Kalman滤波及其改进方法的去噪对比分析

Kalman滤波及其改进方法的去噪对比分析[摘要]本文主要对Kalman滤波等方法在数据处理中进行应用研究，探讨

Kalman滤波及其改进方法在数据中去噪效果，并将Kalman滤波、自适应Kalman

与抗差自适应Kalman滤波进行对比，得出抗差自适应Kalman滤波去噪效果最好。

[关键词]Kalman滤波抗差自适应去噪

1 前言

在测量数据处理中，不论是GPS变形监测，还是GPS周跳探测与修复等，为了获得目标的运动状态，必须对各个与状态有关的参数进行测量。这些参数量测值可能仅是系统的状态或部分状态的线性组合或某一函数，且量测值中有随机误差，甚至一些大的扰动误差。Kalman滤波是解决这类动态系统状态估值的较好的一种方法。

2 Kalman滤波的基本知识

Kalman滤波方法是借助系统的状态转移方程，根据前一时刻的状态参数估值和当前时刻的观测值递推估计新的状态估值。

在测量数据去噪中，常用Kalman滤波离散化模型来描述系统。离散线性系统的状态估计是利用Y1，Y2，...Yk，根据其数学模型求定第时刻状态向量的最佳估值，记为。离散随机线性系统的状态方程和观测方程为：

式中：Yk指系统观测向量，维数是m；Xk指系统的状态向量，维数是n；Vk指系统观测噪声向量，维数是m；Wk-1指系统随机干扰向量，维数是p；Hk 是m×n维观测矩阵；гk，k-1是n×p维干扰输入矩阵；Fk，k-1是系统n×n维状态转移矩阵。

观测噪声和动态噪声均为零均值白噪声序列，而且在任何时刻它们都不相关。因而称上述Kalman滤波模型为完全不相关白噪声作用下的Kalman滤波。根据离散Kalman滤波的基本方程，可推导出Kalman 滤波递推方程具体计算步骤以及模型公式如下：

存储tk-1时刻的和（记为Dk-1）；

计算状态一步预测方程：

计算一步预测误差方差阵：

滤波增益矩阵：

新信息序列方程：

状态估计方程：

估计误差方差阵：

令k=k+1，回到第一步。

3自适应及抗差自适应Kalman滤波

选定特定的窗口宽度，当前历元观测向量的协方差矩阵和模型误差的协方差矩阵用样本平均值的方法来确定，称该方法为Sage-Husa滤波法。而观测噪声协方差阵的自适应估计就是观测残差的协方差矩阵是用个历元预测残差向量或残差向量估计而成的，即平常所说的开窗法[1，3]。

设计算的窗口宽度为m，并假定观测误差倾于正态分布，则预测残差的协方差矩阵的估值可写为：

则有：

式中：矩阵表示时刻观测信息的协方差。

抗差估计的抗差一般表现“平滑”地抵制异常数据[2]，其采用的方法是连续降权以至连续减弱影响，而不是一般的完全接受或者是完全拒绝的硬性法。

将DX1变换成。α的值可以由下式确定：

式中c0，c1均为常数。其中可取1.0～1.5，可取3.0～8.0。当前历元抗差估计值与状态向量预报值之差组成的函数，可由下式确定：

反应了状态预报值的偏差程度，显然，其值越大，则状态方程预报值与实际观测状态偏差越大。也可用递推加权最小二乘形式来表示参数估计值。

3.2.3仿真算例

下面选择Matlab软件中的仿真信号Blocks作为原始信号，信号长度N=1000，并在原始信号上叠加了高斯高噪声的含噪声信号，信噪比SNR=10。滤波原始信号中含有若干不连续点和奇异点，为了凸显出自适应抗差Kalman滤波的优点，在信号中故意加入明显的粗差，然后用以上三种方法进行消噪处理，在同等条件下比较这几种方法的去噪性能。去噪结果如下图所示：图2是经典Kalman滤波进行去噪结果。图3是开窗自适应滤波的结果。图4是自适应抗差去噪结果。

从图中可以看出，用Kalman滤波的方法去噪，虽能大致恢复原始信号的波

形，但无法去除与信号频带相互重叠的那部分噪声，而且在信号的不连续点处，还存在较为严重的伪吉布斯现象，对于明显的粗差现象也没有剔除，因而去噪的效果并不太理想；而用自适应Kalman滤波以及自适应抗差Kalman滤波，均有效的去除了白噪声，但自适应Kalman滤波在信号的不连续点处仍然存在一定幅度的震荡，即伪吉布斯现象；而自适应抗差Kalman滤波，不仅去除了噪声，而且还有效抑制了伪吉布斯现象，尤其是存在的明显错误的噪声完全被去除掉，即对于抖动处能实现真正意义上的自适应，能够较好地控制观测异常和状态异常对状态参数估值的影响，具有非常好的去噪效果。

参考文献

[1] 杨元喜.自适应动态导航定位[M].北京：测绘出版社，2006.

[2] 杨元喜.抗差估计理论及其应用[M].北京：八一出版社，1993.

[3] 崔希璋，於宗俦，陶本藻等.广义测量平差[M].武汉：武汉大学出版社，2009.

[4] 杨元喜，何海波，徐天河.论动态自适应滤波[J].测绘学报，2001，30（4）：293-298.