扭转刚度

T
D
D 2
FD 扭矩： wk.baidu.com矩： T = 2
簧丝横截面上的应力： 簧丝横截面上的应力：
FS
1、剪力 F 引起的 τ1 近似 、 S 认为是均匀分布 2、扭矩 T 引起的 τ 2 按照 、 圆轴扭转计算
τ1
τ 2max
簧丝横截面上的应力： 簧丝横截面上的应力：
τ1 =
π
F d2
4F = πd 2
τ1
A d
Tmax =155 N ⋅ m
轴的强度条件为： 轴的强度条件为：
Tmax 16Tmax = = ≤ [τ ] 3 πD W t
16Tmax
MⅡ
T(N ⋅ m)
MⅢ
MⅣ
τ max
D≥3
π [τ ]
=3
16×155 π × 40×106
39.3
= 2.72×10−2 m
155
轴的刚度条件为： 轴的刚度条件为：
k—修正系数（曲度系数） 修正系数（曲度系数） 修正系数
τ max
k=
c=
4c −1 0.615 + 4c − 4 c
D d
8FD =k πd 3
弹簧的强度条件： 弹簧的强度条件：
τ max ≤ [τ ]
二、弹簧的变形计算
λ
外力功： 外力功：
F 弹簧的压缩（拉伸） 弹簧的压缩（拉伸）变形
λ
F
1 W = Fλ 2
Me
两端固定的圆轴， 两端固定的圆轴， 受力如图， 受力如图， A a C l 求：两端的约束力偶矩 b B
轴受力如图
Me
A a C l b B
∑M
x
=0
Me = M A + MB (1)
一次超静定 变形条件： 变形条件：ϕBA = 0 ϕBA = ϕBC +ϕCA = 0
MA
A
Me
C
MB
B
− MBb M Aa T + =0 GIP GIP b M A = MB (2) a 联解（ ）（ ），得 ）（2）， 联解（1）（ ），得： b a MA = Me MB = Me a +b a +b
簧丝横截面上的应力： 簧丝横截面上的应力：
τ max
8FD d = +1 A 3 πd 2D
τ1
τ 2max
A
对于簧丝的直径 d 远小 于弹簧的中径D的情况 的情况， 于弹簧的中径 的情况，
d
τ max
8FD ≅ πd 3
在考虑簧丝的曲率和
τ1 分布不均匀时： 分布不均匀时：
对于等直圆轴， 为常数时 对于等直圆轴，T为常数时
l
Me Me
Tl ϕ= GIP
φ 相距 l 的两个截面之间的相对扭转角 φ
弧度 圆轴的抗扭刚度
GIP
对于阶梯轴，以及等直圆轴但扭矩为阶梯形变化的情况， 对于阶梯轴，以及等直圆轴但扭矩为阶梯形变化的情况， 分段计算， 分段计算，求代数和
Tl ϕ =∑ GIP
§3-5 圆轴扭转时的变形 一、圆轴扭转角的计算
由公式
l
Me
dϕ
dϕ T = dx GIP T 得到 dϕ = dx GIP
积分， 积分，得：
Me
φ
相距 dx 的两个截面之间的相对扭转角
T ϕ=∫ dx l GI P
对于等直圆轴， 为常数时 对于等直圆轴，T为常数时
Tl ϕ= GIP
φ 相距 l 的两个截面之间的相对扭转角
′ ϕmax =
D≥
4
Tmax 180 32Tmax 180 × = × ≤ [ϕ′] 4 GIP GπD π π
32×180×Tmax 32×180×155 4 = = 0.0295m 2 2 9 π G[ϕ′] π ×80×10 ×1.5
最后应选择： 最后应选择：D = 30mm
扭转超静定问题 利用圆轴扭转时的变形条件可以求解扭转 利用圆轴扭转时的变形条件可以求解扭转 超静定问题。 超静定问题。
例题
已知： 已知： Ⅱ = 39.3 M
N ⋅m
MⅡ
T(N ⋅ m)
MⅢ
MⅣ
MⅢ = 194.3 N ⋅ m MⅣ = 155 N ⋅ m
轴的材料为45钢 轴的材料为 钢,
39.3
[τ]＝40MPa [τ]＝40MPa
[ϕ′] =1.5( ) m
0
G ＝80GPa
155
要求设计轴的直径。 要求设计轴的直径。 解：作轴的扭矩图
τ 2max
A
4
τ 2max
FD T 2 = 8FD = = πd 3 W πd 3 t 16
最大切应力发生在簧丝横截面内侧的 点 最大切应力发生在簧丝横截面内侧的A点， 簧丝横截面内侧的
τ max = τ1 +τ 2max
τ max
4F 8FD = + 2 πd πd 3
8FD d = +1 3 πd 2D
二、圆轴扭转刚度的计算 ϕ ′= ϕ 单位长度扭转角
l
T 显然 ϕ′ = GIP
圆轴扭转刚度条件为： 圆轴扭转刚度条件为：
ϕ′ ≤ [ϕ′]
单位长度扭转角的许可值
[ϕ′] ( ) m
0
圆轴扭转刚度条件为： 圆轴扭转刚度条件为：
T 180 GI × π ≤ [ϕ′] P m ax
由功能原理： ε 由功能原理： V = W
1 4F 2 D3n Fλ = 2 Gd 4
弹簧的变形
8FD n λ= 4 Gd
3
弹簧的变形
8FD3n λ= Gd 4
F
λ
令：
Gd C= 8D3n
弹簧刚度
4
C
F λ= C
MA MB
§3-6 圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形
F
一、计算假设
d 1、螺旋角 α 很小， 很小， 平面圆周
簧丝由空间螺旋线 簧丝由空间螺旋线
α
2、簧丝的直径 d 远小于弹簧的中径 ， 、 远小于弹簧的中径D， 簧丝由平面圆周曲杆 簧丝由平面圆周曲杆 直杆 D
F
F d
二、应力分析
簧丝横截面上的内力： 簧丝横截面上的内力： 剪力： S 剪力： F = F
Vε = ∫ vε ρ ⋅ dθ ⋅ dρ ⋅ ds
V
θ
O
128F 2 D2 Vε = Gπ 2d 8 4F 2 D3n = Gd 4
∫
2π
0
dθ ∫
d 2
0
ρ dρ ∫ 0
3
nπD
ds
n
弹簧的圈数
弹簧中的应变能为： 弹簧中的应变能为：
4F 2 D3n Vε = Gd 4
外力功： 外力功：
F
λ
1 W = Fλ 2
功能原理： 功能原理： 构件中的应变能等于外力功
λ
Vε = W
FD ρ 16FDρ Tρ = 2 4 = τρ = πd IP πd 4 32
单位体积所储存的剪切应变能
τρ
ρ
O
dA
θ
128F 2 D2 ρ 2 vε = = 2G Gπ 2d 8
弹簧中的应变能为： ε 弹簧中的应变能为： V =
2 τρ
∫ vε dV
V
dV = dA⋅ ds
簧丝横截面上的微小元面积 dA dA = ρ ⋅ dθ ⋅ dρ
ds
沿簧丝轴线的微元长度
dV = ρ ⋅ dθ ⋅ dρ ⋅ ds
128F 2 D2 ρ 2 vε = = 2G Gπ 2d 8
2 τρ
F
λ
τρ
ρ
dA
Vε = ∫ vε dV
V
dV = ρ ⋅ dθ ⋅ dρ ⋅ ds