高等数学第十二章答案 同济五版12-9

习题12-9

1. 求下列各微分方程的通解:

(1)2y ''+y '-y =2e x ;

解 微分方程的特征方程为

2r 2+r -1=0, 其根为2

11=r , r 2=-1, 故对应的齐次方程的通解为 x x e C e C Y -+=2211.

因为f (x )=2e x , λ=1不是特征方程的根,

故原方程的特解设为

y *=Ae x ,

代入原方程得

2Ae x +Ae x -Ae x =2e x ,

解得A =1, 从而y *=e x .

因此, 原方程的通解为

x x x e e C e C y ++=-2211.

(2)y ''+a 2y =e x ;

解 微分方程的特征方程为

r 2+a 2=0,

其根为r =±ai , 故对应的齐次方程的通解为

Y =C 1cos ax +C 2sin ax .

因为f (x )=e x , λ=1不是特征方程的根,

故原方程的特解设为

y *=Ae x ,

代入原方程得

Ae x +a 2Ae x =e x , 解得211

a

A +=, 从而21*a e

y x +=. 因此, 原方程的通解为

2

211s i n c o s a e ax C ax C y x +++=.

(3)2y ''+5y '=5x 2-2x -1;

解 微分方程的特征方程为

2r 2+5r =0,

其根为r 1=0, 2

52-=r , 故对应的齐次方程的通解为 x e C C Y 2521-+=.

因为f (x )=5x 2-2x -1, λ=0是特征方程的单根,

故原方程的特解设为

y *=x (Ax 2+Bx +C ),

代入原方程并整理得

15Ax 2+(12A +10B )x +(4B +5C )=5x 2-2x -1, 比较系数得31=A , 53-=B , 257=C , 从而x x x y 25

75331*23+-=. 因此, 原方程的通解为

x x x e C C y x 25

7533123521+-++=-. (4)y ''+3y '+2y =3xe -x ;

解 微分方程的特征方程为

r 2+3r +2=0,

其根为r 1=-1, r 2=-2, 故对应的齐次方程的通解为

Y =C 1e -x +C 2e -2x .

因为f (x )=3xe -x , λ=-1是特征方程的单根,

故原方程的特解设为

y *=x (Ax +B )e -x ,

代入原方程并整理得

2Ax +(2A +B )=3x , 比较系数得23=A , B =-3, 从而)32

3(*2x x e y x -=-. 因此, 原方程的通解为

)32

3(2221x x e e C e C y x x x -++=---. (5)y ''-2y '+5y =e x sin2x ;

解 微分方程的特征方程为

r 2-2r +5=0,

其根为r 1, 2=1±2i , 故对应的齐次方程的通解为

Y =e x (C 1cos2x +C 2sin2x ).

因为f (x )=e x sin2x , λ+i ω=1+2i 是特征方程的根,

故原方程的特解设为

y *=xe x (A cos2x +B sin2x ),

代入原方程得

e x [4B cos2x -4A sin2x ]=e x sin2x , 比较系数得41-=A , B =0, 从而x xe y x 2cos 4

1*-=. 因此, 原方程的通解为

x xe x C x C e y x x 2cos 4

1)2sin 2cos (21-+=. (6)y ''-6y '+9y =(x +1)e 3x ;

解 微分方程的特征方程为

r 2-6r +9=0,

其根为r 1=r 2=3, 故对应的齐次方程的通解为

Y =e 3x (C 1+C 2x ).

因为f (x )=(x +1)e 3x , λ=3是特征方程的重根,

故原方程的特解设为

y *=x 2e 3x (Ax +B ),

代入原方程得

e 3x (6Ax +2B )=e 3x (x +1), 比较系数得61=A , 21=B , 从而)2

161(*233x x e y x +=. 因此, 原方程的通解为

)2

161()(233213x x e x C C e y x x +++=. (7)y ''+5y '+4y =3-2x ;

解 微分方程的特征方程为

r 2+5r +4=0,

其根为r 1=-1, r 2=-4, 故对应的齐次方程的通解为

Y =C 1e -x +C 2e -4x .

因为f (x )=3-2x =(3-2x )e 0x , λ=0不是特征方程的根,

故原方程的特解设为

y *=Ax +B ,

代入原方程得

4Ax +(5A +4B )=-2x +3, 比较系数得21-=A , 811=B , 从而8

1121*+-=x y . 因此, 原方程的通解为

8

1121421+-+=--x e C e C y x x . (8)y ''+4y =x cos x ;