
2
T1 sin
2
N
弹性力学的平衡微分方程
弹性体受到外力作用之后，内部产生应力。 如果从物体中任意切出一小块，其在内力和体积力 的共同作用下，应该处于平衡状态。
弹性力学的平衡微分方程
弹性体受到外力作用之后，内部产生应力。 如果从物体中任意切出一小块，其在内力和体积力 的共同作用下，应该处于平衡状态。
圣维南原理：如果把物体一小部分边界上的 面力，变换为分布不同但静力等效的，那么 其近处的应力分布将发生改变，而远处所受 到的影响可以不计。
静力等效：合力相同，合力矩相同 关键词：小部分边界；静力等效；局部影响 小部分边界：与物体的尺度相比是较小的
弹性力学问题的位移求解
1) 力平衡方程
困难所在
2) 物理方程
轴一致为正；反之亦然
应力的方向和正负
应力张量的概念 中心点 C 力矩平衡
x
两个坐标面上应力知
道后，其它任一方向
上应力可以求出来。
剪应力是对称的。
x , y , xy
以平面问题说明
应力张量的概念：正应力、剪应力的极值
l cos(n, x)
m cos(n, y)
选取坐标轴为应力主向
u v x , y x y
xy
v u x y
3 个应变是有两个位移确定的，
因而应变分量不是独立的，满足关系 ：
xy
2
x y 2 2 xy y x
2 2
变形协调方程
或相容方程
应变也是一个张量（应变矩阵）
物理方程：广义虎克（胡克）定律
2 xy
x 2 2 xy y x
2
2 y
弹性力学的边界条件
边界条件表示弹性体在边界上的 位移与约束或者应力与面力之间的关系 位移（或约束）边界条件：
应力（或面力）边界条件：
黑板上画图再说明一次
注意：应力和面力 正方向的定义
弹性力学的边界条件
作业：P32, ex 2-8
新课
弹性体受到外力作用之后，内部产生应力。 如果从物体中任意切出一小块，其在内力和体积力 的共同作用下，应该处于平衡状态。
这就是说，物体内部的应力之间必须满足一 定的关系：力平衡关系。
为了便于理解平衡微分方程的建立过程，先 复习圆轮摩擦力的欧拉公式
圆轮摩擦力的欧拉公式
dT 摩擦力的概念： T d 取一个微小的弧段 进行力平衡分析 T Fe
力与变形成正比：刚度
本构关系：
Constitution, 正应力与正应变成正比：杨氏模量 E Constitutive 侧向变形，泊松效应 μ equation
弹性力学的平面问题
一切弹性体的空间的，三维的。 那为什么要考虑平面问题？ 空间问题比较困难，平面问题比较简单 先做简单的事情，积累经验 对有些特定的物体，将其间化为平面问题， 可能更能体现物体的受力和变形特征。
v u x y
v u x y
UA
VA VB
PA 的转动量VA
UB
PB 的转动量UB
u v 弹性体的变形 x x , y y
xy
v u x y
UA VA VB
刚体移动：
UB
平移和转动
弹性体的变形: 正应变 和 剪应变
Shear stress 应力在作用截面的法线方向和
切线方向上的两个分量，分别
称为正应力σ和剪应力τ。 一点处的正应力和剪应力， 其大小和方向随选用的截面
而变化。
弹性体的受力：外力和内力
物体内部材料的相互作用力称为内力， 单位面积的内力称为应力。
正应力与面外法向一致 为正，即以拉应力为正 在面外法向与坐标轴 一致时，剪应力与坐标
弹性力学的平衡微分方程
弹性体受到外力作用之后，内部产生应力。 如果从物体中任意切出一小块，其在内力和体积力 的共同作用下，应该处于平衡状态。
dT T d
空间问题 振动问题
弹性力学的基本方程：平面应力问题
1) 力平衡方程 2) 物理方程
作 业
3) 几何方程
u v v u xy x , y x y x y
3) 几何方程
u v x , y x y
xy
v u x y
弹性力学解决的问题
楔 形 体 受 静 水 压 力
弹性力学解决的问题
圆 管 受 内 压
弹性力学解决的问题
圆 管 受 外 压
弹性力学解决的问题
圆孔的孔边应力集中
祝大家 工作愉快 万事如意
VB
PA 的伸长量UA
UB
PB 的伸长量VB
弹性体的变形: 正应变 normal strain
u v x , y x y UA
VA VB
PA 的伸长量UA
UB
PB 的伸长量VB
弹性体的变形: 剪应变 shear strain
徐徐离海角 袅袅入云衢 此夜一轮满 清光何处无 释如满
露从今夜白 月是故乡明
十 五 的 月 亮 十 六 圆
弹性体的变形
• 弹性体受力之后的变形和位移都很小， 悬臂梁 • 可以用变形之前的位置和尺度表示变形之 can 后的位置和尺度。 t i l e v e r • 对于物体中的每一点，都有确定的空间位 置，用坐标表示。 • 物体受力之后，各点都会产生微小的位置 变化，也就是位移。 • 不同的点位移不同，就会引起变形。
弹性力学的平面问题
平面应力问题： 很薄的等厚薄板
受力情况： 只在板边上受平行 于板面且不沿厚度 变化的面力和约束
弹性力学的平面问题
平面应变问题： 很长的柱形体，截面形状 受力等都不沿长度变化，
注意，每一个截面都是 对称平面
z 0 z 0
虎 克 定 律 平面应变
相似之处
平面应力
弹性力学的平衡微分方程
弹性体的受力：外力和内力
物体内部材料的相互作用力称为内力， 单位面积的内力称为应力( stress ) 。
设想将物体切开，分开两部分
的相互作用可以用力来表示。
力随位置而变化。 取微小面积，将作用力除以面 积，在面积趋于零即趋于一点 时的极限，就是该点处应力。
弹性体的受力：外力和内力
物体内部材料的相互作用力称为内力， 单位面积的内力称为应力(Normal)stress stress 。
N μN T1 T2 R δ
A
θ
R B
F
W
T2 cos
2
T1 cos
2
N
θ
T2 sin
2
T1 sin
2
N
弹性力学的平衡微分方程
弹性体受到外力作用之后，内部产生应力。 如果从物体中任意切出一小块，其在内力和体积力 的共同作用下，应该处于平衡状态。
弹性力学的平衡微分方程
弹性体受到外力作用之后，内部产生应力。 如果从物体中任意切出一小块，其在内力和体积力 的共同作用下，应该处于平衡状态。
圣维南原理：如果把物体一小部分边界上的 面力，变换为分布不同但静力等效的，那么 其近处的应力分布将发生改变，而远处所受 到的影响可以不计。
静力等效：合力相同，合力矩相同 关键词：小部分边界；静力等效；局部影响 小部分边界：与物体的尺度相比是较小的
弹性力学问题的位移求解
1) 力平衡方程
困难所在
2) 物理方程
轴一致为正；反之亦然
应力的方向和正负
应力张量的概念 中心点 C 力矩平衡
x
两个坐标面上应力知
道后，其它任一方向
上应力可以求出来。
剪应力是对称的。
x , y , xy
以平面问题说明
应力张量的概念：正应力、剪应力的极值
l cos(n, x)
m cos(n, y)
选取坐标轴为应力主向
u v x , y x y
xy
v u x y
3 个应变是有两个位移确定的，
因而应变分量不是独立的，满足关系 ：
xy
2
x y 2 2 xy y x
2 2
变形协调方程
或相容方程
应变也是一个张量（应变矩阵）
物理方程：广义虎克（胡克）定律
2 xy
x 2 2 xy y x
2
2 y
弹性力学的边界条件
边界条件表示弹性体在边界上的 位移与约束或者应力与面力之间的关系 位移（或约束）边界条件：
应力（或面力）边界条件：
黑板上画图再说明一次
注意：应力和面力 正方向的定义
弹性力学的边界条件
作业：P32, ex 2-8
新课
弹性体受到外力作用之后，内部产生应力。 如果从物体中任意切出一小块，其在内力和体积力 的共同作用下，应该处于平衡状态。
这就是说，物体内部的应力之间必须满足一 定的关系：力平衡关系。
为了便于理解平衡微分方程的建立过程，先 复习圆轮摩擦力的欧拉公式
圆轮摩擦力的欧拉公式
dT 摩擦力的概念： T d 取一个微小的弧段 进行力平衡分析 T Fe
力与变形成正比：刚度
本构关系：
Constitution, 正应力与正应变成正比：杨氏模量 E Constitutive 侧向变形，泊松效应 μ equation
弹性力学的平面问题
一切弹性体的空间的，三维的。 那为什么要考虑平面问题？ 空间问题比较困难，平面问题比较简单 先做简单的事情，积累经验 对有些特定的物体，将其间化为平面问题， 可能更能体现物体的受力和变形特征。
v u x y
v u x y
UA
VA VB
PA 的转动量VA
UB
PB 的转动量UB
u v 弹性体的变形 x x , y y
xy
v u x y
UA VA VB
刚体移动：
UB
平移和转动
弹性体的变形: 正应变 和 剪应变
Shear stress 应力在作用截面的法线方向和
切线方向上的两个分量，分别
称为正应力σ和剪应力τ。 一点处的正应力和剪应力， 其大小和方向随选用的截面
而变化。
弹性体的受力：外力和内力
物体内部材料的相互作用力称为内力， 单位面积的内力称为应力。
正应力与面外法向一致 为正，即以拉应力为正 在面外法向与坐标轴 一致时，剪应力与坐标
弹性力学的平衡微分方程
弹性体受到外力作用之后，内部产生应力。 如果从物体中任意切出一小块，其在内力和体积力 的共同作用下，应该处于平衡状态。
dT T d
空间问题 振动问题
弹性力学的基本方程：平面应力问题
1) 力平衡方程 2) 物理方程
作 业
3) 几何方程
u v v u xy x , y x y x y
3) 几何方程
u v x , y x y
xy
v u x y
弹性力学解决的问题
楔 形 体 受 静 水 压 力
弹性力学解决的问题
圆 管 受 内 压
弹性力学解决的问题
圆 管 受 外 压
弹性力学解决的问题
圆孔的孔边应力集中
祝大家 工作愉快 万事如意
VB
PA 的伸长量UA
UB
PB 的伸长量VB
弹性体的变形: 正应变 normal strain
u v x , y x y UA
VA VB
PA 的伸长量UA
UB
PB 的伸长量VB
弹性体的变形: 剪应变 shear strain