12.3质心运动定理(理论力学课件)

③注意：
只有外力才影响质心的运动，内力不影响质心运动， 且没有外力时，质心运动守恒，原为静止的质点系保持静 止。 如汽车在光滑路面上发动，如果路面没有摩擦力， 则轮子空转不动，即轮心不向前运动，必须要有外力才 能使其运动。
有很多实例都可用来说明质心的运动完全取决于作用 在质点系上的外力而与内力无关。 例如，人在完全没有摩擦的光滑路面上行走是不可能的； 汽车开动时，发动机汽缸内的燃气压力对汽车整体来说是 内力，不能使车子前进，只是当燃气推动活塞，通过传动 机构带动主动轮转动，地面对主动轮作用了向前的摩擦力， 而且这个摩擦力大于总的阻力时，汽车才能前进。
所以点A的轨迹方程为：
2 2 xA yA 2 1 2 L 4L
y A , A Co , C B , FN B mg x
即：A点沿椭圆轨迹运动。
y
例1：水平光滑直线轨道上 Q
vr v
W
有一小车，车上站立一人。设小
车重W，人重Q，开始系统静止。 若人在小车上走动，
N1
o
N2
x
某瞬时人相对小车的速度为vr，试求此时的车速v？ 解：以人和小车为质点系，受力如图 由受力分析可知
y
c1
m 1g m2g
c
c2 e
x
t
Rx Ry
作用于质心上的外力有： 重力m1g、m2g； 螺栓的约束反力Rx、Ry。
（2）建立静坐标如图：电动机质心C的方程为：
m1 x1 m2 x2 m2 x2 xc m1 m2 m1 m2 m1 y1 m2 y2 m2 y2 yc m1 m2 m1 m2
例3
设有一电动机用螺旋栓固定在水平地面上，如图，
电动机外壳连同定子的质量为m1，它们的质心为 c1，在转子
的轴线上，转子的质量为 m2 。 由于制造不够精确，因而其
质心与转子轴线相距为 e，
试求当电动机以匀角速度ω 转动时，螺旋栓所受的水平 剪力和地面的铅垂反力。
解：（1）研究整个电动机 看作一个整体，受力分析如图：
Rx Ry
y
Rx m2e 2 cos t Ry m1 g m2 g m2e sin t
2
m 1g m2g
Rx Ry
c1
c
c2 e
x
t
Rx—— 是螺栓给电动机的水平动反力，它与电动机的角速 度有关，而电动机给螺栓的剪力则与Rx等值反向。 Ry—电动机在铅垂方向上所受的全反力， 当Ry >0时，其方向向上，它来自地面； 当Ry <0时，其方向向下，故知它必来自螺栓拉力，这
（12.17）
上式表明，质点系的质量与质心加速度的乘积等于作用
同时指出：内力不能改变质心的运动。
形式上，质心运动定理与质点的动力学基本方程完全相 似，因此质心运动定理也可叙述如下： 质点系质心的运动，犹如一个质点的运动，此质点的质 量等于整个质点系的质量，且作用于此质点上的力等于作用 于整个质点系上的外力的矢量和。
（12.11）
式中: ri系数 1/n 表示第 i个质点的质量在质点系质量中 所占的比例，质心的矢径rc即为各质点的平均矢径。
②若质点系中各质点的质量不相等。则有：
mi rc ri m
（12.12）
ri 的系数表示第 i 个质点的质量在质点系的质量所占
的比例，质心的矢径rc为即为各质点按其质量在质点系质
时电动机有跳离地面的趋势所以地面未受压而不会给电
动机反力。
通过本例可知，由于机器
y
上转子的质心不在转轴上，质
心的位置要随时间而改变，因 而，基座就受到了周期性压力 的作用。
Ry
c1
m 1g m2g
c
c2 e
x
t
Rx
这种随时间而作周期性变化的动压力往往引起基座 的振动，以至影响机器的正常工作或损坏其零件。 为防止这种现象发生，在机器的设计和安装中必须尽可能 地使其转动部分的质心位于转轴，以便减小基座所受的动压力。
（3）
将质心c的运动方程等式两端微分得：
y
m2 c x e 2 cos t m1 m2 （4） m2 e 2 sin t yc m1 m2
c1
m 1g m2g
c
c2 e
x
t
Rx Ry
(4)质心运动微分方程：
m1 m2 c m2e 2 cos t Rx x y m1 m2 c m2e 2 sin Ry m1 g m2 g
§12.3 质心运动定理
一、质量中心 质点系在力的作用下，其运动状 态与各质点的质量及其相互的位 置都有关系，即与质点系的质量 分布状况有关。 1.定义：
m 由式 (12.10)所定义的质心位置反映出质点系质量分布的一种
特征质心的概念及其运动在质点系（特别是刚体）动力学中 具有重要地位。
mi ri rc
y
c1
c
c2 e
x
t
（1）
m 1g
m2g
Rx Ry
式中：x1=y1=0，是外壳与定子的质心c1的坐标； x2、y2是转子c2的坐标。 设初瞬时，c2位于x轴上，经过时间t后，转角φ＝ωt， 于是有： x2 e cos t y2 e sin t （2）
m2 x2 m2 y2 xc ；yc （1） m1 m2 m1 m2
S F d c2 m2g
30
A c1 m1g F
因只有铅垂方向上的外力，所以力在水平方向的投影为O，
所以质点系的质心C在水平方向应保持静止不动。
当吊杆转动时，由于重物有往
右的水平位移，故起重机必与
之相应而有往左的水平位移， 设移动了一个S的水平距离。 以 A铰的初位置相重合的点
c2 m2g
60
y d x c1 m1 g
t 0
px 0 0
（静止）
Q W pxt v vr v 0 g g
解得：
Q v vr Q W

例12.7
浮动起重机的
c2 m2g
60
质量m1＝20000kg，吊起质 量为m2 ＝2000kg的重物， 求当吊杆AB由铅垂线 成60度角的位置转到与铅
y d x c1 m1 g
m x , y
m
C
m y , z
m
C
m z
m
i i
(12.13)
式中 mi点为第i个质点的质量，xi、yi、zi，第i个质点的位置坐标， m为质点系的质量。
质心是质点系中特定的一个点， 质点系运动，质心也在运动。 可见，如果把质点系的质量都集中于质 心做为一个质点，那么此质点的动量 就等于质点系的动量，可见质心运动 具有特殊意义。
x2 e cos t y2 e sin t
（2）
c1
m 1g m2g
y
(3) 代入质心坐标公式得 质心 c 的运动方程：
c
c2 e
x
t
m2 xc m m e cos t 1 2 y m2 e sin t c m1 m2
Rx Ry
（3）
m2 xc e cos t m1 m2 y m2 e sin t c m1 m2
习题12.19 均质杆AB，长2L，铅直地静置于光滑
水平面上受到微小扰动后，无初速地倒下。求杆AB在
倒下过程中，点A的轨迹方程。
y A , A Co , C B , FN B mg x
解：以均质杆AB为研究对象，并以杆AB铅直时的 轴线为 y轴，建立图示坐标系。AB杆倒下过程中所受外力 有：重力mg，光滑水平面的法向反力FN， 杆在倒下的过程中有：
3、质心加速度
(12.14)
p = mvc
将式（12.14）对时间求导，得：
dvC aC dt
dp d(mvC ) d( mi vi ) dt dt dt
mac mi ai Fie
(12.17)
二、质心运动定理
maC mi ai Fi e FRe
于质点系外力的矢量和。
量中所占的比例的平均位置。 ③ 质心的作用 由讨论可见，质心的位置与质点系中的质量分布状况
有关，它在一定程度上反映了质点系的质量分布状况，所
以质心的概念是动力学的重要概念之一。
④质心的坐标
mi rc ri m
i i i i
(12.10)
计算质心位置时，常用上式在直角坐标系的投影形式，即
xC
三、质心运动守恒
①如果 F e 0 R
mac mi ai Fie
mac 0
则 vc cont
则质心作匀速直线运动； ②若开始静止，则质心位置始终保持不变。 如果作用于质点系的所有外力在某一轴上投影的代数和 恒等于零。则质心沿该轴的坐标保持不变。 以上结论，称为质心运动守恒定律。
mac mi ai Fie
实际应用时，可采用投影形式。 质心运动定理在坐标轴上投影：
（12.17）
mxc Fxe myc Fye mz F e c z
（12.18）
——质点系质量与质心加速度在某一轴上的投影的乘积 等于质点系所受外力的主矢量在同一轴上的投影，该式 称为投影形式的质心运动定理。
xC
m x ,
i i
m
yC
m y ,
i i
m
zC
m z
m
i i
（12-13）
⑤质心与重心的比较： 若将上列各式等号右端的分子与 分母同乘以重力加速度g，就得到 质点系的重心坐标公式。 可见物体在重力场中运动 时，重心与质心相重合。但 应当注意，质心与重心是两 个不同的概念。 重心仅在质点系受到重力作用（即在地球表面附近）时才存在， 而质心则与质点系是否受到重力作用无关，它随质点系的存 在而存在。因此，质心概念的适用范围远较重心广泛。
从而可得到：
m2 c x e 2 cos t m1 m2 m2 e 2 sin t yc m1 m2
y
c1
2
m 1g m2g
c
c2 e
x
t
Rx m2e cos t Ry m1 g m2 g m2e 2 sin t
e e FRx Fix 0
即质点系动量在 x方向上守恒， 又：t=0时杆处于静止 故质心运动在x方向上守 恒，有：
Co , C B , FN B
y A , A
mg
x
xco xc 0
xco xc 0
设任一瞬时，杆AB与x轴的夹角为θ，则有：
x A L cos y A 2L sin
e Fix 0, px cont
运动分析：t=0 时系统静止； t时刻：车v，人v+vr
可知
t 0
px 0 0
y
车重W，人重Q，某瞬时人相对小 车的速度为vr，试求此时的车速v？
e Fix 0, px cont
vr Q
v
oห้องสมุดไป่ตู้
N1
W
N2
x
t=0时系统静止； t：车v，人v+vr 可知
的质量和质心的速度就足够了。
例如绕定轴转动的刚体， 设其角速度为w，质心C至转轴 的距离为e，则由式（12.15）可知， 此刚体动量的大小为
p = mvc mi vi
p = mvc me
显然，当刚体质心位于转轴上时， 则不论转动角速度多大，其动量恒 等于零。
drC mi vi p vC dt m m
A
垂线成30度角的位置时，
起重机的水平位移。 吊杆长AB＝8m，吊杆 重量及水的阻力均不计，又 系统原为静止。
c2 m2g
30
S F d A c1 m1g F
解：（1）研究对象:
c2 m2g
60
y d x c1 m1 g
A
重物和起重机组成的质点系
（2）受力分析： 铅垂方向上的重力m1g、m2g； 作用线通过质点系质心的浮力F； （3）运动分析：
（12.10）
mi ri rc
2.质心的力学意义
m
① 若质点系中各质点的质量相等，则：
m r1 m r2 ...... m rn rc m m ...... m r1 r2 ...... rn 1 ri n n
1/n 与 i 无关，为公因子。
m 质心C的运动速度可根据式（12.10）导出：
2、质心速度
rC
m r
i i
(12.10)
或
drC mi vi p vC dt m m mvc mi vi
（12.14）
p = mvc mi vi
（12.15）
式（12.15）为计算质点系动量的简便方法。 由上式可知，不论质点如何运动，在计算质点系的动量 时均可不考虑其中每一质点的速度，而只需知道质点系