2021-2022年高考数学一轮复习专题7.4基本不等式及其应用讲

2021年高考数学一轮复习专题7.4基本不等式及其应用讲

题组一 常识题

1．函数y ＝x ＋4

x

(x ＞0)的最小值为________．

【解析】∵x ＞0，∴y ＝x ＋4x ≥4，当且仅当x ＝4x ，即x ＝2时取等号，故函数y ＝x ＋4

x

(x ＞0)的最小

值为4.

2．一段长为40 m 的篱笆围成一个矩形菜园，则菜园的最大面积是________．

【解析】设矩形菜园的长为x m ，宽为y m ，则2(x ＋y )＝40，即x ＋y ＝20，∴ 矩形的面积S ＝

xy ≤⎝ ⎛⎭

⎪

⎫x ＋y 22

＝100，当且仅当x ＝y ＝10时，等号成立，此时菜园的面积最大，最大的面积是100 m 2. 3．将一根铁丝切割成三段做一个面积为 2 m 2

、形状为直角三角形的框架，选用最合理(够用且浪费最少)的铁丝的长为________m.

【解析】设两直角边长分别为a m ，b m ，直角三角形的框架的周长为l ，则1

2ab ＝2，即ab ＝4，∴ l

＝a ＋b ＋a 2

＋b 2

≥2ab ＋2ab ＝4＋22，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，故选用最合理(够用且浪费最少)的铁丝的长为(4＋22)m.

4．建造一个容积为8 m 3

，深为2 m 的长方体无盖水池，若池底的造价为每平方米120元，池壁的造价为每平方米80元，则这个水池的最低造价为______元．

【解析】设水池的总造价为y 元，池底长为x m ，则宽为4x

m ，由题意可得y ＝4×120＋2⎝ ⎛⎭

⎪⎫2x ＋8x ×80

＝480＋320⎝

⎛⎭

⎪⎫x ＋4x ≥480＋320×2

x ·4x ＝480＋320×24＝1760，当且仅当x ＝4

x

，即x ＝2时，y min ＝

1760.

故当池底长为2 m 时，这个水池的造价最低，最低造价为1760元． 题组二 常错题

5．若x ＞－1，则x ＋

4

x ＋1

的最小值为________． 【解析】x ＋4x ＋1＝x ＋1＋4x ＋1－1≥4－1＝3，当且仅当x ＋1＝4

x ＋1，即x ＝1时等号成立．

6．已知0

lg x

的最大值是________．

【解析】∵00. ∴－y ＝－lg x ＋4

－lg x

≥2

（－lg x ）×4

－lg x

＝4，

当且仅当－lg x ＝4－lg x ，即x ＝1

100时，等号成立，

∴y max ＝－4.

7. 函数y ＝sin x ＋

4sin x ，x ∈⎝

⎛⎦⎥⎤0，π2的最小值为 _________________________.

【解析】当sin x ＝4

sin x 时，sin x ＝±2，显然等号取不到，事实上，设t ＝sin x ，则t ∈(0，1]，

y ＝t ＋4

t

在(0，1]上为减函数，故当t ＝1时，y 取最小值5.

题组三 常考题

8． 设a ＞0，b ＞0.若关于x ，y 的方程组⎩

⎪⎨⎪⎧ax ＋y ＝1，

x ＋by ＝1无解，则a ＋b 的取值范围是__________．

【解析】将方程组中的第一个方程化为y ＝1－ax ，代入第二个方程整理得(1－ab )x ＝1－b ，由方程组无解得1－ab ＝0且1－b ≠0，所以ab ＝1且b ≠1.由基本不等式得a ＋b >2ab ＝2，故a ＋b 的取值范围是(2，＋∞)．

9．若直线x a ＋y b

＝1(a >0，b >0)过点(1，1)，则a ＋b 的最小值等于________． 【解析】依题意有1a ＋1b ＝1，所以a ＋b ＝(a ＋b )·1a ＋1b ＝1＋a b ＋b

a

＋1≥2＋2

a b ·b

a

＝4，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立．10．已知a >0，b >0，ab ＝8，则当a 的值为________时，log 2a ·log 2(2b )取得最大

值

．

【知识清单】考点1利用基本不等式证明不等式

如果，那么（当且仅当时取等号“=”）

如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）.

考点2 利用基本不等式求最值

常见结论：

1、如果，那么（当且仅当时取等号“=”）

推论：（）

2、如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）.

推论：（，）；

3、

22

2

(0,0) 1122

a b a b

ab a b

a b

++

≤≤>> +

考点3 基本不等式的实际应用

利用基本不等式求解实际应用题的方法

(1)问题的背景是人们关心的社会热点问题，如“物价、销售、税收、原材料”等，题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解．

(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解．

【考点深度剖析】

江苏新高考对不等式知识的考查要求较高，整个高中共有8个C能级知识点，本章就占了两个，高考中以填空题和解答题的形式进行考查，涉及到数形结合、分类讨论和等价转化的思想，着重考查学生基本概念及基本运算能力.经常与其它章节知识结合考查，如与函数、方程、数列、平面解析几何知识结合考查.

基本不等式及其应用在高考中是一个必考的知识点，在处理最值时是一种非常行之有效的工具，在使用时一定多观察所给代数式的形式，和基本不等式成立的条件.