常见的勾股数及公式

常见的勾股数及公式

武安市黄冈实验学校翟升华搜集整理

我们知道，如果/ C=90°, a、b、c是直角三角形的三边，则由勾股定理，得a2+b2=c2;反之，若三角形的三边

a、b、c满足a2+b2=c2，则该三角形是直角三角形，c为斜边.与此相类似，如果三个正整数a、b、c满足a2+b2=c2, 则称a、b、c为勾股数，记为(a, b, c).勾股数有无数多组，下面向同学们介绍几种：

一、三数为连续整数的勾股数

(3, 4, 5 )是我们所熟悉的一组三数为连续整数的勾股数，除此之外是否还有第二组或更多组呢？

设三数为连续整数的勾股数组为( X—1, x, x+1 )，则由勾股数的定义，得(x+1) 2+x2= (x+1) 2,解得x= 4或x =0(舍去)，故三数为连续整数的勾股数只有一组(3,4,5) ;类似有3n,4n,5n (n是正整数)都是勾股

数。

二、后两数为连续整数的勾股数

易知：(5,12,13) , ( 9,4 0,4 1 ) ,( 1 1 3,6 3 3 8,6 3 8 5 ) ，…，都是勾股数，如此许许

多多的后两数为连续整数的勾股数，它的一般形式究竟是什么呢？

2 2

a=2n+1,b=2n +2n,c=2n +2n+1 (其特点是斜边与其中一股的差为1).

分别取n= 1,2,3,…就得勾股数组(3,4,5 ) , ( 5,1 2,1 3 ) , ( 7,2 4,2 5 )，…

三、前两数为连续整数的勾股数

你知道(2 0,2 1,2 9 ) , (119,120,169) ,(4059,4060,5741)…，这些都是

前两数为连续整数的勾股数组。其公式为：(x, x+1, 2x22x 1 ) (x为正整数)。

设前两数为连续整数的勾股数组为( x, x+1, y), y= . 2x22x1则x2亠〔X • 1 ? = y2(*)

整理，得2x2+2x +1 = y2，化为(2x +1 2_2y2= —1，即(2x + 1 + J2y )(2x + 1 _V2y = —1,

又12^2 =—1,「. 12 2" 1 1 一... 2 " 1= —1(n - N),

故取2x 1 + <2y = 1+^2$ ,(2x+1-j2y =(1-塔2),

解之，得x= 1〔1「.2201+ 1「22n1—2〕，y=^〔1 ,22n1- - .J2"1〕，

4 4

故前两数为连续整数的勾股数组是( 1〔 1 ..22n1+ 1「22n1—2〕，1〔1,22n l ^...22n1-

4 4

2〕+1, 2〔 1 .显対1—1-..22n1〕).

4

四、后两数为连续奇数的勾股数

2 2

如(8 , 15, 17), (12 , 35, 37)…其公式为：4(n+1),4(n+1) -1,4(n+1) +1(n 是正整数).

五、其它的勾股数组公式：

1.a=2m,b=m2—1,c=m2+1 (m大于1 的整数).

2.a= 1(mi—n2) ,b=mn,c= —(吊+n2)(其中m>n且是互质的奇数).

2 2

3.a=2m,b=m —n ,c=m + n (m>n,互质且一奇一偶的任意正整数)

下面我们把100以内的勾股数组列出来，供同学们参考：

3 4 5 ; 5 12 13 ;6 8 10 ; 7 24 25 ;8 15 17 ;9 12 15 ;9 40 41 ;10 24 26 ;11 60 61 ;12 16 20

;

12 35 37; 13 84 85; 14 48 50; 15 20 25;15 36 39;15 112 113; 16 30 34 ; 16 63 65

17 144 145; 18 24 30; 18 80 82; 19 180181 ;20 21 29; 20 48 52 ; 20 99 101; 21 28 35

21 72 75; 21 220 221 ; 22 120 122 ; 23 264 265 ;24 32 40;24 45 51 ; 24 70 74 ; 24 143 145

25 60 65； 25 312 313 28 195 197 ； 29 420 421 32 255 257 ； 33 44 55； 35

612 613 ； 36 48 60； 39 52 65； 39 80 89；

40 399 401 ； 41 840 841 44 483 485 ； 45 60 75； 48 90 102； 48 140 148 51 68 85；

51 140 149

54 728 730 ； 55 132 143

57 76 95； 57 176 185 60 175 185 ； 60 221 229 63 280 287 ； 63 660 663 66 88 110；

66 112 130 70 168 182 ； 70 240 250 72

646 650 ； 75 100 125 77 264 275 ； 77 420 427 80 315 325 ； 80 396 404 84 245 259 ； 84 288 300 87 116 145 ； 87 416 425 90 216 234 ； 90 400 410 95 168 193 ； 95 228 247 96 378 390 ； 96 572 580 100 105 145 ； 100 240 260 ，

， ， ， ， ， ， ， ，

，

， ， ， ；26 168 170 ；30 40 50；

33 36 39 56 65；

85； 252 255 77 ；42 56 70； 45 108 117 48 189 195 51 432 435 55 300 305

57 540 543

60 297 303 64 120 136 66 360 366

； 27 36 45 ； 30 33 36 72 78； 180 183 105 111 ； 39 760 761 42 144 150 72 96 120

； 75 180 195 45 200 205 48 286 290 52 165 173 56 90 106； 58 840 842 60 448 452 64 252 260 68 285 293 72 135 153 75 308 317 78 104 130 80 798 802

84 437 445

88 105 137 90 672 678 95 900 905 96 765 771

78 160 178 81 108 135 84 585 591

88 165 187 91 312 325 96 110 146 98 336 350 27 120 123； 30 224 226

33 544 545 36 160 164 40 42 58； 42 440 442 45 336 339 48 575 577 52 336 340 56 105 119 60 63 87； 60 899 901 64 510 514 68 576 580 72 154 170 75 560 565 78 504 510 81 360 369 84 880 884

88 234 250

91 588 595 96 128 160 99 132 165 ；100 495 505 ；100 621 629. 以下是大于 100 的勾股数： 第 223 组 第 224 组 第 225 组 第 226 组 第 227 组 第 228 组 第 229 组 第 230 组 第 231 组 第 232 组 第 233 组 第 234 组 第 235 组 第 236 组 第 237 组 第

238 组 第 239 组 第 240 组 第 241 组 第 242 组 第 243 组

第 244 组

102 136 170 102 280 298 102 864 870 104 153 185

104 195 221 104 330 346 104 672 680 105 140 175 105 208 233 105 252 273 105 360 375 105 608 617 105 784 791 108 144 180 108 231 255 108 315 333 108 480 492 108 725 733 108 969 975 110 264 286 110 600 610 111 148 185

69 92 115 ； 72 210 222 ； 75 936 939 ； 80 84 116 ； 84 112 140 85 132 157 88 480 488 92 525 533 96 180 204 99 168 195

28 45 53； 32 60 68； 35 84 91； 37 684 685 ； 40 96

104

； 44 117 125 ；

48 55 73； 50 120 130 ；

54 72 90； 56 390 394 ；

60 91 109

； 63 84 105； 65 156 169 ；

27 364 365

28 31 480 481 32 34 288 290

35 36 323 325

43 924 925 46 528 530 48 64 80

49 168 175 52 675 677 54 240 246

56 192 200 56 783 785 60 80 100 ； 60 144 156 62 960 962 ； 63 216 225 65 420 425 69 260 269 ，

38 360 362 40 198 202 44 240 244 50 624 626 65 72 97 ； ， 40 75 85 ； 72 320 328 76 357 365 80 150 170 84 135 159 85 204 221 88 966 970 93 124 155 96 247 265 99 440 451

96 100

126 130

120 125

69 792 795 72 429 435 76 720 724 80 192 208 84 187 205 85 720 725 90 120 150 93 476 485 96 280 296 99 540 549