数理方程与特殊函数

00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
取一个包含ΔS的上下底平行的高为Δh的扁平盒：
由于Δh可以很小，因此，通过侧面的电通量忽略！ 于是由高斯公式有： D1 • (nS ) D2 • (nS ) Q f S f
而: D E u
24
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
E
u
u x
,
u y
,
u
z
(2)
把(2)代入(1)得：
2u u
这就是静电场中电势满足的泊松方程
如果ρ=0，则泊松方程变为拉普拉斯方程。
泊松方程与拉普拉斯方程称为稳态场方程。
17
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
三类典型物理方程总结
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
(2)、在界面处，可以导出如下等式：
1
u1 n
2
u2 n
S
Leabharlann Baidu f
事实上：根据有介质高斯公式就可以推出上式。 有介质高斯公式为：
D • dS Qf S
Qf是面S内的总电荷
23
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
1、波动方程：
utt a2u f (M , t)
2、热传导方程：
ut a2u f (M , t)
3、稳态场方程(泊松方程)：
2u u f (M )
18
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
稳态场方程的定解条件问题
1、不含初值条件
2、边界条件 带第一类边界条件：狄里赫列问题，简称狄氏问题；
Y1
u1 x
u x x0
2 x x0
x x0
Y2
u2 x
x x0
例2、讨论静电场中电介质表面的衔接条件
设ε1，ε2与u1,u2分别表示两种介质的介电常数与电势； ơf 表示分界面S上电荷面密度。
21
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
(2)、三维空间中的热传导问题
设均匀且各向同性的导热体,置于温度比它高的 热场中,求物体中温度u(x，y，z, t)的分布的规律。
导热体 热场
9
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
7
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
由比热公式：
dQ cmT c Adx[u(x,t dt) u(x,t)]
c Autdxdt
由热量守恒定律得：
kAuxxdxdt c Autdxdt
ut a2uxx
一维齐次热传导方程
8
1
0.5 n 0
如果方程中对时间的导数为n阶，则需要n个初始条 件表达式。
31
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
作业
P26习题2.2第1，2，3，4； P30习题2.3第1，2，4。
32
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
在dt时间内流入微元的热量为：
dQ1
k
u n
Adt
k
u x
Adt
在dt时间内放出微元的热量为：
dQ2
k
u n
Adt
kux ( x dx, t ) Adt
在dt时间内微元吸收的净热量为：
dQ dQ1 dQ2 kAdt[ux (x dx, t) ux (x, t)]
0.6 0.4 x 0.2
所以： (1
u1 n
2
u2 ) n
S
f
说明：如果u1为导体的电势，u2是绝缘体电势，那么， 因为导体是等势体，所以有：
2
u2 n
S f
2、周期性条件
在极坐标、柱面坐标和球坐标系的经度坐标中， 实际物理量常满足周期性条件，即：
25
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
例如，在静电场中，由电势的唯一性有：
u(r, , 2 ) u(r,,)
3、有界性条件
在没有源处，物理量一般有界。常考虑物理量在 坐标原点处有界。
例如，在静电场中，电势在原点(无电荷）有 界；在温度场中，中心温度有界等！
4、无穷远条件
lim u 0或有限数 r
或者在无穷远处u有渐进行为f(r,t)(已知函数）
在[t1,t2]时间里流入S的热量为：
Q1
t2 t1
S
k
u n
dS dt
t2 t1
k
S
u (
x
dydz
u y
dzdx
u z
dxdy dt
t2 t1
k
V
(
2u x2
2u y 2
2u z 2
)dV
dt
11
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
Thank You !
33
(2)、[t1,t2] 里导热体升温需要的热量Q2计算 导热体微元dV在dt时间升温需要的热量为：
dQ2 cdV u(x, y, z,t dt) u(x, y, z,t)
cdVutdt
[t1,t2] 里导热体升温需要的热量Q2为：
t2
Q2 cutdV dt
t1 V
12
1
0.5 n 0
0.5
30
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
除边界条件外，由于物理上合理性的需要，有时还需要 对方程中的未知函数加以一些限制。这些限制包括：
周期性限制; 有界性限制；无穷远限制等。 上面限制条件称为自然边界条件。 3、初始条件
如果物理问题涉及时间变量，则需写出初始条件。
例1、写出由两种不同材料, 等截面积杆连接成的杆的
纵振动的衔接条件。连接处为 x = x0
Y1
Y2
u1(x,t) x=x0 u2(x,t)
x
分析：连接处面上点的位移相等，面上协强相等。
20
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
所以，衔接条件为：
u1
带第二类边界条件：牛曼问题； 带第三类边界条件：洛平问题。 稳态场方程求解将在第六章讨论！
19
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
(三）、影响物理系统的其它条件
1、衔接条件
反映两种介质交界处物理状况的条件称为衔接条件。
当物理系统涉及几种介质时，定解条件中就要包 括衔接条件。
(一)、热传导方程 (二)、稳态场方程 (三)、影响物理系统的其它条件
2
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
常用物理规律(二)
1、热传导定律
dQ kun (M , t)dSdt
定义热流密度：
q
dQ dSdt
kun (M , t )
3
1
0.5 n 0
(1)、在界面处，两种介质中的电势应相等
u1 S u2 S
事实上：根据电场强度与电势梯度的关系有：
du E • dl
于是，若假定E为p1p2上的平均 电场强度 (显然它有限) ，则：
u2 ( p2 ) u1( p1) E • L
两边对ΔL取极限得： u1 S u2 S
22
1
0.5 n 0
S
0
29
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
定解问题的简要总结
对于一个具体物理问题，写出其定解问题，应该 分如下三步进行：
1、根据问题背景写出物理方程(泛定方程);
2、如果有边界条件，要根据物理背景写出边界条件， 即考虑描述物理量在边界上状况的三类边界条件和衔 接条件。
27
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
例3、半径为r0的球面，在0≦θ<π/2的半球上电势为 u0，在另一半球上为-u0,写出定解问题。
θ
分析：空间中的电势分布分球内(u1)与球外(u2),由于是 静电场问题，所以泛定方程为稳态场方程。又空间中 没有分布电荷，因此方程为拉普拉斯方程。
0.6 0.4 x 0.2
(二）、稳态场方程
稳态场问题是一类重要的典型物理问题，主要特 征是所研究的物理量不随时间而变化。
1、稳定温度分布
三维齐次热传导方程为： ut a2 u
热传导达到稳定状态时有： u 0
称后一方程为稳态场中的拉普拉斯方程.
15
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
2、牛顿冷却定律
单位时间内流过单位面积放出的热量为：
q k(u S u0 )
3、比热公式
Q吸 cmT
4
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
4、高斯定律
D • dS E • dS (x, y, z)dV
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
(1)、在极坐标中：
u(r, 2 ) u(r, )
(2)、在柱坐标中：
u(r, 2 , z) u(r, , z)
(3)、在球坐标中：
u(r,, 2 ) u(r,,)
26
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
2、静电场中的电势分布规律
由静电场的高斯公式：
E • dS dV
S
VS
如果设： E P,Q, R
可以得到： E (1)
16
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
静电场是保守场，于是存在势函数u(x,y,z)满足：
分析：
先要给出在[t1,t2]时间里流入导热体的热量， 然后再给出在该时间中导热体温度升高所需要的 热量。
(1)、[t1,t2]时间里流入导热体的热量Q1计算
n
dS
流入dS的热量微元为：
u dQ1 k n dSdt
10
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
数理方程与特殊函数
任课教师：杨春 Email: yc517922@126.com
数学科学学院
1
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
本次课主要内容 热传导、稳态场方程及其定解条件
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
如果导热体内部有热源，不难得到非齐次方程 形式为：
ut a2u f (M , t)
其中，f ( M, t) 被称为自由项。
物质扩散与热传导现象相似。所以，热传导方 程也称为扩散方程。
14
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
由热量守恒定律：Q1=Q2
t2 t1
k
V
2u (
x2
2u y 2
2u )dV
z 2
dt
t2
cutdV dt
t1 V
于是得到：
ku cut ut a2u
三维齐次热传导方程
13
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
S
S
VS
5
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
(一)、热传导方程
(1)、细杆的热传导问题
截面积为A的均匀细杆，侧面绝热，沿 杆长方向有温差，求杆内温度的变化规律。
u(x,t) n
L
x
x x+dx
6
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
28
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
所以：
u1 0(r r0 )
u1
r r0
uu00((0/
2
/ 2)
)
u2 0(r r0 )
其它条件：
lim u2 0, u1 r 0
r
u u 1 r r0
2 r r0
(1
u1 n
2
u2 ) n