点到平面的距离(使用)
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点到平面的距离
wk.baidu.com 复习：
1.过已知平面α 外一点P有几条直线和α 垂直? 2.什么是点P在平面α 内的正射影?
答:从P向平面α 引垂线,垂足 P'叫做点P在平面α 内的正射 影(简称射影).
P
P'
新知：
点到这个平面的距离：一点到它在一个平面内的正射 影的距离。
P
α
B
A
连结平面α 外一点P与α 内一点所得线段中,垂线段PA最短.
P
O为三角形ABC的内心
B
O
E C F
A
例3、如图，PA是平面α的垂线， A为垂足，B是α上一点， n是α 的一个法向量。
BPcosBPA=AP
BP 而 n • BP = n BP cos‹ n ， n BP BP ›= BP cos‹ n ， n
P
›，
n
n
A
n BP
即 d=PA=
n
α
B
练习1: SA 平 面ABCD，DAB ABC 90， SA AB BC a，AD 2a , z 求A到 平 面 SCD的 距 离 。 S
的问题可由点到平面距离的知识来解决。
3. 两个平行平面的距离 和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两个 平面的公垂线。公垂线夹在平行平面间的部分， 叫做这两个平面的公垂线段。 两个平行平面的公垂线段都相等，公垂线段长 小于或等于任一条夹在这两平行平面间的线段 长。 两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两个平 行平面的距离。 求两平行平面的距离，只要求一个平面上一 点到另一个平面的距离，也就是求点到平面 的距离。
D A' B' C'
D E A B
C
例3 : 如图,已知四边形 ABCD是边长1的正方形 , 四边形 AA' B' B是矩形 , 平面AA' B' B ABCD, 若AA' 1, 求直线 AB面DA' C的距离.
A'
A
B'
B
O D C
P
A α
B
C
练习： 1.已知四面体ABCD，AB＝AC＝AD＝6， BC＝3，CD＝4，BD＝5，求点A到平面 BCD的距离。 A
B
D
O
C
3.如图，已知D为△ABC外一点，DA、DB、 DC两两垂直，且DA＝DB＝DC＝3，求D 点到平面ABC的距离。
D
A
O
C
B
4.如图，已知在长方体ABCD－A’B’C’D’ 中，棱AA’=5，AB=12，求直线B’C’到 平面A’BCD’的距离。
例1.如图，AB是⊙O的直径，PA⊥平面⊙O，C 为圆周上一点，若AB＝5，AC＝2，求B到平面 PAC的距离。
例2 如图，已知正三角形 ABC 的边长为 6cm，点 O 到 ABC 各顶点的距离都是 4cm，求点 O 到这个三角形所在平面的 距离。
解：设H为点O在平面ABC内的射影，延 长AH，交BC于E，则 OA OB OC , HA HB HC , 即H是△ABC的外心。在Rt △ABC中，
练习2、如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是等腰 直角三角形，∠ACB＝90，侧棱AA1＝2，D是CC1的中 点， 求点A1到平面ABD的距离. z
C1 A1 B1
D C
x A
By
BAC在平面α内，PA是α斜线， 如图， 练习3、 PAB= PAC= BAC= 60
PA=AB=AC=a，求点P到α的距离。
A B x C D y
归纳总结 ⑴、直接法： 一作、二证、三计算
⑵、间接法:
向量法：利用法向量与点到面的距 离关系，把几何问题转化为代数问 题。还有等体积法，转移法待续。
2. 直线到它平行平面的距离
定义：直线上任一点到与它平行的平面的 距离，叫做这条直线到平面的距离。 由定义可知，求直线到它平行平面的距离
1 BE BE BC 3 , BH 2 3 , 2 cos30
A
O
C H E B
一作
OH OB 2 BH 2 42 (2 3)2 2 (cm) ,
二证
三计算
即点O到这个三角形所在平面的距离为2 cm.
思考：已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA=PB=PC 试判断点P在底面ABC的射影的位置？
P
PA=PB=PC O为三角形ABC的外心
B
A O C
思考：已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA,PB,PC两 两垂直,试判断点P在底面ABC的射影的位置？
P
O为三角形ABC的垂心
B
A D
O
C
思考：已知三棱锥P-ABC的顶点P到底面 三角形ABC的三条边的距离相等,试判断 点P在底面ABC的射影的位置？
wk.baidu.com 复习：
1.过已知平面α 外一点P有几条直线和α 垂直? 2.什么是点P在平面α 内的正射影?
答:从P向平面α 引垂线,垂足 P'叫做点P在平面α 内的正射 影(简称射影).
P
P'
新知：
点到这个平面的距离：一点到它在一个平面内的正射 影的距离。
P
α
B
A
连结平面α 外一点P与α 内一点所得线段中,垂线段PA最短.
P
O为三角形ABC的内心
B
O
E C F
A
例3、如图，PA是平面α的垂线， A为垂足，B是α上一点， n是α 的一个法向量。
BPcosBPA=AP
BP 而 n • BP = n BP cos‹ n ， n BP BP ›= BP cos‹ n ， n
P
›，
n
n
A
n BP
即 d=PA=
n
α
B
练习1: SA 平 面ABCD，DAB ABC 90， SA AB BC a，AD 2a , z 求A到 平 面 SCD的 距 离 。 S
的问题可由点到平面距离的知识来解决。
3. 两个平行平面的距离 和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两个 平面的公垂线。公垂线夹在平行平面间的部分， 叫做这两个平面的公垂线段。 两个平行平面的公垂线段都相等，公垂线段长 小于或等于任一条夹在这两平行平面间的线段 长。 两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两个平 行平面的距离。 求两平行平面的距离，只要求一个平面上一 点到另一个平面的距离，也就是求点到平面 的距离。
D A' B' C'
D E A B
C
例3 : 如图,已知四边形 ABCD是边长1的正方形 , 四边形 AA' B' B是矩形 , 平面AA' B' B ABCD, 若AA' 1, 求直线 AB面DA' C的距离.
A'
A
B'
B
O D C
P
A α
B
C
练习： 1.已知四面体ABCD，AB＝AC＝AD＝6， BC＝3，CD＝4，BD＝5，求点A到平面 BCD的距离。 A
B
D
O
C
3.如图，已知D为△ABC外一点，DA、DB、 DC两两垂直，且DA＝DB＝DC＝3，求D 点到平面ABC的距离。
D
A
O
C
B
4.如图，已知在长方体ABCD－A’B’C’D’ 中，棱AA’=5，AB=12，求直线B’C’到 平面A’BCD’的距离。
例1.如图，AB是⊙O的直径，PA⊥平面⊙O，C 为圆周上一点，若AB＝5，AC＝2，求B到平面 PAC的距离。
例2 如图，已知正三角形 ABC 的边长为 6cm，点 O 到 ABC 各顶点的距离都是 4cm，求点 O 到这个三角形所在平面的 距离。
解：设H为点O在平面ABC内的射影，延 长AH，交BC于E，则 OA OB OC , HA HB HC , 即H是△ABC的外心。在Rt △ABC中，
练习2、如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是等腰 直角三角形，∠ACB＝90，侧棱AA1＝2，D是CC1的中 点， 求点A1到平面ABD的距离. z
C1 A1 B1
D C
x A
By
BAC在平面α内，PA是α斜线， 如图， 练习3、 PAB= PAC= BAC= 60
PA=AB=AC=a，求点P到α的距离。
A B x C D y
归纳总结 ⑴、直接法： 一作、二证、三计算
⑵、间接法:
向量法：利用法向量与点到面的距 离关系，把几何问题转化为代数问 题。还有等体积法，转移法待续。
2. 直线到它平行平面的距离
定义：直线上任一点到与它平行的平面的 距离，叫做这条直线到平面的距离。 由定义可知，求直线到它平行平面的距离
1 BE BE BC 3 , BH 2 3 , 2 cos30
A
O
C H E B
一作
OH OB 2 BH 2 42 (2 3)2 2 (cm) ,
二证
三计算
即点O到这个三角形所在平面的距离为2 cm.
思考：已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA=PB=PC 试判断点P在底面ABC的射影的位置？
P
PA=PB=PC O为三角形ABC的外心
B
A O C
思考：已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA,PB,PC两 两垂直,试判断点P在底面ABC的射影的位置？
P
O为三角形ABC的垂心
B
A D
O
C
思考：已知三棱锥P-ABC的顶点P到底面 三角形ABC的三条边的距离相等,试判断 点P在底面ABC的射影的位置？