高三理科数学模拟试卷和答案

祁阳四中2007届高三模拟试卷

理科数学

（2007．4．17）

一、选择题：（每小题5分，共50分） 1．设复数z 满足关系式i z z +=+2，那么z 等于

A.i +-

43 B.i -43 C.i --43 D.i +4

3 2．已知等差数列}{n a 中，1697=+a a ，14=a ，则16a 的值是

A.15

B.22

C.31

D.64 3．若命题

p ：B A x ⋃∈，则p ⌝是

A.B x A x ∉∉且

B.B x A x ∉∉或

C.B A x ⋂∉

D.B A x ⋂∈

4．一植物园参观路径如右图所示，若要全部参观并且路线不重复，则不同 的参观路线种数共有

A. 6种

B. 8种

C. 36种

D. 48种

5．已知空间直角坐标系O xyz -中有一点)2,1,1(--A ，点B 是xOy 平面内的

直

线

1x y +=上的动点，则,A B 两点的最短距离是

B.

C.3

D.172

6．若不等式n

a n

n )1(2)

1(1

-+<-+对任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是

A. )1,2[-

B. )1,2(-

C.

)1,25[- D. )1,2

5(- 7．点),(b a M 在由不等式组⎪⎩

⎪

⎨⎧≤+≥≥200

y x y x 确定的平面区域内，则点),(b a b a N -+所在平面

区域的面积是

A. 1

B. 2

C. 4

D.8

8．如图，三棱锥ABC P -中，⊥PA 平面ABC ，BC AB ⊥，

1==AB PA ，2=BC ，则三棱锥ABC P -的外接球表面积为

A. π4

B. π3

C. π2

D. π

9．设

M 是ABC ∆内任一点，且,30,320=∠=⋅BAC

设

MAB MAC MBC ∆∆∆,,的面积分别为z y x ,,，且2

1

=

z ，则在平面直角中坐标系中，以,x y 为坐标的点),(y x 的轨迹图形是 10．对于集合

P 、Q , 定义},|{Q x P x x Q P ∉∈=-且，()()P Q P Q Q P ⊕=--，设集合

},4|{2R x x x y y A ∈-==，},3|{R x y y B x ∈-==，则A B ⊕等于

A.

(]4,0- B. [)4,0-

C. ()[),40,-∞-+∞

D. (](),40,-∞-+∞

二、填空题（每小题5分，共25分）

11．如图所示两个带指针的转盘，每个转盘被分成5个

区域，指针落在5个区域的可能性相等，每个区域 内标有一个数字，则两个指针同时落在奇数所在区 域内的概率为 ． 12．函数x x x f cos 2)(+=在⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡π2,

0上的最大值为 . 13．设121112

08

4

)3()3()4()1(a x a x a x x +++++=++ ，则=++++12420a a a a .

14．点P 是双曲线)0,0(1:22221>>=-b a b

y a x C 和圆2

2222:b a y x C +=+的一个交点，且

12212F PF F PF ∠=∠,其中21,F F 是双曲线1C 的两个焦点，则双曲线1C 的离心率

为 。

15．函数k n f =)((其中*

N n ∈)，k 是2的小数点后第n 位数字，

74142135623.12=，

则

}{

个

2005)]8([f f f f 的值为

三、解答题（本大题共6小题，共75分） 16．（本小题满分12分）

已知函数)2

||,0,0,)(sin()(π

ϕωϕω<

>>∈+=A R x x A x f 的图象（部分）如图所示，

（1）试确定

)(x f 的解析式；

（2）若,21)2(=πa f 求)3

2cos(a -π

的值。

17．(本小题满分12分)

抛一枚均匀的骰子（骰子的六面分别有数字1、2、3、4、5、6）来构造数列}{n a ，使

⎩⎨⎧-=)

(,1)

(,1次出现偶数时当第次出现奇数时当第n n a n ，记

n n

i i

a a a a

+++=∑= 211

.

（1）求∑==7

13i i

a

的概率；

（2）若

∑=≠2

1

0i i

a

，求37

1=∑=i i a 的概率.

18．（本小题满分12分）

如图，在△ABC 中，BC AC =，2=AB ，O 为AB 的中点，沿OC 将△AOC 折起到 △OC A '的位置，使得直线B A '与平面ABC 成30°角.

（1）若点A '到直线BC 的距离为1，求二面角A BC A --'的大小； （2）若π=∠+'∠OCB CB A ，求BC 边的长. 19．(本小题满分12分)

已知函

数

()f x x x =-在[)0,+∞上最小值是

*()n a n N ∈.

（1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）证明：

22212

11112

n a a a +++

<； （3）在点列(2,)n n A n a 中是否存在两点*,(,

)i j A A i j N ∈，使直线*(,)i j A A i j N ∈的斜率为1？若存

在，求出所有的数对

(),i j ；若不存在，请说明理由.

20．（本小题满分13分）

某水库年初的存水量为)10000(≥a a ，其中污染物的含量为0P ，该年每月降入水库的 水量与月份x 的关系是|7|20)(--=x x f （),121N x x ∈≤≤），且每月流入水库的污水 量r ，其中污染物的含量为)(r P P <

，又每月库水的蒸发量也为r （假设水与污染物能充

分混合，且污染物不蒸发，该年水库中的水不作它用）. （1）求第x 个月水库含污比)(x g 的表达式（含污比库容总量

污染物含量

=

）；

（2）当00=P 时，求水质最差的月份及此月份的含污比. 21．（本小题满分14分）

如图，已知椭圆C :22221x y a b +=(0)a b >>的离心率为4

5

，左、右焦点分别为1F 和2F ，椭圆C

与x 轴的两交点分别为A 、B ，点P 是椭圆上一点（不与点A 、B 重合），且∠APB =2α，∠F 1PF 22β=. （1）若45β=，三角形F 1PF 2的面积为36，求椭圆C 的方程； （2）当点P 在椭圆C 上运动，试证明tan tan 2βα⋅为定值.

参考答案

一、选择题：

二、填空题: