指派问题PPT课件
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2
一、指派问题的标准形式及其数学模型
指派问题的标准形式（以人和事为例）
n个人做n件事，并且要求每人必须而且只做
一件事。设第i人做第j件事的费用为 Cij（i,j
＝1，2……，n)，使总费用最少。因此，我们可得
c c 11 12 c1n
指派问题的系数 矩阵
c
(ci j ) n
n
c
c 21
22
c
2020年9月28日
16
1) 对没有加圈零元素的行打√号；
2) 对所有打√号行的含Ø零元素的列打√号；
3) 再对已打√号的列中含加圈零元素的行打√ 号；
4) 重复2）和3），直到再也不能找到可以打 √号行或列为止；
5) 对没有打√号的行画一横线，对打√号的列
画一竖线，这样就得到能覆盖所有零元素
的最少直线数目的直线集合。
0
若指派第i人做第j事 若不指派第i人做第j事
（i, j 1,2,, n)
nn
min z
CijXij
(a)
i1 j1
n
Xij 1
i1
n
Xij 1
j1
Xij
0或1
j 1,2, n（表示每件事必有且只有一个人去做）(b) i 1,2,, n(表示每个人必做且只做一件事） (c)
i, j 1,2,, n
匈牙利法基于下面的价值系数矩阵：
（cij）=
c11 c12 … c1n c21 c22 … c2n ……………….
cn1 cn2 … cnn
匈牙利解法的关键是利用了指派问题最优解的如下性质： 若从指派问题的系数矩阵C=（cij）n×n的某行（或某列） 各元素分别减去一个常数k，得到一个新的系数矩阵C’= （c’ij ）,则以C和C’为系数矩阵的两个指派问题有相同的最 优解。
指派问题(assignment problem)
指派问题的标准形 式及其数学模型
匈牙利解法
2020年9月28日
1
指派问题的标准形式的提出？
2020年9月28日
在我们现实生活中，常有 各种性质的指派问题。例 如：应如何分配若干项工 作给若干个人（或部门） 来完成，以达到总体的最 佳效果等等。由于指派问 题的多样性，我们有必要 定义指派问题的标准形式。
50 2 0 2 23 0 0 0
0 10 5 7 2 √
98 0 0 4
06 3 6 5√
2020年9月28日
√
18
继续变换系数矩阵。其方法是在未被直线覆盖的 元素中找出一个最小元素。然后在打√号行各元素都 减去这一最小元素，而在打√号列的各元素都加上这 一最小元素，以保证原来的 0 元素不变。这样得到新 系数矩阵（其最优解和原问题相同）。若得到 n 个独 立的 0 元素，则已得最优解，否则重复该步骤继续变 换系数矩阵。
2020年9月28日
8
匈牙利法基于这样一个明显的事实：如果系 数矩阵的所有元素满足cij≥0，而其中有n个位 于不同行不同列的一组0元素，则只要令对应 于这些0元素位置的xij＝1，其余的xij＝0，就 得到最优解。
例如： （cij）=
0420
2078 3150 0603
2020年9月28日
9
以例子说明步骤
(d )
2020年9月28日
5
例（同书P114，例6，价值系数有所不同）
cij Bj B1 B2
B3 B4
B5
Ai
A1
4
8
7
15
12
A2
7
9
17 14
10
A3
6
9
12 8
7
A4
6
7
14 6
10
A5
6
9
12 10
6
2020年9月28日
6
建立数学模型
这是一个标准的指派问题。若设0－1变量
1 xij
0 13 7 0
6 0 6 9 = （ c’ij ）
0 5 32 0 1 00
11
0 13 60 05 01
70 69 32 00
此时加圈 0 元素的个数 m = n = 4，所以得到最优解
2020年9月28日
12
（ xij ）=
0 0 01 0 1 00 1 0 00 0 0 10
2020年9月28日
0
若指派第i人做第j事 若不指派第i人做第j事
min z 4X 11 8X 12 10X 54 6X 55
5
Xij 1
i1
5
Xij 1
j1
Xij
0或1
j 1,2,,5 i 1,2,,5 i, j 1,2,,5
（i, j 1,2,, n)
2020年9月28日
7
二、匈牙利解法
2020年9月28日
17
1) 对没有加圈零元素的行打√号； 2) 对所有打√号行的含Ø零元素的列打√号； 3) 再对已打√号的列中含加圈零元素的行打√号； 4) 重复2）和3），直到再也不能找到可以打√号行或列为止； 5) 对没有打√号的行画一横线，对打√号的列画一竖线，这样就得到能覆盖
所有零元素的最少直线数目的直线集合。
min
2 15 13 4 2 10 4 14 15 4
（ cij ）=
9 14 16 13 9 7 8 11 9 7
2020年9月28日
0 13 11 2 6 0 10 11 0 5 74 0 1 42
10
0 13 11 2 6 0 10 11 0 5 74 0 1 42
min 0 0 4 2
2020年9月28日
15
定理：系数矩阵中独立0元素的最多个数等于能覆盖 所有0元素的最少直线数（匈牙利数学家康尼格提出
的关于矩阵中0元素的定理）
50 2 0 2 23 0 0 0 0 10 5 7 2 98 0 0 4 06 3 6 5
此时加圈 0 元素的个数 m = 4， 而n = 5，所以解题没 有完成。独立零元素（加圈零 元素）少于 n 个，表示还不能 确定最优指派方案。此时需确定 能覆盖所有零元素的最少直线 数目的直线集合。方法如下：
2
n
cn1cn 2 cnn
2020年9月28日
3
对于问题的每个可行解，可用解矩阵
X11 X12X1n
X
(Xij)n
n
X21 X22X2n
Xn1
Xn2Xnn
来表示。
2020年9月28日
4
为了建立标准指派问题的数学模型，我们引入n²个 0－1变量。并且得到该问题的数学模型。
1 xij
13
例பைடு நூலகம்
任务
人员
A
B
C
D
E
甲
12
7
9
7
9
乙
8
9
6
6
6
丙
7
17
12
14
9
丁
戊
15 4
14 10
6 7
6
10
10
9
2020年9月28日
14
12 7 9 7 9 7 89 6 6 66 7 17 12 14 9 7
15 14 6 6 10 6 4 10 7 10 9 4
2020年9月28日
50 2 0 2 23 0 0 0 0 10 5 7 2 98 0 0 4 06 3 6 5
一、指派问题的标准形式及其数学模型
指派问题的标准形式（以人和事为例）
n个人做n件事，并且要求每人必须而且只做
一件事。设第i人做第j件事的费用为 Cij（i,j
＝1，2……，n)，使总费用最少。因此，我们可得
c c 11 12 c1n
指派问题的系数 矩阵
c
(ci j ) n
n
c
c 21
22
c
2020年9月28日
16
1) 对没有加圈零元素的行打√号；
2) 对所有打√号行的含Ø零元素的列打√号；
3) 再对已打√号的列中含加圈零元素的行打√ 号；
4) 重复2）和3），直到再也不能找到可以打 √号行或列为止；
5) 对没有打√号的行画一横线，对打√号的列
画一竖线，这样就得到能覆盖所有零元素
的最少直线数目的直线集合。
0
若指派第i人做第j事 若不指派第i人做第j事
（i, j 1,2,, n)
nn
min z
CijXij
(a)
i1 j1
n
Xij 1
i1
n
Xij 1
j1
Xij
0或1
j 1,2, n（表示每件事必有且只有一个人去做）(b) i 1,2,, n(表示每个人必做且只做一件事） (c)
i, j 1,2,, n
匈牙利法基于下面的价值系数矩阵：
（cij）=
c11 c12 … c1n c21 c22 … c2n ……………….
cn1 cn2 … cnn
匈牙利解法的关键是利用了指派问题最优解的如下性质： 若从指派问题的系数矩阵C=（cij）n×n的某行（或某列） 各元素分别减去一个常数k，得到一个新的系数矩阵C’= （c’ij ）,则以C和C’为系数矩阵的两个指派问题有相同的最 优解。
指派问题(assignment problem)
指派问题的标准形 式及其数学模型
匈牙利解法
2020年9月28日
1
指派问题的标准形式的提出？
2020年9月28日
在我们现实生活中，常有 各种性质的指派问题。例 如：应如何分配若干项工 作给若干个人（或部门） 来完成，以达到总体的最 佳效果等等。由于指派问 题的多样性，我们有必要 定义指派问题的标准形式。
50 2 0 2 23 0 0 0
0 10 5 7 2 √
98 0 0 4
06 3 6 5√
2020年9月28日
√
18
继续变换系数矩阵。其方法是在未被直线覆盖的 元素中找出一个最小元素。然后在打√号行各元素都 减去这一最小元素，而在打√号列的各元素都加上这 一最小元素，以保证原来的 0 元素不变。这样得到新 系数矩阵（其最优解和原问题相同）。若得到 n 个独 立的 0 元素，则已得最优解，否则重复该步骤继续变 换系数矩阵。
2020年9月28日
8
匈牙利法基于这样一个明显的事实：如果系 数矩阵的所有元素满足cij≥0，而其中有n个位 于不同行不同列的一组0元素，则只要令对应 于这些0元素位置的xij＝1，其余的xij＝0，就 得到最优解。
例如： （cij）=
0420
2078 3150 0603
2020年9月28日
9
以例子说明步骤
(d )
2020年9月28日
5
例（同书P114，例6，价值系数有所不同）
cij Bj B1 B2
B3 B4
B5
Ai
A1
4
8
7
15
12
A2
7
9
17 14
10
A3
6
9
12 8
7
A4
6
7
14 6
10
A5
6
9
12 10
6
2020年9月28日
6
建立数学模型
这是一个标准的指派问题。若设0－1变量
1 xij
0 13 7 0
6 0 6 9 = （ c’ij ）
0 5 32 0 1 00
11
0 13 60 05 01
70 69 32 00
此时加圈 0 元素的个数 m = n = 4，所以得到最优解
2020年9月28日
12
（ xij ）=
0 0 01 0 1 00 1 0 00 0 0 10
2020年9月28日
0
若指派第i人做第j事 若不指派第i人做第j事
min z 4X 11 8X 12 10X 54 6X 55
5
Xij 1
i1
5
Xij 1
j1
Xij
0或1
j 1,2,,5 i 1,2,,5 i, j 1,2,,5
（i, j 1,2,, n)
2020年9月28日
7
二、匈牙利解法
2020年9月28日
17
1) 对没有加圈零元素的行打√号； 2) 对所有打√号行的含Ø零元素的列打√号； 3) 再对已打√号的列中含加圈零元素的行打√号； 4) 重复2）和3），直到再也不能找到可以打√号行或列为止； 5) 对没有打√号的行画一横线，对打√号的列画一竖线，这样就得到能覆盖
所有零元素的最少直线数目的直线集合。
min
2 15 13 4 2 10 4 14 15 4
（ cij ）=
9 14 16 13 9 7 8 11 9 7
2020年9月28日
0 13 11 2 6 0 10 11 0 5 74 0 1 42
10
0 13 11 2 6 0 10 11 0 5 74 0 1 42
min 0 0 4 2
2020年9月28日
15
定理：系数矩阵中独立0元素的最多个数等于能覆盖 所有0元素的最少直线数（匈牙利数学家康尼格提出
的关于矩阵中0元素的定理）
50 2 0 2 23 0 0 0 0 10 5 7 2 98 0 0 4 06 3 6 5
此时加圈 0 元素的个数 m = 4， 而n = 5，所以解题没 有完成。独立零元素（加圈零 元素）少于 n 个，表示还不能 确定最优指派方案。此时需确定 能覆盖所有零元素的最少直线 数目的直线集合。方法如下：
2
n
cn1cn 2 cnn
2020年9月28日
3
对于问题的每个可行解，可用解矩阵
X11 X12X1n
X
(Xij)n
n
X21 X22X2n
Xn1
Xn2Xnn
来表示。
2020年9月28日
4
为了建立标准指派问题的数学模型，我们引入n²个 0－1变量。并且得到该问题的数学模型。
1 xij
13
例பைடு நூலகம்
任务
人员
A
B
C
D
E
甲
12
7
9
7
9
乙
8
9
6
6
6
丙
7
17
12
14
9
丁
戊
15 4
14 10
6 7
6
10
10
9
2020年9月28日
14
12 7 9 7 9 7 89 6 6 66 7 17 12 14 9 7
15 14 6 6 10 6 4 10 7 10 9 4
2020年9月28日
50 2 0 2 23 0 0 0 0 10 5 7 2 98 0 0 4 06 3 6 5