张量及应用1-2

可见，其结果张量 C 是m+n阶的。
1.7.5张量的点积 矢量a, b的点积：
a b (aiei ) (bje j ) ai bj (ei e j ) ai bj i j ai bi
换指标
1.7.5张量的点积 张量 T, S （设为二阶）的点积：
T S (Ti jeie j ) ( S mn e me n ) Ti j S mn ei (e j e m )e n Ti j S mn ei (e j e m )e n Ti j S mn jmeie n Tim S mn eie n (T S)in ein
第二章 张量分析
2.1 标量的张量值函数的导数
自变量是标量，函数是张量，如 T=T(t)，则
dT T(t t ) T(t ) lim dt t 0 t
d( T S) dT dS dt dt dt
（设T±S是有意义的）
2.1 标量的张量值函数的导数
d( T) d dT T dt dt dt d( T S) dT dS S T dt dt dt d( T a) dT da a T dt dt dt
例：在直角坐标系下，各向同 性牛顿流体的本构方程为：
Ti j p i j 2 Di j Dkk i j
应力张量 静水压力 粘性系数 变形速率张量
试写出它的不变式和迹。
Ti j p i j 2 Di j Dkk i j
a b (aiei ) (bje j ) aibjei e j ei jk aibje k
ei e j ei jk e k
三个矢量 a，b，c 的叉积：
已知 a b ei jk aibje k ，则 (a b) c ei jk aibje k cme m
2.2.2 矢量场的梯度
2.2.3 张量场的梯度
2.2.3 张量场的梯度
2.3散 度 2.3.1 矢量场的散度
2.3散 度 2.3.1 矢量场的散度
2.3散 度 2.2.2 张量场的散度
2.3散 度 2.2.2 张量场的散度
2.4旋 度 2.4.1 矢量场的旋度
2.4旋 度
2.4.1 矢量场的旋度
，
I1 ri Bir
1.7.4 张量的并积 设 A, B 分别为m和n阶张量，它们的 并积为 C ，则
C AB ( Ai1i m ei1i m )( Bi m 1i m n ei m 1i m n ) Ci1i m n ei1i m n Ci1i m n Ai1i m Bi m 1i m n
2.2.2 矢量场的梯度 矩阵形式
a1 x 1 a1 [a] x2 a 1 x3
a2 x1 a2 x2 a2 x3
a3 x1 a3 x2 a3 x3
2.2.2 矢量场的梯度
2.2.2 矢量场的梯度
三个矢量 a，b，c 的叉积：
(a b) c ei jk aibje k cme m
(ambn cm anbmcm )en
[(amcm )bn (bmcm )an ]en
即
(a b) c (a c)b (b c)a
a (b c) (a c)b (a b) c 试验证（作业）：
2.4旋 度
2.4.1 矢量场的旋度
2.4旋 度
2.4.1 矢量场的旋度
2.4旋 度 2.4.2 张量场的旋度
2.4旋 度 2.4.2 张量场的旋度
2.5 双重微分算子
2.6 张量函数的导数
2.6.1 张量函数
自变量是张量，而函数值是标量、矢 量和张量的函数，如
f f (B),
f f ( Bi j )
ei jk aibjcme k e m ei jk aibjcm ekmn e n
ei jk emnk aibjcme n ( im jn in jm )aibjcme n ( im jn aibjcm in jm aibjcm )e n
(ambn cm anbmcm )en
A B ( Ai jei j ) ( Brst e rst ) Ai j Brst ei (e j e r )est Ai j Brst e jrk ei e k est Cikst eikst Cikst Ai j Brst e jrk
1.7.7 二阶张量的迹 矢量 a,b 并矢 ab 的迹定义为：
此外，在直角坐标系中源自文库
dTi j dT dt i j dt

dT e dT e i j dt dt i j
且
dei de j 0 dt dt

dTi j dt

d dT dT (ei T e j ) ei e j dt dt dt i j
tr ab a b aibjei e j aibj i j aibi tr eie j ei e j i j
任意二阶张量 T 的迹：
tr T tr (Ti jeie j ) Ti j tr eie j Ti j i j Tii
T的主对角线之和。
2.6.2 张量函数的梯度
注意：
2.6 张量函数的导数
2.6.2 张量函数的梯度
例如：
f 1 ( B12 B21 ) B12 B12 2
1 f ( B12 ) ( B12 B21 ) 2 4
2
2.6 张量函数的导数
2.6.2 张量函数的梯度
2.6 张量函数的导数
2.6.2 张量函数的梯度
（ 是标量）
（a 是矢量）
dT T dT dt dt
T
直接根据导数的定义证明上述公式， 例如 ：
d( T a) T(t t ) a(t t ) T(t ) a(t ) lim t 0 dt t T(t t ) a(t t ) T(t ) a(t t ) lim t 0 t T(t ) a(t t ) T(t ) a(t ) lim t 0 t T(t t ) T(t ) lim a(t t ) t 0 t a(t t ) a(t ) T(t ) lim t 0 t dT da a T dt dt
例题：设 Q Q(t ) 为二阶正交张量， 证明
dQ T Q dt
是一个反对称张量。
T d Q d Q 证： Q Q T I ， QT Q 0 dt dt dQ T dQ T （1） 即 Q dt dt Q
dQ dQ T Q dQ Q Q dt dt dt
A A A A Ai r Ars Apq Aq jei j
n n
张量的双重点积： 若A为三阶张量，B为二阶张量，则
A : B ( Ai jk ei jk ) : ( Bmn e mn ) Ai jk Bmn ei (e j e m )(e k e n ) Ai jk Bmn jm k n ei Ai jk Bjk ei
结果为一阶张量。
张量的双重点积： 若 S，T 均为二阶张量，则
S : T ( Si j ei j ) : (Tmn e mn ) Si jTmn (ei e m )(e j e n ) Si jTmn i m jn Si jTi j
结果为零阶张量。
1.7.6 张量的叉积 两个矢量a，b 的叉积：
T
T
T
T
（2）
dQ T 满足反对称张量 dQ T Q Q 比较(1)和(2)： 定义，证毕 dt dt
2.2 梯 度 2.2.1 标量场的梯度
2.2.1 标量场的梯度
ei ei i xi
2.2.1 标量场的梯度
2.2.2 矢量场的梯度
矩阵形式： [S T] [S] [T]
设 R, S, T 均为二阶张量，用基张量表示点 积，并证明 R (S T) (R S) T （作业）
一般地，任意个二阶张量依次点 积，结果仍为二阶张量，即
R S U V Rim S mn U pqVq jei j
T T(B), Tkl Tkl ( Bij )
a a(B), ak ak ( Bij )
一般而言，这些 分量函数的形式 在不同坐标系中 是不同的。如果 它们对所有的正 交基都是相同的， 则称为各向同性 张量函数。
2.6 张量函数的导数
2.6.2 张量函数的梯度
2.6 张量函数的导数
三个矢量 a, b, c 的混合积：
[abc] (a c) b ei jk aibje k cme m ei jk aibjcm km
即
[abc ] ei jk aibjck
换指标
几何意义： 以 a, b, c 为边的棱柱体积，有向。
两个任意张量 A, B 的叉积：