函数逼近与拟合法
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按照拟合的思想，应当使在每一个测量点拟合函 数的函数值尽量接近测量值，这样的拟合函数才是满 足要求的，即：
Yi A0 A1xi
yi
定义偏差：
i yi Yi
yi A0 A1xi
2020/3/9
19
按照拟合的思想，必须在每一个测量点的偏差都 很小，如何达到这一要求？
方法一：偏差之和最小
f (x) fnTn (x) n0
T0 (x) 1,T1(x) x Tn1(x) 2xTn (x) Tn1(x)
实际应用中，根据精度 要求来截取有限项数
2020/3/9
11
function f = Chebyshev(y,k,x0) %用切比雪夫多项式逼近已知函数 %已知函数：y %逼近已知函数所需项数：k %逼近点的x坐标：x0 %求得的切比雪夫逼近多项式或在x0处 的逼近值：f syms t; T(1:k+1) = t; T(1) = 1; T(2) = t;
将实验数据代入拟合函数，得到方程组
4.38 A0 4.56 A0 10 A1
4.70 4.86
A0 A0
20 A1 30 A1
矛盾方程组
21个线性方程
2020/3/9
7.78 A0 200 A1
18
由于以上矛盾方程组不能确定一组唯一的A0和A1， 也就是说，由方程组可求得A0和A1的多组解，那么究 竟哪一组解最接近客观真实值呢 ?
残差向量的各分量平方和记为：
m n
S (a , a , 0 2020/3/9
1
, an )
[
a j j (xi ) yi ]2
2
22
i1 j 0
2
由多元函数求极值的必要条件，有
S 0 (k 0,1, , n)
ak
m
n
可得 2 k (xi )[ a j j (xi ) yi ] 0
希望y(x) 0 1x与所有的数据点(样本点)(xi , yi )
越接近越好.
必须找到一种度量标准来衡量什么曲线最接近所有数据点。
2020/3/9
4
Y
15
14
13
数据点
12
拟合曲线
11
插值曲线
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
X
2020/3/9
5
对这样的数据采用上一讲介绍的插值方法近 似求描述物理规律的解析函数，必然存在下列缺 点：
(k 0,1, , n)
2020/3/9
25
将其表示成矩阵形式：
(0 ,0 )
(1 ,0 )
(
n
,0
)
(0 ,1 )
(1 ,1 )
(n ,1 )
(0 (1
(n
,n
,n
,n
) )
)
a0 a1 an
m
(k , j ) k (xi ) j (xi ), i 1
m
(k , f ) k (xi )yi i 1
显然内积满足交换律 正规方程组便可化为
(k , j ) ( j ,k )
a0(k ,0 ) a1(k ,1 ) an(k ,n ) (k , f )
n
yi Y (xi )
i 1
但是由于偏差有正有负，求和时可能互相抵消，这并 不能保证在每一个测量点的偏差都很小。
方法二：偏差绝对值之和最小 n
yi Y (xi )
i 1
尽管这种方法可以保证在每一个测量点的偏差都很小， 但这种方法数学处理比较困难。
2020/3/9
20
方法三：偏差的平方和最小-----最小二乘法
c(1:N)=0; for(m=1:N)
for(n=1:N) c(m)=c(m)+f(n)*exp(-i*m*n*2*pi/N);
end c(m)=c(m)/N; end
n1
y cieikx k 0
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14
例
N
1
2
3
4
5
6
Y 0.8415 0.9093 0.1411 -0.7568 -0.9589 -0.2794
(0 , f )
( (
1, f n, f
) )
其系数矩阵为对称阵。
由于0 (x),1(x), ,n (x)为函数类 的基， 因此0 (x),1(x), ,n (x)必然线性无关。
所以正规方程组的系数矩阵非奇异,即
det[(( i , j ))nn ] 0
①在一个包含有很多数据点的区间内构造插值 函数，必然使用高次多项式。而高次插值多 项式是不稳定的。
②由于数据本身存在误差，利用插值方法得到 的插值多项式必然保留了所有的测量误差， 导致插值函数与物理规律差异较大。
实验数据的拟合可以克服插值方法在处理这 类问题中存在的缺点。
2020/3/9
6
实验数据拟合的基本思想：
第五讲 函数逼近与拟合法
内容提要
引言
函数逼近
➢ 傅里叶逼近
最小二乘法拟合
➢ 最小二乘法
➢ 多元线性拟合
➢ 非线性拟合
MATLAB的拟合函数
小结
2020/3/9
2
1、引言
例：考察某种纤维的强度与其拉伸倍数的关系,下表是实 际测定的24个纤维样品的强度与相应的拉伸倍数的记录:
编 号 拉伸倍数 xi
F= Legendre(y,k,x0) ➢ Pade(帕德)逼近：有理分式。
F= Pade(y,k,x0) ➢ 傅里叶逼近：周期函数，三角多项式。 连续周期函数，[A0,A,B]=FZZ(func,T,n) 离散周期函数，c=DFF(f,N)
2020/3/9
10
Chebyshev(切比雪夫)逼近
当一个连续函数定义在区间[-1，1]上时，可以展开成为切比雪夫 级数 。
i 1
i 1
i 1
m
k (xi ) yi i 1
(k 0,1, , n)
上式为由n+1个方程组成的方程组，称正规方程组。
2020/3/9
24
引入记号 r (r (x1),r (x2 ), ,r (xm ))
f ( y1, y2, , ym )
则由内积的概念可知
为了具有一般性，把上式改写为：
y R0 (1 x)
2020/3/9
16
通过实验测得金属铜温度x与电阻y数据如下：
xi(℃) 0 10 20 30 40 50 60
Yi(Ω) 4.38 4.56 4.70 4.86 5.08 5.24 5.40
xi(℃) 70 80 90 100 110 120 130
使近似函数尽量靠近数据点，而不要求近似 函数一定通过所有数据点。
实验数据拟合可以在一定精度内找出反映物 理量间客观函数关系的解析式。如果实验数据 存在误差，这种做法可以部分抵消原来数据中 的测量误差，从而使所得到的拟合函数更好地 反映物理规律。
2020/3/9
7
利用拟合可以解决两类物理问题：
1. 物理规律已知，但描述物理规律的解析式中 某些系数未知，可以利用实验方法获得了物 理量之间的关系，通过拟合的方法，求出这 些系数的近似值。
>> y=[0.8415 0.9093 0.1411 -0.7568 -0.9589 -0.2794];
>> c=DFF(y,6)
c=
Columns 1 through 4
-0.0926 - 0.5003i -0.0260 - 0.0194i -0.0251 + 0.0000i -0.0260 + 0.0194i
1
1.9
2
2
3
2.1
4
2.5
5
2.7
6
2.7
7
3.5
8
3.5
9
4
10
4
11
4.5
12
4.6
强 度 yi 编 号 拉伸倍数 xi
1.4
13
5
1.3
14
5.2
1.8
15
6
2.5
16
6.3
2.8
17
6.5
2.5
18
7.1
3
19
8
2.7
20
8
4
21
8.9
3.5
22
9
4.2
23
9.5
3.5
24
10
强 度 yi
i1 j 0
i 1
得
nm
m
[ k (xi ) j (xi )]a j k (xi ) yi
j0 i1
i 1
即
(k 0,1, , n)
m
m
m
a0 k (xi )0 (xi ) a1 k (xi )1(xi ) an k (xi )n (xi )
for i=3:k+1 T(i) = 2*t*T(i-1)-T(i-2); c(i) =
2*int(subs(y,findsym(sym(y)),sym('t'))*T(i)/s qrt(1-t^2),t,-1,1)/2;
f = f + c(i)*T(i); f = vpa(f,6); if(i==k+1)
i 1
j0
即
mn
[ a jk (xi ) j (xi ) k (xi ) yi ] 0
i1 j 0
mn
m
a jk (xi ) j (xi ) k (xi )yi
2020/3/9
i1 j 0
i 1 23
mn
m
由
a jk (xi ) j (xi ) k (xi )yi
if(nargin == 3) f = subs(f,'t',x0);
else f = vpa(f,6);
end end end
c(1:k+1) = 0.0;
c(1)=int(subs(y,findsym(sym(y)),sym('t'))*T(1)/sqrt(1-t^2),t,-1,1)/pi;
c(2)=2*int(subs(y,findsym(sym(y)),sym('t'))*T(2)/sqrt(1-t^2),t,-1,1)/pi;
f = c(1)+c(2)*t;
2020/3/9
12
……
例：用切比雪夫公式（取6项）逼近函数1/（2-x）， 并求当x=0.5时的函数值
函数准确值为1/（2-0.5）=0.6667，可见逼近结果比较接近
wenku.baidu.com
2020/3/9
13
离散周期函数的傅里叶逼近
function c=DFF(f,N) %用傅里叶级数逼近已知的离散周期函数 %离散数据点：f %展开项数：N %离散傅里叶逼近系数：c
n
2
yi Y (xi )
i 1
这种方法既可以保证在每一个测量点的偏差都 很小，又方便数学处理，所以这种方法是可行的。
2020/3/9
21
最小二乘法： 以残差平方和最小问题的解来确定拟合函数的方法。
令 i I (xi ) yi (i=1,2,…m)
－－在回归分析中称为残差
残差向量：
2. 物理规律未知，利用实验方法获得了物理量 之间的关系，通过拟合的方法，得到一个近 似的解析式，用于描述物理规律。
拟合函数尽量靠近数据点如何实现？
2020/3/9
8
2、函数逼近
在区间[a,b]上已知一连续函数f(x)，如果该函 数表达式太过于复杂不利于进行计算机运算，就 会利用一个简单函数去近似f(x)，这就是函数逼近 问题。
Columns 5 through 6
-0.0926 + 0.5003i -0.0172 - 0.0000i
2020/3/9
15
3、最小二乘法拟合
3.1 最小二乘法
首先，从一个简单的例子来讨论一元线性拟合与 最小二乘法问题。
通过实验测量， 求金属铜电阻温度系数α，金属 电阻与温度关系如下：
R R0 (1 t)
5.5 5
5.5
6.4 6
5.3 6.5
7 8.5
8 8.1 8.1
纤202维0/3/9强度随拉伸倍数增加而增加。
3
9
24个点大致分布在
8
一条直线附近。
7
6
故可认为强度y与
5
拉伸倍数x的主要
4
关系应为线性关系： 3
y(x) 0 1x
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
其中0 , 1为待定参数
Yi(Ω) 5.58 5.74 5.96 6.06 6.26 6.44 6.58
xi(℃) 140 150 160 170 180 190 200
Yi(Ω) 6.74 6.94 7.12 7.28 7.42 7.60 7.78
2020/3/9
17
设一元线性拟合函数为：
Y A0 A1x
y R0 (1 x)
如果f(x)的表达式未知，只知道描述f(x)的一 条曲线，这就是曲线拟合问题。
和插值问题不同，逼近和拟合并不要求逼近 函数在已知点上的值一定等于原函数的函数值， 而是按照某种标准使得二者的差值达到最小。
2020/3/9
9
逼近方法： ➢ Chebyshev(切比雪夫)逼近：连续函数，多项式。
F= Chebyshev(y,k,x0) ➢ Legendre(勒让德)逼近：多项式。
Yi A0 A1xi
yi
定义偏差：
i yi Yi
yi A0 A1xi
2020/3/9
19
按照拟合的思想，必须在每一个测量点的偏差都 很小，如何达到这一要求？
方法一：偏差之和最小
f (x) fnTn (x) n0
T0 (x) 1,T1(x) x Tn1(x) 2xTn (x) Tn1(x)
实际应用中，根据精度 要求来截取有限项数
2020/3/9
11
function f = Chebyshev(y,k,x0) %用切比雪夫多项式逼近已知函数 %已知函数：y %逼近已知函数所需项数：k %逼近点的x坐标：x0 %求得的切比雪夫逼近多项式或在x0处 的逼近值：f syms t; T(1:k+1) = t; T(1) = 1; T(2) = t;
将实验数据代入拟合函数，得到方程组
4.38 A0 4.56 A0 10 A1
4.70 4.86
A0 A0
20 A1 30 A1
矛盾方程组
21个线性方程
2020/3/9
7.78 A0 200 A1
18
由于以上矛盾方程组不能确定一组唯一的A0和A1， 也就是说，由方程组可求得A0和A1的多组解，那么究 竟哪一组解最接近客观真实值呢 ?
残差向量的各分量平方和记为：
m n
S (a , a , 0 2020/3/9
1
, an )
[
a j j (xi ) yi ]2
2
22
i1 j 0
2
由多元函数求极值的必要条件，有
S 0 (k 0,1, , n)
ak
m
n
可得 2 k (xi )[ a j j (xi ) yi ] 0
希望y(x) 0 1x与所有的数据点(样本点)(xi , yi )
越接近越好.
必须找到一种度量标准来衡量什么曲线最接近所有数据点。
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4
Y
15
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数据点
12
拟合曲线
11
插值曲线
10
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4
3
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1
0
0
1
2
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5
6
7
8
9
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11
X
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5
对这样的数据采用上一讲介绍的插值方法近 似求描述物理规律的解析函数，必然存在下列缺 点：
(k 0,1, , n)
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25
将其表示成矩阵形式：
(0 ,0 )
(1 ,0 )
(
n
,0
)
(0 ,1 )
(1 ,1 )
(n ,1 )
(0 (1
(n
,n
,n
,n
) )
)
a0 a1 an
m
(k , j ) k (xi ) j (xi ), i 1
m
(k , f ) k (xi )yi i 1
显然内积满足交换律 正规方程组便可化为
(k , j ) ( j ,k )
a0(k ,0 ) a1(k ,1 ) an(k ,n ) (k , f )
n
yi Y (xi )
i 1
但是由于偏差有正有负，求和时可能互相抵消，这并 不能保证在每一个测量点的偏差都很小。
方法二：偏差绝对值之和最小 n
yi Y (xi )
i 1
尽管这种方法可以保证在每一个测量点的偏差都很小， 但这种方法数学处理比较困难。
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20
方法三：偏差的平方和最小-----最小二乘法
c(1:N)=0; for(m=1:N)
for(n=1:N) c(m)=c(m)+f(n)*exp(-i*m*n*2*pi/N);
end c(m)=c(m)/N; end
n1
y cieikx k 0
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例
N
1
2
3
4
5
6
Y 0.8415 0.9093 0.1411 -0.7568 -0.9589 -0.2794
(0 , f )
( (
1, f n, f
) )
其系数矩阵为对称阵。
由于0 (x),1(x), ,n (x)为函数类 的基， 因此0 (x),1(x), ,n (x)必然线性无关。
所以正规方程组的系数矩阵非奇异,即
det[(( i , j ))nn ] 0
①在一个包含有很多数据点的区间内构造插值 函数，必然使用高次多项式。而高次插值多 项式是不稳定的。
②由于数据本身存在误差，利用插值方法得到 的插值多项式必然保留了所有的测量误差， 导致插值函数与物理规律差异较大。
实验数据的拟合可以克服插值方法在处理这 类问题中存在的缺点。
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实验数据拟合的基本思想：
第五讲 函数逼近与拟合法
内容提要
引言
函数逼近
➢ 傅里叶逼近
最小二乘法拟合
➢ 最小二乘法
➢ 多元线性拟合
➢ 非线性拟合
MATLAB的拟合函数
小结
2020/3/9
2
1、引言
例：考察某种纤维的强度与其拉伸倍数的关系,下表是实 际测定的24个纤维样品的强度与相应的拉伸倍数的记录:
编 号 拉伸倍数 xi
F= Legendre(y,k,x0) ➢ Pade(帕德)逼近：有理分式。
F= Pade(y,k,x0) ➢ 傅里叶逼近：周期函数，三角多项式。 连续周期函数，[A0,A,B]=FZZ(func,T,n) 离散周期函数，c=DFF(f,N)
2020/3/9
10
Chebyshev(切比雪夫)逼近
当一个连续函数定义在区间[-1，1]上时，可以展开成为切比雪夫 级数 。
i 1
i 1
i 1
m
k (xi ) yi i 1
(k 0,1, , n)
上式为由n+1个方程组成的方程组，称正规方程组。
2020/3/9
24
引入记号 r (r (x1),r (x2 ), ,r (xm ))
f ( y1, y2, , ym )
则由内积的概念可知
为了具有一般性，把上式改写为：
y R0 (1 x)
2020/3/9
16
通过实验测得金属铜温度x与电阻y数据如下：
xi(℃) 0 10 20 30 40 50 60
Yi(Ω) 4.38 4.56 4.70 4.86 5.08 5.24 5.40
xi(℃) 70 80 90 100 110 120 130
使近似函数尽量靠近数据点，而不要求近似 函数一定通过所有数据点。
实验数据拟合可以在一定精度内找出反映物 理量间客观函数关系的解析式。如果实验数据 存在误差，这种做法可以部分抵消原来数据中 的测量误差，从而使所得到的拟合函数更好地 反映物理规律。
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7
利用拟合可以解决两类物理问题：
1. 物理规律已知，但描述物理规律的解析式中 某些系数未知，可以利用实验方法获得了物 理量之间的关系，通过拟合的方法，求出这 些系数的近似值。
>> y=[0.8415 0.9093 0.1411 -0.7568 -0.9589 -0.2794];
>> c=DFF(y,6)
c=
Columns 1 through 4
-0.0926 - 0.5003i -0.0260 - 0.0194i -0.0251 + 0.0000i -0.0260 + 0.0194i
1
1.9
2
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4
2.5
5
2.7
6
2.7
7
3.5
8
3.5
9
4
10
4
11
4.5
12
4.6
强 度 yi 编 号 拉伸倍数 xi
1.4
13
5
1.3
14
5.2
1.8
15
6
2.5
16
6.3
2.8
17
6.5
2.5
18
7.1
3
19
8
2.7
20
8
4
21
8.9
3.5
22
9
4.2
23
9.5
3.5
24
10
强 度 yi
i1 j 0
i 1
得
nm
m
[ k (xi ) j (xi )]a j k (xi ) yi
j0 i1
i 1
即
(k 0,1, , n)
m
m
m
a0 k (xi )0 (xi ) a1 k (xi )1(xi ) an k (xi )n (xi )
for i=3:k+1 T(i) = 2*t*T(i-1)-T(i-2); c(i) =
2*int(subs(y,findsym(sym(y)),sym('t'))*T(i)/s qrt(1-t^2),t,-1,1)/2;
f = f + c(i)*T(i); f = vpa(f,6); if(i==k+1)
i 1
j0
即
mn
[ a jk (xi ) j (xi ) k (xi ) yi ] 0
i1 j 0
mn
m
a jk (xi ) j (xi ) k (xi )yi
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i1 j 0
i 1 23
mn
m
由
a jk (xi ) j (xi ) k (xi )yi
if(nargin == 3) f = subs(f,'t',x0);
else f = vpa(f,6);
end end end
c(1:k+1) = 0.0;
c(1)=int(subs(y,findsym(sym(y)),sym('t'))*T(1)/sqrt(1-t^2),t,-1,1)/pi;
c(2)=2*int(subs(y,findsym(sym(y)),sym('t'))*T(2)/sqrt(1-t^2),t,-1,1)/pi;
f = c(1)+c(2)*t;
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……
例：用切比雪夫公式（取6项）逼近函数1/（2-x）， 并求当x=0.5时的函数值
函数准确值为1/（2-0.5）=0.6667，可见逼近结果比较接近
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13
离散周期函数的傅里叶逼近
function c=DFF(f,N) %用傅里叶级数逼近已知的离散周期函数 %离散数据点：f %展开项数：N %离散傅里叶逼近系数：c
n
2
yi Y (xi )
i 1
这种方法既可以保证在每一个测量点的偏差都 很小，又方便数学处理，所以这种方法是可行的。
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21
最小二乘法： 以残差平方和最小问题的解来确定拟合函数的方法。
令 i I (xi ) yi (i=1,2,…m)
－－在回归分析中称为残差
残差向量：
2. 物理规律未知，利用实验方法获得了物理量 之间的关系，通过拟合的方法，得到一个近 似的解析式，用于描述物理规律。
拟合函数尽量靠近数据点如何实现？
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8
2、函数逼近
在区间[a,b]上已知一连续函数f(x)，如果该函 数表达式太过于复杂不利于进行计算机运算，就 会利用一个简单函数去近似f(x)，这就是函数逼近 问题。
Columns 5 through 6
-0.0926 + 0.5003i -0.0172 - 0.0000i
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3、最小二乘法拟合
3.1 最小二乘法
首先，从一个简单的例子来讨论一元线性拟合与 最小二乘法问题。
通过实验测量， 求金属铜电阻温度系数α，金属 电阻与温度关系如下：
R R0 (1 t)
5.5 5
5.5
6.4 6
5.3 6.5
7 8.5
8 8.1 8.1
纤202维0/3/9强度随拉伸倍数增加而增加。
3
9
24个点大致分布在
8
一条直线附近。
7
6
故可认为强度y与
5
拉伸倍数x的主要
4
关系应为线性关系： 3
y(x) 0 1x
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
其中0 , 1为待定参数
Yi(Ω) 5.58 5.74 5.96 6.06 6.26 6.44 6.58
xi(℃) 140 150 160 170 180 190 200
Yi(Ω) 6.74 6.94 7.12 7.28 7.42 7.60 7.78
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设一元线性拟合函数为：
Y A0 A1x
y R0 (1 x)
如果f(x)的表达式未知，只知道描述f(x)的一 条曲线，这就是曲线拟合问题。
和插值问题不同，逼近和拟合并不要求逼近 函数在已知点上的值一定等于原函数的函数值， 而是按照某种标准使得二者的差值达到最小。
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逼近方法： ➢ Chebyshev(切比雪夫)逼近：连续函数，多项式。
F= Chebyshev(y,k,x0) ➢ Legendre(勒让德)逼近：多项式。