二次函数中的平行四边形问题

二次函数中的平行四边形问题

一、教学目标

1.会用待定系数法求二次函数的解析式；

2.会用分类思想讨论平行四边形的存在性问题；

3.会用数形结合的思想解决综合性问题.

二、教学重点：分类讨论平行四边形的存在性.

三、教学难点：数形结合思想及画图.

四、教学过程

（一）回顾交流

1.二次函数的三种解析式分别是什么？

（1）一般式：

（2）顶点式：

（3）交点式：

2.平行四边形的主要特征有哪些？

（1）对边

（2）对角

（3）对角线

3.以不在同一条直线上的三个点为顶点，可以画出几个平行四边形？试一试，画一画。以两个点为顶点呢？

（二）新知探究一：三定点问题

例1：如图，已知二次函数图象的顶点坐标为（2，0），直线y=x+1与二次函数的图象交于A，B两点，其中点A在y轴上．

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）若点C在线段AB上，且C点的横坐标为4，过C点作CE⊥x轴于E点， CE与二次函数的图象交于 D点．y轴上是否存在点K，使以K，A，D，C为顶点的四边形是平行四边形，若存在，写出K点的坐标；若不存在，请说明理由．

例题分析：1.已知顶点坐标为（2,0），

可以设此二次函数解析式为：，

即______

2.A点的坐标是，代入解析式，

解得a=____

3.求得二次函数解析式为 __________

4. C、D点的坐标分别是多少?C( , ),D( , )；

线段CD的长是____

5. 以K，A，D，C为顶点的平行四边形有哪几种情况，

在上图中画一画。

6.写出符合条件的K点的坐标：_________

练习1：二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A（4，3）， B（1，0）．

（1）求b、c的值；

（2）若此二次函数图象与 y轴交于点C，在坐标平面内是否存在点D，使得以A、B、C、D 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件D点的坐标；若不存在，说明理由．

（三）新知探究二：二定点问题

例2：如图，抛物线的顶点为C（-1，-1），且经过点A，点B和坐标原点O,

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，是否存在以A、O、D、E为顶点的平行四边形，若存在，求点D的坐标；若不存在，说明理由。

例题分析：1.可以设此二次函数解析式为：_______

即___________

2.要确定二次函数解析式，还需要把哪个点的坐标

代入上面的解析式？_________；

可代入解得a=________.

3.求得二次函数解析式为__________

4.这个抛物线的对称轴是直线 ________ ,

A点的坐标是 _________,线段OA的长是_______.

5.怎样画出以定点A、O为顶点的平行四边形？

①以OA为___________画平行四边形

②以OA为___________画平行四边形。

6.知道D点的横坐标，如何求D点的纵坐标？

7.根据图形，求出 D点的坐标分别是

练习2：已知，抛物线y=ax2+x经过点B（4,0）。

（1）求此抛物线的解析式及顶点坐标；

（2）若点D在抛物线的对称轴上，点C在抛物线上，且以O、D、C、B四点为顶点的四边形为平行四边形，求点C的坐标。

（四）归纳总结

解决二次函数中平行四边形存在性问题的基本步骤：

1.在二次函数中画出所有符合条件的平行四边形；

2. 用平移、平行四边形的特征等知识求点的坐标。

（五）本节课你有什么收获?

五、课后作业

1、如图,在平面直角坐标系中,抛物线经过A(-1，0), B(3,0),C(0,-1).

（1）求此抛物线的解析式；

（2）点Q在y轴上,点P在抛物线上,是否存在以点Q、P、A、B为顶点且以AB为一边的平行四边形,求所有满足条件的点P坐标.

2、如图，抛物线C1：y=x2+2x-3的顶点为M，与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点D；抛物线C2与抛物线C1关于y轴对称，顶点为N，与x轴相交于E、F两点．

（1）抛物线C2的函数关系式是；

（2）点A、D、N是否在同一条直线上？说明你的理由；

（3）点P是C1上的动点，点P′是C2上的动点，若以OD为一边、PP′为其对边的四边形ODP′P（或ODPP′）是平行四边形，试求所有满足条件的点P的坐标；

（4）在C1上是否存在点Q，使△AFQ是以AF为斜边且有一个角为30°的直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．